2023-2024学年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，以下结论中错误的是( )
A. 若，，三个数成等差数列，则
B. 若五个数成等差数列，则
C. 若，，三个数成等比数列，则
D. 若，，三个数成等比数列，则
2.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则实数的值是
( )
A. B. 或 C. D. 或
3.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
4.如图，在四面体中，，点、分别在线段、上，且，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
5.已知直线：，则下列结论正确的是( )
A. 直线的倾斜角是
B. 若直线：，则
C. 点到直线的距离是
D. 过与直线平行的直线方程是
6.已知等比数列的前项和为且，，则( )
A. B. C. D.
7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，；该数列的特点是：前两个数都是，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为，则以下结论中错误的是( )
A. B.
C. D.
8.已知，直线，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若方程所表示的曲线为，则( )
A. 曲线可能是圆
B. 若，则不一定是椭圆
C. 若为椭圆，且焦点在轴上，则
D. 若为双曲线，且焦点在轴上，则
10.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
11.设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若到焦点的距离为，则的坐标为
C. 若，则的最小值为
D. 若过点作斜率为的直线与抛物线相交于、两点．则
12.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.焦点在轴上，，的椭圆的标准方程为______．
14.等比数列中，，，则 ______．
15.曲线在点处的切线方程为______．
16.已知双曲线与直线相交于、两点，且、两点的纵坐标之积为，则该双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知等差数列的前项和是，前项的和是．
求这个等差数列的通项公式；
若是前项和，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆：和与圆：．
若圆与圆关于直线对称，求直线的方程；
若圆上恰有三个点到直线的距离都等于，求的值．
19.本小题分
已知等比数列的前项和为，且
求数列的通项公式；
若，令，求数列的前项和．
20.本小题分
如图，已知点，轴于点，点是线段上任意一点，于点，轴于点，与相交于点，求点的轨迹方程．
21.本小题分
已知双曲线：的渐近线方程是，实轴长为．
求双曲线的方程；
若直线与双曲线交于，两点，线段的中点为，求直线的斜率．
22.本小题分
在四棱锥中，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，，，，．
证明：．
求二面角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
对于，若，，三个数成等差数列，则，故A正确；
对于，五个数成等差数列，
，
，则，故B正确；
对于，若，，三个数成等比数列，
则，故C错误，D正确．
故选：．
利用等差数列的性质判断；利用等比中项判断．
本题考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
椭圆化为：，根据椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得，或，解得．
【解答】
解：椭圆化为：，
椭圆的长轴长是短轴长的倍，
，或，
解得：或．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的几何性质，注意将抛物线的方程变形为标准方程，属于基础题．
根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析抛物线的焦点以及的值，由抛物线的准线方程即可得答案．
【解答】
解：根据题意，抛物线的标准方程为，
其焦点在轴上，且，
则，
则抛物线的准线方程为：；
故选D．
4.【答案】
【解析】解：点、分别在线段、上，且，，
，，
，
．
故选：．
利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．
本题考查空间向量的线性运算，空间向量基本定理，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，直线：，其斜率，故直线的倾斜角为，A错误；
对于，若直线：，其斜率，两直线不垂直，B错误；
对于，点到直线的距离，C错误；
对于，设要求直线的方程为，则有，解可得，则要求直线的方程为，D正确；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查直线的一般式方程，涉及点到直线的距离公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，等比数列的前项和为且，，则，
则有，，，
则有，解可得；
又由，
则；
故选：．
根据题意，由等比数列的前项公式变形分析可得，解可得，又由，计算可得答案．
本题考查等比数列的前项和公式的应用，注意等比数列的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，“斐波那契数列”中，其前项为：，，，，，；
即，A正确；
，B正确；
由于时，由，则，
有，
则有，，，，
上面几个式子相加可得：
，
又由，则，C正确，D错误．
故选：．
根据题意，列举数列的前项，可得、B正确，由“斐波那契数列”的定义分析可得，，，，将这些式子相加，分析可得C正确，D错误，即可得答案．
本题考查数列的递推公式，注意归纳推理的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查点到直线的距离，属于基础题．
由题意利用点到直线的距离公式，求得结果．
【解答】解：点，直线，则点到直线的距离为： ，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：选项，当，即时，方程为，
表示圆心为原点，半径为的圆，故选项A正确，选项B正确；
选项，若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故选项C正确；
选项，若为双曲线，且焦点在轴上，方程即，
则，解得，故选项D错误．
故选：．
选项，计算出时，曲线表示圆，A正确，B正确；选项，根据焦点在轴上的椭圆所满足的条件得到不等式，求出答案；选项，根据焦点在轴上的双曲线所满足的条件得到不等式，求出答案．
本题考查圆锥曲线的几何性质，属中档题．
10.【答案】
【解析】解：，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：抛物线方程为，
，焦点，
对选项，在抛物线上，，选项正确；
对选项，到焦点的距离为，
，将其代入中，可得，，
的坐标为，选项错误；
对选项，在抛物线外，
，当且仅当，，三点共线时，等号成立，
的最小值为，选项正确；
对选项，过点且斜率为的直线方程为，
联立，可得，设，，
则，
，选项错误．
故选：．
根据抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系及弦长公式，即可分别求解．
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A，正方体中，，，，且，平面，
平面，平面，，
同理，，
，且，平面，
直线平面，选项正确；
对于选项B，正方体中，平面，平面，
平面，点在线段上运动，
到平面的距离为定值，又的面积是定值，
三棱锥的体积为定值，选项正确；
对于选项C，，异面直线与所成角为直线与直线的夹角，
易知为等边三角形，
当为的中点时，；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为，
故异面直线与所成角的取值范围是，选项错误；
对于选项D，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，点竖坐标为，，
则，，，，
所以，
由选项A正确：可知是平面的一个法向量，
直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，选项正确．
故选：．
在选项A中，推导出，，从而直线平面；
在选项B中，由平面，得到到平面的距离为定值，再由的面积是定值，从而三棱锥的体积为定值；
在选项C中，异面直线与所成角转化为直线与直线的夹角，可求取值范围；
在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：焦点在轴上，，，
则，解得，
故，
故所求椭圆的方程为：．
故答案为：．
结合椭圆的性质，即可求解．
本题主要考查椭圆标准方程的求解，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，
则，
，，
则，
，
则，解得，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：的导数为，
可得曲线在点处的切线斜率为，
则切线的方程为，即．
故答案为：．
求得的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程，可得所求切线方程．
本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：联立方程组，消去，得，
由题意，，即，
即双曲线，而，，
，，
即双曲线的离心率．
故答案为：．
联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理即可求出，进而求出，，即可得到双曲线的离心率．
本题主要考查双曲线的离心率，考查计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：等差数列的前项和是，前项的和是．
则，，即，，解得，，
故数列的公差，
故；
由可知，公差，且，，，
故当或时，取得最大值，最大值为．
【解析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解；
根据已知条件，依次求出，，，并结合公差，即可求解．
本题主要考查等差数列的前项和，属于基础题．
18.【答案】解：根据题意，圆：的圆心为，半径，
圆：，即，圆心为，半径，
若圆与圆关于直线对称，则直线是的垂直平分线，
由，得的斜率，
结合的中点为，可得直线的方程为，即；
在直线的两旁各有一条直线，它们与直线平行，且距离等于，
根据题意，可知这两条直线与圆恰有个公共点、、，它们到直线的距离等于．
因此，其中有一条是圆的切线，到点的距离等于半径，
故点到直线的距离，即，解得．

【解析】根据计算出两圆的的半径相等，故两圆关于连心线的垂直平分线对称，从而算出直线的方程；
利用点到直线的距离公式，求出到圆心的距离等于的直线，恰好符合题中条件，进而算出的值．
本题主要考查直线与圆的位置关系、两圆的位置关系、点到直线的距离公式及其应用，属于中档题．
19.【答案】解：等比数列的前项和为，公比设为，
由，可得，，
即为，，解得，，
则；
由，，
数列的前项和，
，
上面两式相减可得，
化简可得．
【解析】由等比数列的通项公式，分别令，，解方程可得首项与公比，进而得到所求；
由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：的方程为：，
设，，时，可得，
所以，在线段上，
所以，，解得，．
的轨迹方程为：，．
【解析】求解直线的方程，设出的坐标，转化求解的坐标，代入直线方程，求解即可．
本题考查轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
21.【答案】解：因为双曲线：的渐近线方程为，
依题意得，，
解得，，
所以双曲线的方程为．
若直线轴，此时、两点关于轴对称，
可得线段的中点在轴上，不符合题意；
若直线与轴不垂直，不妨设直线的斜率为，，，
则，
两式相减得，即，
整理得，
因为线段的中点为，
所以，，
则，
解得，
故直线的斜率为．
【解析】根据双曲线的性质及已知得，，由此可得出双曲线的方程；
利用点差法及中点坐标公式可求得直线的斜率．
本题考查双曲线的方程与性质，考查“点差法”，是中档题．
22.【答案】解：证明：连结，
在四棱锥中，是边长为的等边三角形，
底面为直角梯形，，，，．
，
，，
，，
，平面，
平面，．
解：，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
设二面角的平面角为，
则二面角的余弦值为：
．
【解析】连结，推导出，，从而平面，由此能证明．
由，得，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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