姓名： 班级：
（在此试卷上答题无效）
秘密★启用前 试卷类型：A
铜仁市2024年2月高二第二学期开学适应性模拟检测
数 学 试 题
注意事项：
答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
2．各项均为正数的等比数列中，若，则 （ ）
A．9 B．10 C．11 D．
3．如图，在四面体中，是棱上靠近的三等分点，分别是的中点，设，，，用，，表示，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．已知等比数列的前n项和为，公比为q，则“”是“数列是递减数列”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
7．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为 （ ）
A． B． C． D．
8．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美。二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若二十四等边体的表面积为，则 （ ）
A． B．
C．与所成的角是的棱共有12条 D．该二十四等边体外接球的表面积为
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知圆下列说法正确的是 （ ）
A．过点作直线与圆交于两点，则范围为
B．过直线上任意一点作圆的切线，切点分别为则直线必过定点
C．圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为
D．圆上有4个点到直线的距离等于1
10．已知无穷数列的前3项分别为2，4，8，…，则下列叙述正确的是 （ ）
A．若是等比数列，则 B．若满足，则
C．若满足，则 D．若满足，则
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，与轴相交于点的内切圆与边相切于点．若，则下列说法正确的有 （ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．若直线与双曲线有且仅有1个公共点，则
C．的最小值为12
D．的内切圆的圆心在定直线上
12．如图，在棱长为1的正方体中，点在侧面内运动（包括边界），为棱中点，则下列说法正确的有 （ ）
A．存在点满足平面平面
B．当为线段中点时，三棱锥的外接球体积为
C．若，则最小值为
D．若，则点的轨迹长为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列，满足，若，则数列的前2024项和为 ．
14．在空间直角坐标系中，表示经过点，且方向向量为的直线的方程，则点到直线的距离为 ．
15．如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，切点圆分别为.这两个球都与平面相切，切点分别为，丹德林（G.Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为G.Dandelin双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为，的半径分别为2，5，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值是 ．
16．若，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知直线，直线．
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
18．（12分）在以下三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并完成解答.
条件：①直线的法向量为；②与直线平行；③与直线垂直.
题目：已知直线经过且___________.
（1）求直线方程；
（2）若点是直线上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，两点，求四边形的面积的最小值.
19．（12分）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点.
（1）求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程；
（2）P为矩形场地AD边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP的距离为，且直线FP与点M的轨迹没有公共点，求P点横坐标的取值范围.
20．（12分）已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）若的前项和为，证明：．
21．（12分）如图①所示，在中，，，，垂直平分．现将沿折起，使得二面角的大小为，得到如图②所示的四棱锥．
（1）求证：平面平面；
（2）若Q为上一动点，且，当锐二面角的余弦值为时，求四棱锥的体积．
22．（12分）已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，过点的直线与椭圆相交于不同的两点P、Q（异于A、B），且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AP、QB的斜率分别为、，且，求的值；
（3）设和的面积分别为、，求的最大值秘密★启用前
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数学参考答案与评分标准
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D B C B A D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
题号 9 10 11 12
答案 ABD ACD ACD ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
题号 13 14 15 16
答案 6 3－2
解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1），直线，直线，
………………(2分)，解得或.………………(3分)
当时，
直线，即；
直线，即，
此时两直线重合，不满足，故舍去；………………(4分)
当时，
直线，即；
直线，即，
此时，满足题意；
综上可得：当，直线的方程为：.………………(5分)
（2）当直线在两坐标轴上的截距相等，都为时，直线过点，
则，解得.………………(7分)
此时直线方程为：；
当直线在两坐标轴上的截距相等，不为时，
则直线的斜率为，解得………………(9分)
此时直线方程为：.
综上可得：直线的方程为：.………………(10分)
18．（1）若选择①：由法向量，可得直线的一个方向向量，可得，………………(2分)
于是，代入并整理得，………………(4分)
综上，直线方程为；………………(5分)
若选择②：与直线平行，可设直线方程为，，………………(2分)
将代入，则有，解得………………(4分)，整理得，
综上，直线方程为；………………(5分)
若选择③：与直线垂直，可设直线方程为，………………(2分)
将代入，则有，解得………………(4分)，整理得
综上，直线方程为.………………(5分)
（2）由题意，圆的方程为，得圆心为，半径为，………………(6分)
则到距离为，即直线与圆相离，………………(8分)
而………………(9分)，，，
当时，，………………(11分)
此时面积的最小值为.………………(12分)
19．（1）分别以为轴，建立平面直角坐标系，则，………………(1分)
设成功点，可得
即,………………(3分)化简得………………(4分)
因为点需在矩形场地内，所以
故所求轨迹方程为………………(6分)
（2）设，直线方程为………………(7分)
直线FP与点M的轨迹没有公共点,则圆心到直线的距离大于
依题意，动点需满足两个条件：
点的轨迹所在圆的圆心到直线的距离
即,解得………………(9分)
②点的轨迹与轴的交点到直线的距离
即,解得………………(11分)
综上所述，P点横坐标的取值范围是………………(12分)
20．（1）当时，．
因为，
所以，………………(2分)
当时，，
所以，所以，………………(4分)
当时，符合上式；………………(5分)
所以；………………(6分)
（2）设，有，
可知数列单调递减………………(8分)，可知，有，
可知．………………(9分)
当时，有，………………(10分)
当时，，
当时，有
，………………(12分)
由上可知．
21．（1）因为垂直平分，则，，
即，，………………(1分)
且，，平面，所以平面，………………(3分)
又因为平面，所以平面平面．………………(5分)
（2）由（1）可知：，，
则为二面角的平面角，即．………………(6分)
又因为，所以为等边三角形．
在中，因为，，，
可得，
则，所以．
连接，因为为的中点，所以为等边三角形．
取的中点，连接，，则，，
又因为平面平面，平面平面，平面，
则平面，且平面，所以．………………(7分)
故以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
可得，
设，，则，
解得，故，………………(9分)
所以，．
设平面的法向量为，
则，
令，则，则．………………(10分)
设平面（即平面）的一个法向量为，
则，令，则，可得，………………(11分)
由题意可得，
整理得，解得或（舍），
所以．
故，
所以四棱锥的体积为．………………(12分)
22．（1）因为，所以，………………(1分)
由可得，解得，………………(2分)
由离心率可求出标准方程为………………(3分)
（2）由题意可知：点在椭圆内，直线与椭圆必相交，
且直线的斜率可以不存在，但不为0，
设直线的方程为，设点、，
联立方程，消去x可得，………………(4分)
由韦达定理可得，，………………(5分)
则，………………(6分)
可得
，………………(8分)
即，所以的值.
（3）由（2）可知：，，
所以
，………………(10分)
因为，则，
因为函数在上单调递增，
故，………………(11分)
所以，当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为.………………(12分)
