10.2事件的相互独立 同步练习（含解析）

10.2事件的相互独立同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．排球比赛的规则是局胜制（局比赛中，优先取得局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，乙队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前局中甲队以领先，则最后甲队获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（ ）
A．与对立 B．与不互斥
C．与相互独立 D．与相互独立
3．设A，B，C为三个随机事件，则“A，B，C相互独立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知事件，且，如果与互斥，那么；如果与相互独立，那么，则分别为（ ）
A． B．
C． D．
5．袋子中装有4个大小质地完全相同的球，其中2个白球，2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球．记事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“两个球颜色相同”（ ）
A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B独立
C．事件A与事件B对立 D．事件C包含事件
6．电信网络诈骗作为一种新型犯罪手段，己成为社会稳定和人民安全的重大威胁．2023年11月17日外交部发言人毛宁表示，一段时间以来，中缅持续加强打击电信诈骗等跨境违法犯罪合作，取得显著成效．此前公安部通过技术手段分析电信诈骗严重的地区，在排查过程，若某地区有10人接到诈骗电话，则对这10人随机进行核查，只要有一人被骗取钱财，则将该地区确定为“诈骗高发区”．假设每人被骗取钱财的概率为且相互独立，若当时，至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率取得最大值，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥 B．事件与对立
C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立
8．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥
B．
C．
D．事件与事件不相互独立
二、多选题
9．将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则（ ）
A．事件甲与事件丙是互斥事件
B．事件甲与事件丁是相互独立事件
C．事件乙包含于事件丙
D．事件丙与事件丁是对立事件
10．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（ ）
A． B．
C．事件与不互斥 D．事件与相互独立
11．某人连续掷两次骰子，表示事件“第一次掷出的点数是2”，表示事件“第二次掷出的点数是3”．表示事件“两次掷出的点数之和为5”，表示事件“两次掷出的点数之和为9”．则（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立
C．与不相互独立 D．与不相互独立
12．一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，则（ ）
A．“摸到2个红球”与“摸到2个白球”是互斥事件
B．“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件
C．“摸出的球颜色相同”的概率为
D．“摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立
三、填空题
13．若事件A，B发生的概率分别为，，且A与B相互独立，则 ．
14．正八面体各个面分别标以数字1到8．抛掷一次该正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为.已知事件，，，若但A，B与C均不独立，则事件 ．
15．“秋风起．月渐圆，桂树落叶，兔儿下凡间”．中秋节是中国传统节日，为了让更多的小朋友参与到中秋节的欢乐氛围中来，秦皇岛市青少年宫特别推出了“团圆中秋喜迎国庆”——中秋猜灯谜活动，欢迎小朋友们前来，感受传统文化的熏陶，品味传统习俗的趣味．现有甲，乙两位小朋友组成“快乐宝贝队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲，乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮精对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“快乐宝贝队”在两轮活动中猜对2个灯谜的概率为 ．
16．某同学高考后参加国内3所名牌大学的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学招生考试的概率分别为，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为 ；该同学恰好通过两所大学招生考试的概率最大值为 ．
四、解答题
17．与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响.
(1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率；
(2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值.
18．为参加凉山州第八届“学宪法讲宪法”演讲比赛，某校组织选拔活动，通过两轮比赛最终决定参加州级比赛人选，已知甲同学晋级第二轮的概率为，乙同学晋级第二轮的概率为．若甲、乙能进入第二轮，在第二轮比赛中甲、两人能胜出的概率均为．假设甲、乙第一轮是否晋级和在第二轮中能否胜出互不影响．
(1)若甲、乙有且只有一人能晋级第二轮的概率为，求的值；
(2)在（1）的条件下，求甲、乙两人中有且只有一人能参加州级比赛的概率．
19．某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成.如图所示，部件是由元件A与元件组成的串联电路，已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率为，且元件工作是相互独立的.
(1)求部件正常工作的概率；
(2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大.已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的.现设计以下三种方案：
方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；
方案二：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；
方案三：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联.
则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？
20．甲、乙两位同学独立地参加某高校的入学面试，入学面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对每道题目的概率依次为，，，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.
(1)求乙3道题都回答且通过面试的概率；
(2)求甲没有通过面试的概率；
(3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率.
21．甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局．每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束．已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
(1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率；
(2)判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】由题意可知，事件“最后甲队获胜”的对立事件为，即最后3局均为乙队获胜，利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由题意事件“最后甲队获胜”的对立事件为，即最后3局均为乙队获胜，
由独立事件的概率公式可得，
因此，则最后甲队获胜的概率是.
故选：D.
2．C
【分析】根据事件的对立与互斥的概念判断AB；利用是否成立来判断CD.
【详解】对于A，事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，与互斥但不对立，因为红骰子的点数还有其他情况，比如，A错误；
对于B，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，与不可能同时发生，故与互斥，B错误；
对于C，两个骰子的点数之和为的情况有，
则，
所以，所以与相互独立，C正确；
对于D，两个骰子的点数之和为的情况有，
，所以，D错误.
故选：C.
3．A
【分析】由三个事件A，B，C相互独立的充要条件得到答案.
【详解】三个事件A，B，C相互独立的充要条件是，，
，，
故“A，B，C相互独立”是“”的充分不必要条件．
故选：A
4．C
【分析】根据互斥事件的定义可求，根据独立事件的概率公式求，由此可判断结论.
【详解】如果事件与互斥，则，所以.
如果事件与相互独立，则事件与也相互独立，
所以，
，即.
故选：C.
5．D
【分析】根据给定条件，利用列举法，结合古典概率逐项判断即得.
【详解】两个白球记为，两个红球记为，不放回依次取出两球的试验的样本空间
，共12个样本点，
事件，，，，
由，得事件A与事件B不互斥，不对立，AC错误；
，显然，事件A与事件B不独立，B错误；
显然，D正确.
故选：D
6．B
【分析】根据相互独立事件同时发生的概率写出概率公式，再用导数的方法确定的值.
【详解】设至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率为，
则.
因为：.
由，得：.
所以在上递增，在上递减.
所以当时，取得最大值.即.
故选：B
7．C
【分析】根据题意，结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的判定方法，即可求解．
【详解】由，，，可得，
所以，
所以事件与相互独立、事件与不互斥，则事件与不对立．
故选：C
8．C
【分析】由互斥事件的定义判断A；应用列举法计算，判断BC；利用独立事件的定义判断D.
【详解】显然事件A与事件B可以同时发生，事件与事件不互斥，A错误；
抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种：，
，，
，，
，
事件B的样本点为
，共18种，
事件C的样本点为，共12种，
事件的样本点为，共6种，
因此，B错误；，C正确；
而，于是，则事件B与事件C相互独立，D错误.
故选：C
9．AB
【分析】根据题意，利用列举法得到事件甲，乙，丙，丁，再由事件的关系，以及独立事件的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，事件甲：第一次掷出的数字是1有：，
事件乙：第二次掷出的数字是2有：，
事件丙：两点数之和为8的所有可能为：，
事件丁：两点数之和为7的所有可能为：，
其中，
对于A中，事件甲与事件丙不能同时发生，所以事件甲与事件丙是互斥事件，所以A正确；
对于B中，由，所以，
所以事件甲与事件丁是相互独立事件，所以B正确；
对于C中，事件乙不包含于事件丙，所以C错误；
对于D中，根据对立事件的定义，可得事件丙与事件丁不对立，所以D错误.
故选：AB.
10．BCD
【分析】先利用古典概率公式分别计算，，，，，再利用互斥事件的定义和相互独立事件的概率公式逐一判断四个选项即可得正确选项.
【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次取出一个球，
全部的基本事件有：，，，，，，，，，
，，共个，
事件发生包含的基本事件有：，有个，
事件发生包含的基本事件有：，，有3个，
所以，故A错误；
事件发生包含的基本事件：，，，有4个，，
事件发生包含的基本事件：有个，，故B正确；
事件发生包含的基本事件：，有2个，故事件与不互斥，故C正确；
事件发生包含的基本事件：有个，，
因为，所以与相互独立，故选项D正确；
故选：BCD.
11．ACD
【分析】根据根据独立事件的乘法公式，结合题意，逐一判断即可.
【详解】由题意知，，
，
．
对A：∵，∴与相互独立，故A正确．
对B：∵，∴与不相互独立，故B错误．
对C：∵，∴与不相互独立，故C正确．
对D：∵，∴与不相互独立，故D正确．
故选：ACD.
12．ABC
【分析】对于A和B利用互斥事件和对立事件的概念判断即可，对于C利用古典概型计算公式计算即可，对于D需要判断是否满足独立性事件同时发生的条件，即是否满足.
【详解】2个红球为，3个白球为，则任意摸出2个球有，共10种，
“摸到2个红球”有，“摸到2个白球”有，“至少摸到1个红球”有，
“摸出的球颜色相同”有，“摸出的球中有白球” 有，“摸出的球颜色不相同”有，
A：“摸到2个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确；
B：“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，且必有一个发生，故是对立事件，故B正确；
C：给每个球编号，不同的摸球结果有10种，“摸出的球颜色相同”包含4种结果，故其概率为，故C正确；
D：设“摸出的球中有红球”，“摸出的球中有白球”，用古典概型的方法计算可知
，，，显然，故，不相互独立，故D错误.
故选：ABC
13．
【分析】先求出，进而根据求出答案.
【详解】因为A与B相互独立，，
所以.
故答案为：
14．
【分析】由，可知，又A，B与C均不独立，可解.
【详解】由已知
又，
所以，又A，B与C均不独立，
即，，
，
所以.
故答案为：
15．
【分析】分甲两轮猜对个，个，个和乙两轮猜对个，个，个，结合独立事件乘法和互斥加法求解.
【详解】设分别表示甲两轮猜对个，个，个灯谜的事件，分别表示乙两轮猜对个，个，个灯谜的事件．根据独立事件的性质，可得
，
，
设“两轮活动‘快乐宝贝队’猜对2个灯谜”，则，且互斥，与，与，与分别相互独立，所以
，因此，“快乐宝贝队”在两轮活动中猜对2个灯谜的概率是．
故答案为：
16． / /
【分析】根据恰好能通过其中2所大学招生考试的概率列方程，通过整体代入可得该同学至少通过1所大学招生考试的概率，再利用基本不等式可得恰好通过两所大学招生考试的概率最大值.
【详解】该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，
∴该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率
所以该同学至少通过1所大学招生考试的概率为，
由得，，
所以，即，
解得或，即或，
又∵，，
，，
∴当时，该同学恰好通过两所大学招生考试的概率取得最大值．
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】（1）设“甲答对”，“乙答对”，则题意所求的事件为，结合互斥事件的定义与事件的独立性计算即可求解；
（2）根据对立事件的定义分析题意，建立关于p的方程，解之即可求解.
【详解】（1）设“甲答对”，“乙答对”，
则，，，，
“甲，乙两位同学恰有一个人答对”的事件为，且与互斥
由三人答题互不影响，知A，互相独立，则A与，与，与均相互独立，
则，
所以甲，乙两位同学恰有一个人答对的概率为.
（2）设“丙答对”，则，
设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人答对”，由（1）知，
，解得，
所以的值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式可分别计算甲、乙赢得比赛的概率，可得到结论；
（2）根据独立事件概率公式可求得结果.
【详解】（1）设事件表示“甲在初赛中晋级”，事件表示“乙在初赛中晋级”，
由题意可知，，
解得.
（2）设事件为“甲 乙两人中有且只有一人能参加市级比赛”，为“甲能参加市级比赛”，为“乙能参加市级比赛”，
则，
，
所以.
19．(1)
(2)方案三，理由见解析
【分析】（1）设出事件，由独立事件概率乘法公式求出答案；
（2）表达出方案一、二、三正常工作的概率，作差后得到答案.
【详解】（1）记事件分别表示元件正常工作，则，
事件表示正常工作，由元件工作是相互独立的.
则.
（2）设方案一、二、三正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为元件，
记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则.
事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立，
则
.
所以；
同理得：；
.
又因为，
，
所以选择方案三可以使部件正常工作的概率最大.
20．(1)
(2)
(3).
【分析】（1）利用互斥事件概率公式及独立事件公式公式计算即可；
（2）利用对立事件概率公式及独立事件公式公式计算即得；.
（3）利用互斥事件概率公式及独立事件概率公式求解即可.
【详解】（1）由题意得，乙3道题都回答且通过面试的概率为
.
（2）设事件表示“甲最终通过面试”，
则，
∴甲没有通过面试的概率为，
（3）设事件表示“乙最终通过面试”，
则，
设事件表示“甲、乙两人恰有一人通过面试”，则，
∵与为互斥事件，与，与相互独立，
∴
，
∴甲、乙两人恰有一人通过面试的概率为.
21．(1)
(2)第一局甲乙对战才能使甲获胜的概率最大
【分析】（1）甲获胜有两种情况，分别计算出概率，再相加即可；
（2）分别计算第一局乙丙对战甲获胜的概率，第一局甲乙对战甲获胜的概率，及第一局甲丙对战甲获胜的概率，比较大小，作出判断即可.
【详解】（1）第一局由乙丙对战，甲获胜有两种情况：
①乙丙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜，则概率为
②乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，甲乙对战甲胜，则概率为
综上，甲获胜的概率为.
（2）若第一局乙丙对战，由（1）知甲获胜的概率为
若第一局甲乙对战，则甲获胜有三种情况：
①甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，概率为，
②甲乙对战甲胜，甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜的概率为，
③甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，乙甲对战甲胜的概率为，
所以最终甲获胜的概率为；
若第一局甲丙对战，则甲获胜也有三种情况：
①甲丙对战甲胜，甲乙对战甲胜的概率为，
②甲丙对战甲胜，甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜的概率为，
③甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜的概率为，
所以最终甲获胜的概率为，
因为，
所以第一局甲乙对战才能使甲获胜的概率最大．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页