江西省上饶市重点中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题（含解析）

江西省上饶市重点中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题
考试时间:150分钟
一、单选题
1.已知经过点和点的直线的方向向量为,则实数的值为( )
A. B.-1 C.1 D.-4
2.若曲线上相异两点P、Q关于直线对称,则的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图,平行六面体中,点在上,点在上,且,,若,则( )
A. B. C. D.
4.某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查,得到如下统计表.发现销售量(万件)与时间(月)成线性相关,根据表中数据,利用最小二乘法求得与的回归直线方程为:.则下列说法错误的是( )
时间(月) 1 2 3 4 5
销售量(万件) 1 1.6 2.0 a 3
A.由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件 B.表中数据的样本中心点为
C. D.由表中数据可知,和成正相关
5.已知椭圆分别为椭圆的左右焦点,直线与粗圆交于A、B两点,若四点共圆,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.如图,圆在第一象限,且与轴、直线均相切,圆心都在直线上.当圆相外切时,记圆的面积分别为,则( )
A.1:2 A.1:2 C.1:9 B.1:4 D.1:16
7.2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”“莲莲”、“宸宸”的三个吉样物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为( )
A.50 B.36 C.26 D.14
8.已知抛物线,圆,在抛物线上任取一点,向圆作两条切线PA和PB,切点分别为A,B,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
9.已知的展开式的各二项式系数的和为128,则( )
A. B.展开式中的系数为280
C.展开式中所有项的系数和为-1 D.展开式中的第二项为
10.某市两万名高三学生数学期末统考成绩(满分150分)近似服从正态分布,则下列说法正确的是( )
(附:若随机变量服从正态分布,则,.
A.该次成绩高于144分的学生约有27人
B.任取该市一名高三学生,其成绩低于80分的概率约为0.023
C.若将该次成绩的前划定为优秀,则优秀分数线约为128分
D.试卷平均得分与试卷总分比值为该试卷难度,则该份试卷难度为0.60
11.已知曲线,其中,则下列结论正确的是( )
A.方程表示的曲线是椭圆或双曲线
B.若,则曲线的焦点坐标为和
C.若,则曲线的离心率
D.若方程表示的曲线是双曲线,则其焦距的最小值为
12.在正方体中,分别为的中点,点满足,则( )
A.平面
B.三棱锥的体积与点的位置有关
C.的最小值为
D.当时,平面PEF截正方体的截面形状为五边形
三、填空题
13.已知,则在上的投影向量的模为____________.
14.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式,该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体.现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿的六个顶点,要求E,F处用同一种形状的风铃,其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃,则不同的装饰方案共有__________种.
15.学校给每位教师随机发了一箱苹果,李老师将其分为两份,第1份占总数的,次品率为,第2份占总数的,次品率为.若李老师分份之前随机拿了一个发现是次品后放回，则该苹果被分到第1份中的概率为____________.
16.在平面直角坐标系中,已知双曲线的左、右焦点分别为,过且斜率为的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点(B在第一象限)，的重心为,内心为,且轴,则双曲线的离心率为___________.
二、解答题
17.甲乙两人进行某项比赛
(1)若比赛结果有胜利、失败、平局三种,已知甲获胜的概率为0.4,甲不输的概率为0.9,求甲乙两人取得平局的概率;
(2)若比赛结果只有胜利、失败两种,已知甲获胜的概率为,对于甲来说,一局定胜负和三局两胜两种比赛方式比较,试问哪种比赛方式对甲更有利 说明你的理由.
(说明:“三局两胜”是常见的比赛模式,指先 得两局者为胜,做多三局结束)
18.已知圆经过三点.
(1)求圆的一般方程;
(2)过点的直线与圆交于E,F两点,,求直线的方程.
19.某品牌商家入驻一家购物平台后,销售额大幅提升,为了答谢顾客并进一步提升销售额,该品牌商家每年都在“跨年夜”购物狂欢节进行该品牌商品的促销活动.促销活动规则如下：①“价由客定”,即所有参与该商品促销活动的人进行网络报价,每个人并不知晓其他人的报价,也不知道参与该商品促销活动的总人数;②报价时间截止后,系统根据当年“跨年夜”该商品数量配额,按照参与该商品促销活动人员的报价从高到低分配名额;③每人限购一件,且参与人员分配到名额时必须购买.某位顾客拟参加2020年“跨年夜”该商品促销活动,他为了预测该商品最低成交价,根据该购物平台的公告,统计了最近5年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数(单位:十万)(见下表)
年份 2015 2016 2017 2018 2019
年份编号 1 2 3 4 5
参与人数(单位:十万) 0.5 0.6 1 1.4 1.7
(1)由收集数据的散点图发现,可用线性回归模型拟合参与人数(十万)与年份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程:,并预测2020年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数;
(2)该购物平台调研部门对2000位拟参与2020年“跨年夜”该商品促销活动人员的报价进行抽样调查,得到如下的一份频数表:
报价(千元)
频数 200 600 600 300 200 100
①求这2000位参与人员报价的平均值和样本方差(同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替);
②假设所有参与该商品促销活动人员的报价可视为服从正态分布,且与可分别由①中所求的样本平均值和样本方差估值.若预计2020年“跨年夜”该商品最终销售量为31730件,请你合理预测(需说明理由)该商品的最低成交价.
参考公式: ①回归方程:,其中;
②
③若随机变量服从正态分布,则,
20.如图,在三棱柱中,平面,已知,点是棱的中点.
(1)求证:平面ABC
(2)求平面ABC与平面夹角的余弦值;
21.有一种双人游戏,游戏规则如下:一个袋子中有大小和质地相同的5个小球,其中有3个白色小球,2个红色小球,每次游戏双方从袋中轮流摸出1个小球,摸后不放回,摸到第2个红球的人获胜,同时结束该次游戏,并把摸出的球重新放回袋中,准备下一次游戏,且本次游戏中输掉的人在下一次游戏中先摸球.小胡和小张准备玩这种游戏,约定玩3次,第一次游戏由小胡先摸球.
(1)在第一次游戏中，求在小胡第一轮摸到白球的情况下，小胡获胜的概率;
(2)记3次游戏中小胡获胜的次数为,求的分布列和数学期望.
22.已知椭圆的一个顶点为,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点定点作斜率为的直线与椭圆交于,直线的斜率分别记为.求的值。
参考答案
1.D
【分析】根据已知条件、结合向量共线列出方程,求解即可得出答案.
【详解】由题过点和点的直线的方向向量为,
所以.
故选:D
2.D
【分析】根据圆上的任意两点关于直径对称即可求解.
【详解】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称,则圆心在直线上,故代入解得,
故选:D.
3.A
【分析】根据空间向量的运算法则确定,得到答案.
【详解】,
【详解】,
故.
故选:A
4.A
【分析】根据给定数据，结合回归直线的特性逐项判断即得.
【详解】依题意,,
而与的回归直线方程为:,则,
解得,表中数据的样本中心点为,BC正确;
由,得和成正相关,D正确;
2024年1月份,即,由回归直线方程,得,
因此2024年1月份该地区的销售量约为6.8万件,错误.
故选:A
5.
【分析】根据四点共圆及的倾斜角得到为等边三角形,故,进而求出,利用椭圆定义得到方程,求出离心率.
【详解】因为四点共圆,为圆心,所以,故,又的倾斜角为,
故为等边三角形,故,
由勾股定理得,
由椭圆定义可得，即,
解得.
故选:C
6.D
【分析】过作轴,垂足为,过作轴,垂足为,设圆的半径分别为,由可得两圆半径间的关系,即可求解.
【详解】过作轴,垂足为,过作轴,垂足为,设圆的半径分别为,如图所示:
圆在第一象限,且与轴、直线均相切,圆心都在直线上
,圆相外切
,即,整理得
故选:D.
7.A
【分析】按照2,2,1和3,1,1分组讨论安排.
【详解】(1)按照2,2,1分3组安装,
若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”,则共有种,
若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”,则共有种,
(2)按照3,1,1分3组安装,
若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”,则共有种,
若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”,则共有种,
故共有种,
故选:A.
8.A
【分析】设点,由已知关系,可用点坐标表示出|PC|,在Rt中,由,
进而可推出,根据的范围,即可得到结果.
【详解】
由已知,.
如图,设点,则,
在Rt中,有
易知,则,则,因为,所以当时,取得最大值0,又,所以,.
所以,的取值范围是.
故选:A.
9.
【分析】利用二项式定理及二项式系数的性质、二项展开式的通项公式、赋值法逐一进行判断.
【详解】由二项式系数的性质,可得:.故A正确;
展开式通项为,
令,则的系数为:,故B错误;
令可得所有项的系数和为,故C正确;
展开式的第二项为:,故D错误.
故选:AC
10.
【分析】根据正态分布的对称性以及原则,结合选项一一分析即可得出答案.
【详解】对于,设两万名高三学生数学期末统考成绩为,则,
所以,则,
所以,
所以该次成绩高于144分的学生约有人,故A正确;
对于,
所以,故B不正确;
对于C,因为,
所以
,
若将该次成绩的前划定为优秀,则优秀分数线约为128分,故C正确;
对于,试卷平均得分即为,试卷总分150,
所以,故不正确.
故选:AC.
11.
【分析】通过的范围,判断曲线的形状,利用特例判断,求出焦点的坐标,判断,求出离心率的范围判断C,求出焦距判断D.
【详解】对于选项,当时,曲线,表示直线或,故选项A错误;对于选项,当时,曲线方程为,可知曲线为焦点为和的椭圆,故选项正确;
对于选项C,当时,曲线方程为,因为,可得曲线为焦点在轴上的椭圆,,则,
所以离心率,因为,
所以,
故选项C正确;
对于选项,若方程表示的曲线是双曲线,因为曲线方程为,所以,即,故,所以,所以,因为,所以,所以,故,所以,故焦距,所以其焦距的最小值为,故选项D正确.故选:BCD.
12.
【详解】
A选项,以为坐标原点,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,
则
则,
所以,
又平面平面,
所以平面,故正确;
选项,因为在正方体中,且,
所以四边形为平行四边形,因此,
又平面平面,所以平面,
因此棱上的所有点到平面的距离都相等,又是棱上的动点,
所以三棱锥的体积始终为定值,故B错;
C选项,,因为,所以,所以
当时,有最小值,最小值为,故C错误;
选项,连接EC,取中点为,当EC与交点为点时,平面PEF截正方体截面图形ECDG为四边形,如图1,
此时,此时,
当时,如图2,截面为五边形EBFKL,故D正确;
故选:.
13.
【分析】由投影向量的定义结合数量积公式即可得解.
【详解】因为,所以,
则在上的投影向量的模为.
故答案为:.
14.72
【分析】对于本题共4种不同形状的风铃,要求是使用同一种风铃,其余各棱的两个顶点挂不同形状的风铃,可以理解相邻顶点挂不同形状的风铃,通过分析使用3种或4种风铃满足条件.
【详解】使用3种形状风铃,只能EF同,AC同,BD同.此时共有:种挂法,
使用4种形状风铃,此时有两种情况;
1)AC同,BD不同：直接将4种风铃挂到ABDE四个点上,
全排列有:种,
2)AC不同,BD同：此时与1)相同，共有=24种,
综上,共有种,
故答案为:72
【点睛】涂色问题解决问题的关键是在判定使用颜色数量,合理分类,合理分步,熟练分类加法及分步乘法原则.
15.
【分析】利用贝叶斯公式即可.
【详解】设事件为“拿的苹果是次品”,为“拿的苹果来自第份”,
则,
所以,
所求概率为.
故答案为:
16.3
【分析】设内切圆在轴上的切点为,根据切线的性质及双曲线的定义求得,由条件及重心的性质得,进而得的坐标,由的斜率为得的关系,从而得出离心率.
【详解】设双曲线的焦距为2c.
因为的内心为,所以设内切圆在轴上的切点为,与的切点分别为R,S,
所以,
即所以.
因为的重心为轴,所以.
又在OB上,且,所以.
又在双曲线上,所以.所以.
所以,整理,得,即,
化简,得,解得或(舍去).
所以双曲线的离心率为3.
故答案为:3.
17.(1)0.5
(2)一局定胜负对甲更有利
【分析】(1)甲不输是甲获胜与平局互斥的和事件,利用加法公式,求平局的概率;
(2)分别计算一局定输赢和三局两胜情况下甲获胜的概率，比较大小.
【详解】(1)甲乙两人取得平局的概率为.
(2)对于甲来说，一局定胜负的情况下，赢得比赛的概率为,
三局两胜的情况下,赢得比赛的概率为,因为,
所以,则一局定胜负对甲更有利.
18.(1)
(2)或
【分析】(1)待定系数法设出圆的一般方程解方程组即可求得答案.
(2)利用直线与圆的位置关系，分两种情况讨论可得答案.
【详解】(1)设圆的一般方程为,把A,B,C三点坐标代入可得,
解得,
所以圆的一般方程为.
(2)由(1)得圆的标准方程为,即圆心为,半径为.当直线1与轴垂直,即时,此时,符合题意;当直线1与轴不垂直时,设该直线的方程为,即,则圆心到直线1的距离,解得，
所以直线1的方程为.
综上，直线1的方程为或.
19.(1),预测2020年跨年夜参与该商品促销活动的人数为20万;(2);该商品的最低成交价为4.8千元.
【分析】(1)由题意计算可得,代入公式,求得,进而可得,即可得回归方程,代入,即可预测2020年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数;
(2)由表中的数据,代入公式,即可求得平均数和样本方差;
由题意可得和,可得根据正态分布的性质,计算对应的概率值,结合题意,即可得最低成交价.
【详解】解：(1)由题意可知
所以,
所以归回方程为,
当时,.
所以预测2020年跨年夜参与该商品促销活动的人数为20万
(2)由表中的数据,得平均数
样本方差
由可知,
又，
则,又,
所以该商品的最低成交价为4.8千元.
20.(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)利用勾股定理确定,根据线面垂直得到,得到平面ABC；
(2)建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算两个平面的法向量，再根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】(1)中,,即,
满足,故,
平面平面,故,
又平面ABC,故平面ABC
(2)如图所示：以BC,BC1,BA为轴建立空间直角坐标系,
平面ABC,故平面ABC的一个法向量为,
设平面的法向量为,
则,取得到,
平面ABC与平面夹角的平面角为锐角,
故余弦值为.
21.(1)
(2)分布列见解析,
【分析】(1)根据条件概率的计算公式即可求得答案.
(2)记“先摸球者获胜”为事件,求出,确定的取值,求得每个值对应的概率,即可得分布列,继而求得数学期望.
【详解】(1)记小胡“第一轮摸到白球”为事件,“小胡获胜”为事件,
则,
故;
(2)记一次游戏中“先摸球者获胜”为事件,
则,
则的可能取值为0,1,2,3,
则,
故的分布列为:
0 1 2 3
故.
22.(1)
(2)1
【分析】(1)根据题意,列出关于的标准方程,代入计算,即可得到结果;
(2)根据题意,设直线,联立直线与椭圆方程,结合韦达定理,代入计算,即可得到结果.
【详解】(1)得,所以陏圆的方程为:.
(2)
设直线,则,
消得:,
所以,
设,
所以,
因为,所以,