2023-2024学年上海市徐汇区上海师大附中宝山分校高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市徐汇区上海师大附中宝山分校高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则角的终边位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知函数，则( )
A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是奇函数，且在上是减函数
C. 是偶函数，且在上是增函数 D. 是偶函数，且在上是减函数
3.已知，，若，则与的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
4.是定义在上的函数，那么下列函数：；；中，满足性质“存在两个不等实数，，使得”的函数个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.将角的终边按顺时针方向旋转得角，写出所有终边与相同的角的集合 ______．
6.函数的定义域是______．
7.函数的对称中心是______．
8.函数的单调增区间是______．
9.函数的反函数为______．
10.若角的终边上有一点，，则的值是______．
11.已知函数是在定义域上的严格减函数，且为奇函数若，则不等式的解集是______．
12.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号如图是折扇的示意图，其中，，为的中点，则扇面图中扇环部分的面积是______．
13.已知正数，满足，且，则______．
14.已知函数的值域是，则实数的取值范围是______．
15.设，，是实数，若，则的值为______．
16.设表示，中的较小数若函数至少有个零点，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共38分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，，．
求集合、、；
求．
18.本小题分
已知、是关于的方程的两个根．
求实数的值，
求的值．
19.本小题分
某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数，且图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于等于时听课效果最佳．
试求的函数关系式；
一道数学难题，讲解需要分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．
20.本小题分
已知函数，且．
写出一个奇函数和一个偶函数，使；
对中的命题：函数在区间上是增函数；命题：函数是减函数；如果命题、有且仅有一个是真命题，求的取值范围；
在的条件下，求的取值范围．
21.本小题分
若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数则称在上具有性质．
若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制．
设是上只有性质的奇函数，求时不等式的解集；
设为上具有性质的偶函数若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；
已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
，，，
角的终边位于第四象限．
故选：．
利用诱导公式化简可得，，从而确定角终边所在的象限．
本题主要考查了诱导公式的应用，考查了三角函数符号的判断，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性及单调性的判断，属于基础题．
结合奇偶函数的定义先判断与的关系，然后结合时函数的解析式及复合函数的单调性即可判断．
【解答】
解：的定义域为，关于原点对称，
，
故为偶函数，
当时，，可知函数单调递增，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：构造函数，，，，．
在同一坐标系内作出两函数图象
，即是说，两图象交点的横坐标为，若，则，即．
故选：．
构造函数，在同一坐标系内作出两函数图象，通过图象解决．
本题考查函数图象幂函数、一次函数及性质，不等式大小比较，利用了函数思想，数形结合的思想．
4.【答案】
【解析】解：对于：，
，故符合；
对于，假设存在两个不等实数，，使得，
即，
则，
得，与矛盾，故不符合；
对于，，故符合．
故选：．
根据题意，找出存在的点，如果找不到则需证明：不存在两个不等实数，，使得．
本题考查函数与方程的性质，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：因为按顺时针方向旋转所得的角为负角，所以所求的角为，
则，
故终边与相同的角的集合．
故答案为：．
先求出，再由终边相同的角求解即可．
本题主要考查了终边相同角的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：令，则，
函数的定义域是，
故答案为：
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了函数定义域的求法，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为的图象关于原点对称，
把的图象向右平移个单位，向上平移个单位可得的图象，
故函数的对称中心是．
故答案为：．
由幂函数的性质可知的图象关于原点对称，然后结合函数图象的平移即可求解．
本题主要考查了函数对称中心的求解，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
因为函数与在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
故函数的单调增区间是．
故答案为：．
由函数的单调性的性质即可求解．
本题主要考查函数的单调性及单调区间，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
当时，，
，
则，即，
将，交换可得，．
故答案为：．
先求出函数的值域，再结合反函数的求法，即可求解．
本题主要考查反函数的求法，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：角的终边上有一点，，则，
．
故答案为：．
由题意，利用任意角的三角函数的定义，求出的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：函数是在定义域上的奇函数．且，
则；
则不等式可转化为；
又函数是在定义域上的严格减函数，
所以，
解得，
故答案为：．
结合题意，由函数的奇偶性可得，再利用其单调性脱“”可解得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：设线段的中点为，
．
故答案为：．
利用扇形面积公式去求扇环部分的面积即可．
本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．
13.【答案】或
【解析】解：，
，即，又，
联立得或者，
即或者，
或者，
故答案为：或．
将等号两边取以为底的对数，结合已知条件，转化为关于和的方程，求出和，即可得到所求．
本题考查了指数式、对数式的互化，考查了对数运算，主要考查计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：当时，函数，
当时，是单调递减函数，
且当时，，
所以当时，，
要满足题意，只需，解得，
所以实数的范围为，
故答案为：．
分别求出，时的值域，然后根据题意建立不等式，由此即可求解．
本题考查了分段函数的与值域有关问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设，，是实数，．
又，
则，
又，
当且仅当，即，
由比例的性质可得：，
故．
故答案为：．
首先由条件可得，借助柯西不等式可得左边大于等于，说明恰好取等，利用取等条件即可解答．
本题考查柯西不等式的运用，以及取等条件，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：作出函数的图象如图，
要使函数至少有个零点，
则或，
解得，；解得，．
实数的取值范围是．
故答案为：．
由题意画出满足条件的二次函数的图象，利用一元二次方程根的分布与系数间的关系列式求解实数的取值范围．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，是中档题．
17.【答案】解：由可得，即，
由，可得，解得，即，
由，可得，解得，即；
因为，，
所以．
【解析】分别通过解绝对值不等式，指数不等式，分式不等式得出集合、、的范围，再根据集合运算得出中的结果．
本题考查不等式的解法，集合的运算，属于基础题．
18.【答案】解：依题意，，解得或，
又，
所以，即，解得或舍去．
．
【解析】依题意，由，可求得的取值范围，利用韦达定理与三角函数间的关系可求得，即可求实数的值．
利用同角三角函数基本关系式，平方差公式化简即可求解．
本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查韦达定理的应用，求得的值是关键，属于中档题．
19.【答案】解：当时，设，
将点代入得，
当时，；
当时，将点代入，得，
所以；
当时，，
解得，所以，
当时，，
解得，所以，
综上时学生听课效果最佳，
此时，
所以，教师能够合理安排时间讲完题目．
【解析】本题主要考查了函数的实际运用，属于中档题．
利用待定系数法求函数第一段的解析式，代入特殊点求函数第二段的解析式即可；
分段求出效果最佳的的范围，验证即可．
20.【答案】解：由题意可得； ．
由二次函数的图象是开口向上的抛物线，且的对称轴为，
在区间上是增函数，故有，解得，因为．
由函数是减函数得，解得，．
当命题真且命题假时，由，解得．
当命题假且命题真时，由，即得．
故当命题、有且仅有一个是真命题，得的取值范围是．
，因为在上递增，
所以，，即：．
【解析】由题意可得； ．
由函数在区间上是增函数得，求出的范围为集合，由函数是减函数得，求出的范围为集合，则即为所求．
求出，由函数在上递增，可得 ，从而得到所求．
本题考查函数的奇偶性和单调性，不等式的解法，求两个集合的交集、并集和补集，准确运算是解题的难点．
21.【答案】解：是上具有性质的奇函数，可得为常数，
则，
又为上的奇函数，则，
即，整理可得，
解得，即，
当时，不等式，即为，
可得，即，
则原不等式的解集为；
为上具有性质的偶函数，
可得为上的偶函数，则，
即，整理可得，
解得，即，
若关于的不等式在上有解，
可得，即为在上有解．
设，由，可得，
则在上有解．
即为在上有解．
由在递增，可得的最小值为，
所以，即，
即有的取值范围是；
由题意可得当时，；当或时，，
可得当时，；当或时，
对于上的任意实数，，，不等式恒成立，
可得时，，
即有，
解得；
时，，
即为，解得．
即的取值范围是
【解析】由在上具有性质，可得，再由奇函数的定义可得的值，由指数不等式的解法可得所求解集；
由在上具有性质和偶函数的定义，可得的解析式，再由参数分离和指数函数和函数的单调性，可得所求取值范围；
分别求得在上的值域，当或时，的值域，结合不等式恒成立思想和分类讨论思想，可得所求取值范围．
本题考查函数的新定义的理解和应用，以及函数恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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