辽宁省锦州市2023-2024学年高三下学期2月摸底考试数学试题（含答案）

锦州市2023-2024学年高三下学期2月摸底考试
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数（），，若为纯虚数，则（ ）
A． B． C．2 D．
3．“”是曲线“过坐标原点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在中，，，点在边上，且满足，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
5．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，．则的值（ ）
A． B． C． D．
7．已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数对定义域内的任意都有，且当时其导函数满足，若，则（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分
9．给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的（ ）
A．中位数为3 B．方差为 C．众数为3 D．85%分位数为4.5
10．已知各项都是实数的数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则数列是递减数列
B．若，则数列无最大值
C．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列
D．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列
11．已知椭圆：（）的离心率，，分别为它的左、右焦点，，分别为它的左、右顶点，是椭圆上的一个动点，且的最大值为，则下列选项正确的是（ ）
A．当不与左、右端点重合时，的周长为定值
B．当时，
C．有且仅有4个点，使得为直角三角形
D．当直线的斜率为1时，直线的斜率为
12．设，，定义（，且为常数），若，，．
①不存在极值；
②若的反函数为，且函数与函数有两个交点，则；
③若在上是减函数，则实数的取值范围是；
④若，在的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．
其中真命题的序号有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．《九章算术》中将圆台称为“圆亭”．已知某圆亭的高为3，上底面半径为1，下底面半径为5，则此圆亭的表面积等于______．
14．的展开式中的系数为______．
15．若曲线（）的切线的倾斜角的取值范围是，则______．
16．已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出完整的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知各项均为正数的数列满足：，且，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围
19．（本小题满分12分）
如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点．
（1）求证：；
（2）当二面角的大小为时，求与底面所成角的正切值．
20．（本小题满分12分）
为了参加锦州市教育局主办的《中国汉字听写大会》节目，附育高中范老师要求参赛学生从星期一到星期四每天学习3个汉字以及正确注释，每周五对一周内所学汉字随机抽取若干个进行检测（一周所学的汉字每个被抽到的可能性相同）．
（1）范老师随机抽了4个汉字进行检测，求至少有3个是后两天学习过的汉字的概率；
（2）某学生对后两天所学过的汉字每个能默写对的概率为，对前两天所学过的汉字每个能默写对的概率为．若范老师从后三天所学汉字中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的汉字的个数的分布列和期望．
21．（本小题满分12分）
如图，椭圆：（）的焦点在轴上，左右顶点分别为，，上顶点为，抛物线，分别以、为焦点，其顶点均为坐标原点，与相交于直线上一点．
（1）求椭圆及抛物线，的方程；
（2）若动直线与直线垂直，且与椭圆交于不同的两点、，已知点，求的最小值．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求在区间上的最值；
（2）若有两个不同的零点，，①求的取值范围；②证明：．
2024高三（二月）摸底考试答案
1．C 2．D 3．A 4．B 5．A 6．C 7．B 8．D 9．AB 10．ACD 11．ABD 12．BC
13． 14． 15． 16．
17．（1）由，得到，，
又，所，
整理得到，又，得到，
所以，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知（）
所以（）
所以
，．
18．（1）因为，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，，所以，所以，
因为，所以．
（2）因为外接圆的半径为，所以，所以，，
所以，
因为为锐角三角形，所以，即，即．
令，，根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，
在上单调递增，且，，，所以，即，所以，即的取值范围为．
19．【解析】方法一：（1）面，四边形是正方形，其对角线，交于点
，，
交与点，平面
平面，
（2）作于，连接，面，四边形是正方形，，
又，，，，且，
是二面角的平面角．即，
面，就是与底面所成的角
连结，则，，，
而，，，，
与底面所成角的正切值是
方法二：（1）以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
设正方形的边长为1，则，，
，（），，，（）
，，
（2）设平面的一个法向量为
则，而，，
，取，得，
同理可得平面的一个法向量，设，所成的角为，则，
即，，
面，就是与底面所成的角，
与底面所成角的正切值是
20．（1）设范老师抽到的4个汉字中，至少含有3个后两天学过的事件为，
由题意可得．
（2）由题意可得可取0，1，2，3，则有，，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
故．
21．（1）由题意可得，，
故抛物线的方程可设为，的方程为
由得，
椭圆：，抛物线：，
（2）由（1）知，直线的斜率为，所以直线的斜率为，设直线方程为
由，整理得
设、，则，
因为动直线与椭圆交于不同两点，所以
解得
，
，，
，所以当时，取得最小值，
其最小值等于
22．【详解】（1）当时，，，
由，得；由，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
因为，，
，，
注意：每个数值1分共3分
所以在区间上的最大值为0，最小值为．
（2）（）．
①当时，，在上单调递减，不可能有两个零点，舍去；
当时，所以（），
由，得，所以在上单调递增；
由，得，所以在上单调递减．
所以当时，取得极大值，极大值为，
为满足题意，必有，得．
②因为，是的两个不同的零点，
所以，，
两式相减得．
设，要证，
只需证，即证．
设，只需证（），
设（），则，
所以在上为增函数，从而，
所以（）成立，从而．