湖南省永州市重点中学2023-2024学年高二下学期开学检测数学试题(含答案)

2024年上期永州市重点中学高二入学检测
数学
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若两条直线和平行，则实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．等差数列的前项和为．若，则（ ）
A．8092 B．4048 C．4046 D．2023
3．如图，空间四边形中，，点在线段上，且，点为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线，圆，过圆心作直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，若成等差数列，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
6．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列满足且，若，数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
8．若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（ ）
A． B．1 C．e D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．已知空间四点，则下列四个结论中正确的是（ ）
A． B．
C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为
10．已知圆，则下列说法正确的有（ ）
A．圆关于直线对称的圆的方程为
B．直线被圆截得的弦长为
C．若圆上有四个点到直线的距离等于，则的取值范围是
D．若点是圆上的动点，则的取值范围是
11．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．直线是曲线的切线 D．点是曲线的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．点分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的面积为________．
13．已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为________．
14．已知函数恰有两个零点，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）已知等差数列的前项和为；数列的前项和．
（1）求数列与的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
16．（本小题满分15分）已知在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点在线段上，直线平面．
（1）求证：点为中点；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17．（本小题满分15分）已知椭圆经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点为椭圆上异于的两点，且，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．
18．（本小题满分17分）已知为坐标原点，双曲线的离心率为，且过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）圆的切线与双曲线相交于两点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求面积的最小值．
19．（本小题满分17分）已知（其中为自然对数的底数）．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程，
（2）当时，判断是否存在极值，并说明理由；
（3），求实数的取值范围．
2024年上期永州市一中高二入学检测
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D B B A D A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 ABD AC AD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
12． 13．8 14．
四、解答题：本大题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）设数列的公差为，则，解得，所以．
因为，当时，，两式相减得：．
又，得，所以是以2为首项，公比为2的等比数列，所以．
（2）由（1）知．则，
，两式相减得：
，所以．
16．解：（1）连接交于点，连接，因为平面，且平面，
平面平面，所以．
又因为在正方形中，是的中点，所以点为中点．
（2）因为平面，四边形为正方形，
平面，所以两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，所以．
设平面的法向量为，则即
令，则，即；
由平面，得，又平面平面，所以平面，即是平面的一个法向量．
所以．所以平面与平面夹角的余弦值为．
17．解：（1）由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为．
（2）因为为粗圆上异于的两点，所以直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，
，联立方程，消去得，
则，整理得，
由韦达定理得，
因为，
可得
化简得，解得或，
当时，直线的方程为，直线过点，不合题意；
当时，恒成立，直线的方程为，所以直线过定点．
18．解：（1）由题意得，将代入双曲线中得，
又，解得，故双曲线的标准方程为；
（2）（ⅰ）当切线的斜率为0时，方程为，不妨设，此时，解得，不妨设，则，所以；
当切线斜率不为0时，设为，由圆心到直线距离可得，故，
联立与得，，
则，又，解得，
设，则，
故，
故
，故；
（ⅱ）当切线斜率为0时，的面积为，当切线斜率不为0时，
，因为，点到切线的距离为2，故，
当时，令，则，
故，
因为，所以，同理，当时，，
综上，面积的最小值为4．
21．解：（1）当时，，可得，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）当时，，定义域为，
可得，令，则，
当时，；当时，，所以在递减，在上递增，所以，
又由，存在使得，存在使得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；
所以时，有一个极大值，一个极小值．
（3）由，可得，
由，因为，可得，
令，则在上递减，
当时，可得，则，所以，
则，
又因为使得，即
且当时，，即；当时，，即，
所以在递增，在递减，所以，
由，可得，由，可得，即，由，可得，所以，
因为，设，则，可知在上递增，且，所以实数的取值范围是．