山东省青岛市莱西市2023-2024学年高三上学期期末教学质量检测数学试题（含答案）

山东省青岛市莱西市2023-2024学年高三上学期1月期末教学质量检测数学试题
本试卷共22题,全卷满分150分,考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用像皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,请将答题卡上交.
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数,则复数虚部为( )
A. B. C. D.
2.对于直线,下列选项正确的为( )
A.直线倾斜角为 B.直线在轴上的截距为
C.直线的一个方向向量为 D.直线经过第二像限
3.在等比数列中,,则( )
A.4 B. C.8 D.5
4.“”是“直线与平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.圆与圆相交于A、B两点,则( )
A.2 B. C. D.6
6.是等差数列的前项和,若恒成立,则不可能的值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
7.设数列的前项和为,已知,若,则正整数的值为( )
A.2024 B.2023 C.2022 D.2021
8.直线与椭圆交于A、B两点（点在第一象限),过点作轴的垂线,垂足为E,AE的中点为,设直线BM与椭圆的另一交点为,若,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.欧拉公式(其中为虚数单位，)是由瑞士著名数学家欧拉创立的,它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起,充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列结论正确的是( )
A.在复平面内对应的点在第三象限 B.
C.的共轭复数为1 D.复数的实部为
10.已知点是直线的上一动点,成公差非0的等差数列,,则下列说法正确的有( )
A.若,则NP的最大值为
B.直线横过定点
C.存在3个点到直线的距离为.
D.已知,若存在点,使得,则的范围为.
11.南宋数学家杨辉所著的(详解九章算法.商功)中出现了如图所示的形状,后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,…..,设第层有个球,从上往下层球的.总数为,则( )
A. B. C. D.
12.已知椭圆,直线与相交于两点,,若椭圆恒过定点,则下列说法正确的是( )
A. B. C.|AB|的长可能为3 D.|AB|的长可能为4
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.记双曲线的离心率为,写出满足条件“直线与无公共点”的的一个值____________.
14.若复数的模是,则的最大值为____________.
15.数列的前项和,数列定义如下:对于正整数是使得不等式成立的所有中的最小值,则数列的前项和为____________.
16.过抛物线的焦点的直线交于A,B两点,为线段AB的中点,上任意一点都满足；则的最小值为____________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知等差数列的前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,求数列的前项和.
条件①:；条件②:；条件③:.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.(12分)已知抛物线上第一象限的一点到其焦点的距离为2.
(1).求拋物线的方程及点的坐标;
(2).过点的直线交抛物线于A,B两点,的角平分线过抛物线焦点,求直线AB的方程.
19.(12分)已知为等差数列,公差中的部分项恰为等比数列,且公比为，若;
(1)求;
(2)求数列的通项公式及其前项之和.
20.(12分)已知是公差不为0的等差数列,,且成等比数列:数列,数列的前项和
(1)求
(2)求
21.(12分)中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线经过点一条渐近线方程为.
(1)求的方程:
(2)若过的上焦点的直线与交于A,B两点.求证:以AB为直径的圆过定点.并求该定点.
22.(12分)已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为,且直线是双曲线的一条渐近线.直线与椭圆交于C,D两点,且的周长最大值为8.椭圆的左、右顶点分别为A,B,点P,Q为椭圆上异于A,B的两动点,直线PQ与轴相交于点,记直线AP的斜率为,直线QB的斜率为.
(1)求值.
(2)若,设和的面积分别为,求的最大值.
数学试题参考答案
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.
二、多选题:本题4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.BD 10.ACD 11.BC 12.AC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.2(满足皆可) 14. 15. 16.-4
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.解:(1)由题意知:
即:化简得.
所以数列的通项公式…………………………………………….5分
(2)若选①:,………………………….……………………………………………….7分
………………….10分
若选②:, ……………………….……………………………………………………7分
.
………………………………………………….10分
若选③:,………………………………7分
.……………………………………………….10分
18.解:(1)由题意得:由可得:,.……………………………………………2分
故抛物线方程为:,…………………………………………………………………3分
当时,,又因为,所以,
所以点坐标为;…………………………………………………………………4分
(2)由题意可设直线方程为
由消去得………………………………5分
所以……………………………6分
因为的角平分线过焦点,
轴,所以………………………………………………………8分
所以,即,………………………10分
即,所以………………………………………………………………11分
直线AB的方程为…………………………………………………………12分
19.解:(1)由成等比数列,故,即
即,又故………………………………2分
故等比数列的公比…………………………………………………………………………4分
(2)在等差数列中,………………………………………………6分
在等比数列中,
故,即…………………………………………………………………….9分
…………………………………………………12分
20.解:(1)因为成等比数列,所以,…………………………………………………………1分
又等差数列的公差为,所以,解得,………………………2分
………………………………………………………………………………………3分
……………………………………………………………………………4分
对上式两边同时除以得:,即…………………………………5分
………………………………………………………………………………………7分
数列是以为公比的等比数列,
………………………………………………………………………………………………8分
(2)当为偶数时,
……………………………9分
当为奇数时,
……………………………11分
…………………………………………………………………………………12分
21.解:(1)由题可设双曲线方程为,
双曲线经过点
双曲线方程为.…………………………………………………………………………………12分
(2)设AB方程为,
………………5分
由韦达定理得：
…………………………6分
以AB为直径的圆的方程为,
即:,…………………………………………………7分
由对称性知以AB为直径的圆必过轴上的定点,令,……………………………………………8分
得,
,即.……………………9分
对恒成立,, …………10分
经过定点
检验,当时,,
此时圆的方程为,也经过点………………………………………………11分
以AB为直径的圆经过定点;…………………………………………………………………12分
22.解：(1)设CD与轴的交点为,由题意可知,
则,
当CD过右焦点时,的周长取最大值,所以,
双曲线的渐近线为,又直线是双曲线的一条渐近线,
,即,所以,
所以椭圆的标准方程………………………………………………………………4分
设,直线PQ的方程为,与椭圆方程联立,有消去
得,,
则,即,
由韦达定理得:
,即
由题意,,
所以,……………………8分
(2)若,则直线PQ的方程为,由韦达定理得
所以,
,则,
因为函数在上单调递增,故,
所以,,当,即时,等号成立,
因此,的最大值为3.……………………………………………………………12分