河南省驻马店市2023-2024学年高一上学期1月期终考试数学试题（含答案）

驻马店市2023~2024学年度第一学期期终考试
高一数学试题
本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上、考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号、第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题上作答，答案无效．
3．考试结束，监考教师将答题卡收回
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，使得”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．我市某所高中共有学生6000人，其中一、二、三年级的人数比为，为迎接戏曲进校园活动，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人数为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
5．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B，若，则
C．若，则 D．若均为实数，则
6．由6个实数组成的一组数据方差为，将其中一个数5改为2，另一个数4改为7，其余的数不变得到一组数据的方差为．则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为（ ）
A． B． C． D．不能确定
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知关于的不等式的假集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
10．已知正实数，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为4
11．已知报件，且，则（ ）
A．如果与相互独立，那么
B．如果与相互独立，那么
C．如果，那么
D．如果与互斥，那么
12．已知是奇函数，为自然对数底数，若，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本小题共4小题，每小题5分；共20分．
13．函数的定义域为________（用区间表示）．
14．已知函数，则函数的零点是________．
15．如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件，正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为________．
16．给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若是的一个“点”，则实数的值为________．若为“函数”，则实数的取值范围为________．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．
17．（10分）
在①；②“（是非空集合）”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合．
（Ⅰ）当时，求和；
（Ⅱ）若________，求实数的取值范围．
18．（12分）
已知．
（Ⅰ）分别求和；
（Ⅱ）若，且，求．
19．（12分）
2024年入冬以来，为了减少甲流对师生身体健康的影响，某学校规定师生进出学校需佩戴口罩，现将该学校1000位师生一周的口罩使用数量统计如下表所示，其中每周的口罩使用数量在6只以上（包含6只）的有700人．
口罩使用数量
频率 0.2 0.3 0.1
（Ⅰ）求的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图（不要求写出过程，画图即可）；
（Ⅱ）根据频率分布直方图估计该学校师生一周口罩使用数量的分位数和平均数（每组数据用每组中间值代替）；
（Ⅲ）按分层抽样的方法在前三组中抽取一个容量为6的样本，记第一组抽取的2人为．第二组抽取的1人为，第三组抽取的3人为，从这6人中随机抽取两人检查其健康状况记为事件，请列出事件的样本空间，并求这两人恰好来自同一组的概率．
20．（12分）
已知定义在上的函数，且是偶函数．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）当时，记的最大值为M．，若存在，使，求实数的取值范围．
21．（12分）
随着经济发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习．已知前四年，平台会员的个数如图所示：
（Ⅰ）依据图中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式；
①，②且，③0且）
（Ⅱ）为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定无论怎样发展，会员人数不得超过千人，请依据（Ⅰ）中你选择的函数模型求的最小值．
22．（12分）
设的定义域为R，若，都有，则称函数为“函数”．
（Ⅰ）若在R上单调递减，证明是“函数”；
（Ⅱ）已知函数．
①证明是上的奇函数，并判断是否为“函数”（无需证明）；
②若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
一、选择题
1、D 2、C 3、C 4、B 5、D 6、A 7、B 8、B
二、选择题
9、AC 10、BC 11、BCD 12、ABD
三、填空题
13． 14．和4 15．0.846 16．3
四、解答题
17．（Ⅰ）当时，集合，
；
（Ⅱ）若选择①，则
当时，解得
当时，又，
所以
得，
实数a的取值范围是．
若选择②““是“”的充分不必要条件，则且
或解得
无解
实数a的取值范围是．
（不检验扣一分）
若选择③，，
当时，解得
当又
则解得
实数a的取值范围是．
18．解：（Ⅰ）
，
所以；
（Ⅱ）由，得，且，则
故，所以
19．解：（Ⅰ）由每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有700人得
故所求
频率分布直方图如下：
（Ⅱ）由（1）知，又因为口罩使用数量在的频率是0.3，
所以假设分位数为
则
由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为：
（个）
故估计所求分位数为9个，平均数估计为7个
（Ⅲ）可知样本空间
共含有15个样本点，可以认为这15个样本点出现的可能性是相等的．
记“这两个人来自同一组”为事件，则，样本点有4个，故
20．（Ⅰ）记
为偶函数，恒成立
即恒成立
恒成立
恒成立即恒成立
（Ⅱ）和都是单调递增函数
是单调递增的，
在上有解
在上有解
在上有解
在上单调递增，
．
21．（Ⅰ）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①，
∵函数增长的速度越来越快不选②
选择③且
代入表格中的三个点可得：解得：，将代入符合
．
评分标准：说明选择的原因方式一从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①。函数增长的速度越来越快不选②
说明选择的原因方式二 将代入符合两种方式说明一种即可，否则扣1分
（Ⅱ）由（1）可知：
故不等式对且恒成立
对且恒成立．
令，则
在单调递增
的最小值为
22．（Ⅰ）若在R上单调递减，则，
即，
即，
整理得：，
所以是“函数”．
（Ⅱ）①定义域为R，关于原点对称，
，
所以是上的奇函数．
在R上单减
是“H函数”
②是R上的奇函数，并为“函数”，在上单调递减，
在上恒成立
可得在上恒成立
故在上恒成立，
即在上恒成立，
又注意到，
结合，知，
得：．
令，其中
易知在上单调递减，在上单调递增
．
（此步骤基本不等式也可以，需注明取等号的条件，否则扣一分）
令，即恒成立，其中
函数与函数均在上单调递增，
故函数在上单调递增．
故，得，
则的范围为．