浙江省宁波市九校2023-2024学年高一上学期1月期末联考数学试题(含答案)

宁波市2023学年第一学期期末九校联考高一数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，则的子集个数是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
2．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度“”是“”的
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知菱形的边长为1．若，则（ ）
A． B．2 C． D．
5．若函数为偶函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
6．某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长．若经过4周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过6周，该植物的长度大约是原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
7．已知函数．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数．若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（ ）
A．2 B．6 C．10 D．14
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列式子化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知边长为1的正边形．若集合，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
11．若，则（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最大值是0 D．的最大值是
12．下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．杭州第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成如图1所示，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴．会徽的几何图形如图2所示，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为．若，则____________．
图1 图2
14．与向量共线的一个单位向量的坐标是____________．
15．已知函数在上既有最大值，又有最小值．若，则____________，____________．（第一空3分，第二空2分）
16．设函数，若对任意，都存在唯一的，使得，则实数的取值范围是____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
（1）计算：；
（2）已知，求的值．
18．（12分）已知集合．
（1）当时，求；
（2）从①；②；③中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．
19．（12分）已知向量．
（1）求函数的解析式及其单调递减区间；
（2）若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围．
20．（12分）已知一个半径为3.2米的水轮如图3所示，水轮圆心距离水面1.6米，且按顺时针方向匀速转动，每45秒转动一圈．如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为．
（1）在水轮转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式；
（2）在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间段．
21．（12分）已知函数．
（1）若函数为定义域上的偶函数，求实数的值；
（2）当时，对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22．（12分）已知函数有3个不同的零点，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
宁波市2023学年第一学期期末九校联考高一数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6．C 7．A 8．B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．BD 10．ACD 11．BCD 12．ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．2 14．或 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）原式．
（2）因为，
所以，所以，
所以．
18．解：（1）由，得，所以，
当时，，所以．
（2）选①得，
当，即，得；
当时，，得．
综上，实数的取值范围是．
选②得，下同①；
选③得，下同①．
19．解：（1），由，得，
即函数的单调递减区间为．
（2）当时，令，
则函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
且．
函数在区间上有且仅有两个零点，
等价于函数的图象与函数在上有两个公共点，
所以，或，
即的取值范围是．
20．解：（1）由题意知的最大值为4.8，最小值为，所以，得．
又，解得，所以．
当时，，即，可得，又，所以，
所以.
（2）令，得．
由，得，所以，解得，
即在水轮转动的一圈内，点在水面下方的时段是30秒到45秒.12分
21．解：（1）由题知，即，
化简得，即对任意恒成立，得．
（2）因为不等式对恒成立，
所以①，且②对恒成立．
由①得．
②即对恒成立，令，则
在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以的取值范围是．
22．解：（1）由已知，
当时，在上单调递增，只有1个零点，不符；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为存在三个不同的零点，故，解得；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以只有1个零点，不符．
综上：的取值范围是．
（2）由（1）知是方程的两个不等实根，
则．
是方程的大根，即．
由，得，记，
即等价于存在，使．
因为，显然在上单调递增，
所以，
所以的取值范围使．