海南省2023-2024学年高三上学期学业水平诊断（二）数学试题(含答案)
文档属性
| 名称 | 海南省2023-2024学年高三上学期学业水平诊断（二）数学试题(含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 953.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-22 08:59:24 | ||
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文档简介
绝密★启用前
海南省2023—2024学年高三学业水平诊断（二）
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．．若双曲线的右焦点到渐近线的距离为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，若不共线，是的平分线，则（ ）
A． B． C．2 D．3
5．如图所示，用若干个正方形拼成一个大矩形，然后在每个正方形中以边长为半径绘制圆弧，这些圆弧连起来得到一段螺旋形的曲线，我们称之为“斐波那契螺旋线”．若图中最大的矩形面积为104，则这段斐波那契螺旋线的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．已知都是第二象限角，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知玩具由四个部件拼成，玩具由三个部件拼成，玩具由，三个部件拼成，其中与完全相同，与完全相同，其余部件各不相同．将三个玩具拆开成10个部件，从中随机选取3个部件，则能拼成一个完整的玩具（其中之一）的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在长方体中，与平面所成的角为，则（ ）
A．异面直线与所成的角为 B．异面直线与所成的角为
C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角的正弦值为
10．已知函数，则（ ）
A．是奇函数
B．仅有1个零点
C．不等式的解集为
D．对任意
11．已知，且，则（ ）
A． B．或
C． D．或
12．已知抛物线经过点和，过点作直线的垂线，垂足为，则（ ）
A．的焦点坐标为 B．直线的斜率的取值范围是
C．面积的最大值为32 D．的最大值为24
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线经过点，且平分圆的面积，则的方程为____________．
14．若随机变量，且，则____________．
15．已知函数的部分图象如图所示，则图中矩形（阴影部分）的面积为____________．
16．已知正三棱锥的四个顶点均在球的表面上，若正三棱锥的体积为，则球的体积的最小值为____________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
设数列的前项和为，已知，且．
（Ⅰ）证明数列是等差数列，并求的表达式；
（Ⅱ）求数列的通项公式．
18．（12分）
如图，四棱台的上、下底面均为正方形，平面．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值．
19．（12分）记的内角的对边分别为，已知且．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求．
20，（12分）
某工厂有工人200名，统计他们某天加工产品的件数，统计数据如下表所示：
加工产品的件数
人数 50 80 40 20 10
规定一天加工产品件数大于70的工人为“生产标兵”．已知这天的生产标兵中年龄大于30岁的有15人，这15人占该工厂年龄大于30岁的工人数的．
（Ⅰ）完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为该工厂的工人是否为生产标兵与年龄有关？
年龄不大于30岁 年龄大于30岁
生产标兵
非生产标兵
（Ⅱ）该工厂采用“阶梯式”的计件工资：日加工产品不超过50件的部分每件1元，超过50件但不超过60件的部分每件2元，超过60件但不超过80件的部分每件3元，超过80件的部分每件5元．假设工人小张每天加工产品的件数只可能为样本数据中各分组区间的右端点值，用对应区间的频率估计其概率，求小张每天的计件工资（单位：元）的期望．
附：．
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
21．（12分）
已知椭圆的离心率为，上顶点为．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设的右顶点为，点是上的两个动点，且直线与的斜率之和为3，证明：直线过定点．
22．（12分）
已知函数的导函数为．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程．
（Ⅱ）若存在两个不同的零点，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：．
海南省2023—2024学年高三学业水平诊断（二）
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1．D 2．A 3．A 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．ABD 10．ACD 11．BD 12．BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13． 14．0.3 15． 16．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解析（Ⅰ），
，
数列是等差数列，其首项，公差为2．
．
（Ⅱ）当时，，
当时，不适合上式．
18．解析（Ⅰ）依题意可建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，
．
，
，
，
平面．
（Ⅱ）．
设平面的法向量为，
则即
令，则．
四边形是正方形，，
平面，
平面，
是平面的一个法向量．
，
平面与平面的夹角的余弦值为．
19．解析（Ⅰ）由正弦定理可得，
，整理可得，
或．
当时，，即，不符合条件．
．
（Ⅱ）由及，可得．
由（Ⅰ）及正弦定理可得，
．
，
．
解析（Ⅰ）列联表如下：
年龄不大于30岁 年龄大于30岁
生产标兵 55 15
非生产标兵 85 45
，
，
根据的独立性检验，不能认为该工厂的工人是否为生产标兵与年龄有关．
（Ⅱ）小张每天加工产品的件数可能为60，70，80，90，100，
对应的计件工资的值依次为，，，，．
的分布列为
70 100 130 180 230
0.25 0.4 0.2 0.1 0.05
．
解析（Ⅰ）设椭圆的半焦距为的离心率为，
的上顶点为，
，
的方程为．
（Ⅱ）由的方程可知．
若直线的斜率不存在，则关于轴对称，直线与的斜率互为相反数，不符合题意，故设直线的方程为，且均不与重合．
由得，
，
，
，
令，解得．
直线的方程为，即，
直线过定点．
22．解析（Ⅰ）若，
，
，且，
曲线在点处的切线方程为．
（Ⅱ）（ⅰ），
设．
令，得，在上，，在上，，
在上单调递减，在上单调递增，
．
又当或时，要使有两个零点，只需，解得，
的取值范围为．
（ⅱ）由题意及（ⅰ）知，存在不同的，使得，
不妨设，则．
设，
则，
当时，在上恒成立，
当时，单调递减，，即．
，
在上单调递增，，
即．
海南省2023—2024学年高三学业水平诊断（二）
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．．若双曲线的右焦点到渐近线的距离为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，若不共线，是的平分线，则（ ）
A． B． C．2 D．3
5．如图所示，用若干个正方形拼成一个大矩形，然后在每个正方形中以边长为半径绘制圆弧，这些圆弧连起来得到一段螺旋形的曲线，我们称之为“斐波那契螺旋线”．若图中最大的矩形面积为104，则这段斐波那契螺旋线的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．已知都是第二象限角，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知玩具由四个部件拼成，玩具由三个部件拼成，玩具由，三个部件拼成，其中与完全相同，与完全相同，其余部件各不相同．将三个玩具拆开成10个部件，从中随机选取3个部件，则能拼成一个完整的玩具（其中之一）的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在长方体中，与平面所成的角为，则（ ）
A．异面直线与所成的角为 B．异面直线与所成的角为
C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角的正弦值为
10．已知函数，则（ ）
A．是奇函数
B．仅有1个零点
C．不等式的解集为
D．对任意
11．已知，且，则（ ）
A． B．或
C． D．或
12．已知抛物线经过点和，过点作直线的垂线，垂足为，则（ ）
A．的焦点坐标为 B．直线的斜率的取值范围是
C．面积的最大值为32 D．的最大值为24
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线经过点，且平分圆的面积，则的方程为____________．
14．若随机变量，且，则____________．
15．已知函数的部分图象如图所示，则图中矩形（阴影部分）的面积为____________．
16．已知正三棱锥的四个顶点均在球的表面上，若正三棱锥的体积为，则球的体积的最小值为____________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
设数列的前项和为，已知，且．
（Ⅰ）证明数列是等差数列，并求的表达式；
（Ⅱ）求数列的通项公式．
18．（12分）
如图，四棱台的上、下底面均为正方形，平面．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值．
19．（12分）记的内角的对边分别为，已知且．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求．
20，（12分）
某工厂有工人200名，统计他们某天加工产品的件数，统计数据如下表所示：
加工产品的件数
人数 50 80 40 20 10
规定一天加工产品件数大于70的工人为“生产标兵”．已知这天的生产标兵中年龄大于30岁的有15人，这15人占该工厂年龄大于30岁的工人数的．
（Ⅰ）完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为该工厂的工人是否为生产标兵与年龄有关？
年龄不大于30岁 年龄大于30岁
生产标兵
非生产标兵
（Ⅱ）该工厂采用“阶梯式”的计件工资：日加工产品不超过50件的部分每件1元，超过50件但不超过60件的部分每件2元，超过60件但不超过80件的部分每件3元，超过80件的部分每件5元．假设工人小张每天加工产品的件数只可能为样本数据中各分组区间的右端点值，用对应区间的频率估计其概率，求小张每天的计件工资（单位：元）的期望．
附：．
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
21．（12分）
已知椭圆的离心率为，上顶点为．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设的右顶点为，点是上的两个动点，且直线与的斜率之和为3，证明：直线过定点．
22．（12分）
已知函数的导函数为．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程．
（Ⅱ）若存在两个不同的零点，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：．
海南省2023—2024学年高三学业水平诊断（二）
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1．D 2．A 3．A 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．ABD 10．ACD 11．BD 12．BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13． 14．0.3 15． 16．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解析（Ⅰ），
，
数列是等差数列，其首项，公差为2．
．
（Ⅱ）当时，，
当时，不适合上式．
18．解析（Ⅰ）依题意可建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，
．
，
，
，
平面．
（Ⅱ）．
设平面的法向量为，
则即
令，则．
四边形是正方形，，
平面，
平面，
是平面的一个法向量．
，
平面与平面的夹角的余弦值为．
19．解析（Ⅰ）由正弦定理可得，
，整理可得，
或．
当时，，即，不符合条件．
．
（Ⅱ）由及，可得．
由（Ⅰ）及正弦定理可得，
．
，
．
解析（Ⅰ）列联表如下：
年龄不大于30岁 年龄大于30岁
生产标兵 55 15
非生产标兵 85 45
，
，
根据的独立性检验，不能认为该工厂的工人是否为生产标兵与年龄有关．
（Ⅱ）小张每天加工产品的件数可能为60，70，80，90，100，
对应的计件工资的值依次为，，，，．
的分布列为
70 100 130 180 230
0.25 0.4 0.2 0.1 0.05
．
解析（Ⅰ）设椭圆的半焦距为的离心率为，
的上顶点为，
，
的方程为．
（Ⅱ）由的方程可知．
若直线的斜率不存在，则关于轴对称，直线与的斜率互为相反数，不符合题意，故设直线的方程为，且均不与重合．
由得，
，
，
，
令，解得．
直线的方程为，即，
直线过定点．
22．解析（Ⅰ）若，
，
，且，
曲线在点处的切线方程为．
（Ⅱ）（ⅰ），
设．
令，得，在上，，在上，，
在上单调递减，在上单调递增，
．
又当或时，要使有两个零点，只需，解得，
的取值范围为．
（ⅱ）由题意及（ⅰ）知，存在不同的，使得，
不妨设，则．
设，
则，
当时，在上恒成立，
当时，单调递减，，即．
，
在上单调递增，，
即．
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