安徽省合肥市普通高中联盟2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题（含答案）

合肥市普通高中联盟2023-2024学年第一学期期末联考
高二年级数学试卷
温馨提示：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。请将答案写在答题卡上。考试结束后，只交“答题卡”。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．经过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，则向量（ ）
A． B． C． D．
3．在等差数列中，，，则的值是（ ）
A．13 B．14 C．16 D．17
4．如果直线与互相垂直，那么a的值等于（ ）
A．－1 B． C． D．2
5．直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B．2 C． D．4
6．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则该数列第18项为（ ）
A．200 B．162 C．144 D．128
7．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，分别是双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．满足下列条件的数列是递增数列的为（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在y轴上的截距为1
C．过点且垂直于直线的直线方程为
D．直线的倾斜角为120°
11．已知曲线C：，则（ ）
A．存在m，使C表示圆
B．当时，则C的渐近线方程为
C．当时，则C的焦点是，
D．当C表示双曲线时，则或
12．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M，N分别为PC，PB的中点．则（ ）
A． B．
C．平面ANMD D．BD与平面ANMD所成的角为30°
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，若（O为坐标原点），则C的坐标是______．
14．已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则这点的坐标为______．
15．已知等差数列的公差，若，，成等比数列，则的值为______．
16．光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为______．
四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知数列的前n项和为，，其中．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）求BM的长．
19．（本小题满分12分）已知双曲线C：的渐近线方程为，且双曲线C过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值．
20．（本小题满分12分）如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，，，，，．
（1）求证：平面DCF；
（2）求点B到平面DCF的距离．
21．（本小题满分12分）已知数列满足，．
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
22．（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率，椭圆过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，已知，求面积的最大值．
合肥市普通高中联盟2023-2024学年第一学期
期末联考高二年级数学参考答案
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B C B B D C
二、多项选题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）
题号 9 10 11 12
答案 BD AC AD CD
第Ⅱ卷　非选择题（共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）
13． 14． 15． 16．
四、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答题应写出文字说明及演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
（1）当当=1时，有，
所以当时，有，
两式相减，得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
当时，由，适合，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
所以，；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）因为，；
所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
因此．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
18．（本小题满分12分）
（1）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）
，所以，则BM的长为．．．．．．12分
19．（本小题满分12分）
解（1）由题意得，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
所以双曲线方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）由，得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
由题意得，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
当，即时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线l与双曲线C只有一个公共点，
所以或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
20．（本小题满分12分）
（1）证明：∵AB∥CD，平面DCF；平面DCF，∴AB∥平面DCF；
∵AE∥DF，平面DCF；平面DCF，∴AE∥平面DCF，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
∵平面ABE，平面ABE，
∴平面ABE∥平面DFC，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
∵BE 平面ABE，∴BE∥平面DCF．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）如图，以D为原点，建立空间直角坐标系．
∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，则△ADB∽△BCD ，
∵CD＝1，BC＝2．∴BD＝，∴AD＝2，AB＝5，
∴F（0，0，1），D（0，0，0），A（2，0，0），B（0，，0），C，
，，．
设平面DCF的法向量为，
则，∴，
令x＝1，y＝2，z＝0．∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
∴．
∴B到平面DCF的距离为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
21．（本小题满分12分）
（1）∵数列满足，，
∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
又，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
∴是首项为，公比为3的等比数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
∴，
∴的通项公式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
∴数列的前项和：
，①
，②
①-②，得：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22．（本小题满分12分）
（1）∵椭圆过点∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）设直线，A，B两点坐标分别为，
把直线方程代入椭圆方程中整理得
∴，
，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
P点到直线l的距离．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
当且仅当，即时，的面积取得最大值2．．．．．．．．．．．．．．．12分