河南省许昌市禹州市高级中学2023-2024学年高三上学期期末阶段性考试数学试卷（含答案）

禹州市高级中学2023-2024学年高三上学期期末阶段性考试
数学试卷
学校:____________姓名:_____________班级:____________考号:____________
一、单选题
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
2.复数,则( )
A. B. C. D.
3.已知向量,命题.若是假命题,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知直线和圆交于A,B两点,为坐标原点,则“”是“的面积为”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.在中,为所在平面内的动点,且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若,则( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足,且,则( )
A. B. C. D.
8.已知,则( )
A. B. C. D.
二、多选题
9.已知,且,则( )
A.的最大值为 B.的最小值为9
C.的最小值为 D.的最大值为2
10.若定义在上的奇函数满足,在区间上,有,则下列说法正确的是( )
A.函数的图象关于点成中心对称
B.函数的图像关于直线成轴对称
C.在区间上,为减函数
D.
11.以下说法正确的有( )
A.某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为则该样本数据的第50百分位数为5.5
B.经验回归直线至少经过样本点数据中的一个点
C.若,则事件相互独立
D.若随机变量,则取最大值的必要条件是
12.已知AC为圆锥SO底面圆的直径(为顶点,为圆心),点为圆上异于A,C的动点,,研究发现:平面和直线SO所成的角为,该圆锥侧面与平面的交线为曲线.当时,曲线为圆;当时,曲线为椭圆;当时,曲线为抛物线;当时,曲线为双曲线.则下列结论正确的为( )
A.过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2
B.的取值范围为
C.若为线段AB上的动点,则
D.若,则曲线必为双曲线的一部分
三、填空题
13.的展开式中的系数为____________.
14.在锐角中,角的对边分别为.若,,则的面积为____________.
15.随着城市经济的发展,早高峰问题越发严重,上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式由三种,某天早上他选择自驾,坐公交车,骑共享单车的概率分别为,而他自驾,坐公交车,踦共享单车迟到的概率分别为,结果这一天他迟到了,在此条件下,他自驾去上班的概率是____________.
16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点,为椭圆与双曲线的一个公共点,椭圆与双曲线的离心率分别为,且,则的取值范围为____________.
四、解答题
17.在中,内角A,B,C所对边的长分别为且满足.
(1)求;
(2)若是的中线,求AD的长.
18.如图,三棱柱中、四边形是菱形,且,,
(1)证明:平面平面;
(2)求直线和平面ABC所成角的正弦值;
19.已知数列的前项和为,且满足.
(1)求数列的通项公式:
(2)设数列满足，求数列的前项和.
20.为加快推动旅游业复苏,进一步增强居民旅游消费意愿,山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免.据统计,活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比为.某市旅游局从游客中随机抽取100人(其中年龄在50周岁及以下的有60人)了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度,并按年龄(50周岁及以下和50周岁以上)分类统计得到如下不完整的列联表:
不满意 满意 总计
50周岁及以下 55
50周岁以上 15
总计 100
(1)根据统计数据完成以上列联表,根据小概率值的独立性检验,能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联（结果精确到0.01）
(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况,设其中至少去过两个及以上景区的人数为,若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率,求的分布列和数学期望.
参考公式及数据:,其中
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
21.已知双曲线的实轴长为2,且其渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)过点且斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于点,点在线段AB上,且为线段AB的中点,记直线O为坐标原点)的斜率分别为求是否为定值 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
22.已知函数.
(1)当时,求在曲线上的点处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性;
(3)若有两个极值点,证明:.
禹州市高级中学2023-2024学年高三上学期期末阶段性考试
数学参考答案:
1.D 2.A 3.D 4.B 5.D 6.A 7.C 8.A
9.BC 10. 11. 12.
,设截面为为MN中点,连接设,则,当,即时等号成立,正确;对选项B:如图2,中,,则当时,,B错误;对选项C:如图3,为等腰直角三角形,,将放平得到,当三点共线时最小,为AB中点,连接,则,:,C正确;对选项D:由,可解得或者,而,
,C正确;对选项D:由,可解得或者,而,所以,从而该圆锥侧面与平面的交线必为双曲线的一部分,正确.
13.-6480 14.
16.【详解】由题意得:,,解得:,由余弦定理得：
,解得:,因为,解得:,因为,即,解得:,故
17.(1)(2) 18.(1)证明见解析(2)
四边形是菱形,所以,又是的中点,所以且,由,可知为正三角形,所以,,在中,,所以,又,平面,所以平面,又平面,所以平面平面.(2)设到平面ABC的距离为,因为中,,所以,又,,所以由,可得,即,设直线和平面ABC所成角为,则.
19.(1)因为时,,两式相减得,,相乘得,所以,当时符合上式,(2),当为奇数时,
20．【详解】（1）由题意得，抽取的100人年龄在50周岁及以下的有60人，则年龄在50周岁以上的有40人，补全的2×2列联表如下：
不满意 满意 总计
50周岁及以下 5 55 60
50周岁以上 15 25 40
总计 20 80 100
零假设:全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄无关.
则.所以根据小概率值的独立性检验,推断不成立,即认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联;
（2）由题意可得,游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9,则的所有可能取值为0,1,2,3,
所以的分布列为:
0 1 2 3
0.001 0.027 0.243 0.729
因为,所以数学期望.
21.【详解】(1)若实轴长为2,则,易知渐近线方程为,解得,可得双曲线的标准方程为.(2),设直线的方程为其与的交点为,联立得,所以,因为所以即.所以,所以,
22.由题可知,当时,,
切点为,切线的斜率为,
切线方程为:,即;
(2)对函数求导可得,.
当时,.则在上单调递增.
当时,.则.
令,则,或,则,
综上:当时,在上单调递增,
当时,在和上单调递增,
在上单调递减.
(3)有两个极值,
是方程的两个不等实根,
则,
不妨设,即证:.
即证:对任意的恒成立.
令.则.
从而在上单调递减,故.
所以.