河南省驻马店市2023-2024学年高二上学期期终考试数学试题（含答案）

驻马店市2023~2024学年度第一学期期终考试
高二数学试题
本试题卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致．
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题上作答，答案无效．
3．考试结束，监考教师将答题卡收回．
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知两条不重合的直线和．若，则实数a的值为（ ）
A． B． C．1 D．或1
4．在平行六面体中，M是的对角线的交点，N为的中点，记，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．钟表面上有12个时刻整点，从中任选3个整点，则此3点能构成直角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，点分别在x轴和y轴上运动，且，点和点P满足，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
8．2023年杭州亚运会是疫情之后我国举办的一项重大赛事，它不仅向世界展示了我国强大的综合实力，更体现了我国青年的奉献精神和志愿力量．运动会期间甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有（ ）种．
A．24 B．32 C．36 D．40
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知曲线，下列命题错误的是（ ）
A．若，则C是双曲线 B．若，则C是椭圆
C．若，则C是圆 D．若，则C是两条直线
10．有4个相同的球，分别标有数字，从中不放回随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，B表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，C表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列关系成立的是（ ）
A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．B与D相互独立 D．C与D相互独立
11．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆M，过直线上一点P作圆M的两条切线，切点分别为，则下列选项正确的是（ ）
A．圆M的方程为 B．四边形面积的最小值为4
C．的最小值为 D．当点P为时，直线的方程为
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．
13．在空间直角坐标系中，，则点B到直线的距离为_________．
14．已知的展开式中常数项为，则________．
15．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为_________．
16．如图，椭圆和有相同的焦点，离心率分别为为椭圆的上顶点，与椭圆交于点B，若，则的最小值为_________．
四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．
17．（10分）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点Q满足，设动点Q的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（Ⅱ）直线与曲线C交于两点，若，从中任选一个m值，求此时相应的弦长．（注：若选择不同的值分别解答，则按第一个解答计分．）
18．（12分）已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为．
（I）若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程；
（Ⅱ）设直线的斜率分别为，求证：为定值．
19．（12分）如图，和所在平面互相垂直，且，．
（I）求证：;
（Ⅱ）求平面和平面夹角的余弦值．
20．（12分）为铭记历史，缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展了共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．
（I）若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率；
（Ⅱ）若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，求这个问题回答正确的概率．
21．（12分）已知双曲线的一条渐近线方程为为坐标原点，点在双曲线C上．
（I）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线与双曲线C交于两点，且，求的最小值．
22．（12分）如图，在四棱锥中，面，且，分别为的中点．
（I）证明：面；
（Ⅱ）在线段上是否存在一点M，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存任，说明理由；
（Ⅲ）在平面内是否存在点H，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请描述点H的轨迹形状．
高二数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1～4 D C B A 5~8 D A D C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错误选项的得0分．
9．BCD 10．BC 11．BCD 12．BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．
13． 14． 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，满分70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．
17．（Ⅰ）解：设
由，得……2分
整理得………4分
即曲线C的方程为………5分
（Ⅱ）①如果选，此时直线的方程为……6分
而圆C的半径，圆心到直线的距离为……8分
故弦长……10分
②如果选，此时直线的方程为……6分
则直线与圆C的两个交点坐标为……8分
故弦长……10分
③如果选，此时直线的方程为……6分
可知直线经过圆心，圆C的半径………8分
弦长……10分
18．（I）由抛物线C的方程为，则其准线方程为………1分
由于点P的纵坐标为0，所以点P为，过P作抛物线C的切线，由题意知斜率存在且不为0，设其斜率为k则切线方程为………2分
联立……3分
由于直线与抛物线C相切，可知，即……4分
此时抛物线C的两条切线方程分别为和……6分
（Ⅱ）点P在抛物线C的准线上，设
由题意知过点P作抛物线C的切线，斜率存在且不为0，设其斜率为k
则切线方程为……7分
联立……8分
由于直线与抛物线C相切，可知，即……10分
而抛物线C的两条切线的斜率，即为方程的两根……11分
故……12分
19．（Ⅰ）方法一：记，则……2分
由
可知……4分
即，则……6分
方法二：延长，过点A作，交于点O
由面面，面面面
则面……2分
由
可得……3分
又，得，则……4分
又由，则面……5分
又面，则……6分
方法三：（I）延长，过点A作，交于点O由面面，面面，面
则面，由，则……2分
故以O为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设，则……3分
，则……5分
故……6分
（Ⅱ）设平面的一个法向量
由（Ⅰ）可知……7分
则
取，得……9分
而面的一个法向量为……10分
则……11分
故平面和平面夹角的余弦值为……12分
方法四：（I）在平面和平面内，过点B分别作直线垂直于直线
由面面，面面面，则面……2分
以点B为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设，则……3分
，则……5分
故……6分
（Ⅱ）设面的法向量
由（Ⅰ）可知……7分
则
取，得……9分
而面的一个法向量为……10分
则……11分
故平面和平面夹角的余弦值为……12分
20．（Ⅰ）解：设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，
则甲、丙丙人都回答正确的概率是，解得……2分
乙、丙两人都回答正确的概率是，解得……4分
所以规定三名同学都需要回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率为………6分
（Ⅱ）解：记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，记事件B为“这道题被答对”
则……8分
……10分
由全概率公式可得……12分
（注：如果只有的过程，即使正确本问只能给4分）
21．（Ⅰ）由双曲线C的一条渐近线方程为，且双曲线过
可知……1分
则……3分
故双曲线C的方程为……4分
（Ⅱ）设直线的方程为
联立，得……5分
则，且……7分
由，得……9分
，当且仅当时，等号度立……11分
故的最小值为……12分
方法二：由题意知直线的斜率存在且不等于0，设
联立，得……6分
则，同理，其中……8分
故……9分
而
当且仅当时，等号成立……11分
故的最小值为……12分
22．（I）方法一：记
则……2分
即与和共面，并且面……3分
则面……4分
方法二：由面面，则
又由，故面……2分
即与为面的一个法向量，而，
则，且面……3分
故面……4分
方法三：如图，过E作交于点G，连接由面面，则
又面，且不共线，则……1分
而平面平面，则平面………2分
由E为的中点，则G为中点，且F为的中点，则
同理平面，又因平面
则平面平面，且平面………3分
故平面……4分
（II）设，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，可知
故
……5分
则
设平面的法向量
则，取……6分
由
得，解得或（舍）………7分
故当时，直线与平面所成角的正弦值是……8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面的一个法向量
点中点，则
则点G到平面的距离………9分
由，即
故H在以点G为球心，半径的球面上，而
故H在面内的轨迹是半径为的圆……11分
故存在符合题意的H，此时H轨迹是半径为的圆……12分