2023-2024学年河北省保定市定州市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省保定市定州市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知直线：和：互相垂直，则实数( )
A. B. C. D.
3.圆：与圆：的公切线条数为( )
A. B. C. D.
4.已知数列的首项，且，则( )
A. B. C. D.
5.在三棱锥中，为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
6.已知双曲线：的焦距是虚轴长的倍，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.设等比数列的前项和为，已知，，则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：与相交于，两点，若的面积是面积的倍，则( )
A. B. C. 或 D. 或
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若椭圆：的焦距为，则的值可能为( )
A. B. C. D.
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若非零向量，，满足，，则
B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 若空间向量，，则在上的投影向量为
D. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则或
11.在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的一个动点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使得平面平面
C. 当时，直线与所成角的余弦值为
D. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为
12.已知抛物线：，点在上，过点的直线与相交于，两点，直线，的斜率分别为，，则( )
A. B.
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在空间直角坐标系中，已知，，则 ______．
14.已知，，是抛物线：上的一点，则周长的最小值为______．
15.某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多个，已知第一排有个座位，且该阶梯大教室共有个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为______．
16.在数列中，，，其中是自然对数的底数，令，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设等差数列的前项和为，已知，．
求的通项公式；
设，数列的前项和为，若，求正整数的最大值．
18.本小题分
已知圆与圆：关于直线：对称．
求圆的方程；
若圆与圆相交于，两点，求四边形的面积．
19.本小题分
一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
若直线与交于，两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程．
20.本小题分
在正三棱柱中，，为的中点．
证明：平面．
求平面与平面夹角的余弦值．
21.本小题分
已知数列的前项和为，且，．
证明是等比数列，并求的通项公式；
若，求数列的前项和．
22.本小题分
已知椭圆：经过两点．
求的方程；
斜率不为的直线与椭圆交于，两点，且点不在上，，过点作轴的垂线，交直线于点，与椭圆的另一个交点为，记的面积为，的面积为，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线的斜率和倾斜角的关系，属于基础题．
把直线的方程化为斜截式，根据斜率求出它的倾斜角．
【解答】
解：在平面直角坐标系中，直线，即，
它的斜率为，设其倾斜角为，
则，，
可得，故它的倾斜角是．
故选C．
2.【答案】
【解析】解：因为两条直线垂直，所以，
解得．
故选：．
写出两条直线垂直的充要条件，进而求出的值．
本题考查两条直线垂直的充要条件的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：圆：与圆：，
因为，
所以圆与圆外离，它们有条公切线．
故选：．
判断圆心距与两圆半径的大小关系，从而可得结论．
本题主要考查圆与圆位置关系的判断，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为数列的首项，且，可知，，，，
故是以为周期的周期数列，
故．
故选：．
由已知先求出数列的前几项，结合项的周期性规律即可求解．
本题主要考查了数列的周期性在数列的项的求解中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据空间向量的线性运算即可求解．
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为双曲线：的焦距是虚轴长的倍，
所以，
则，
所以．
故选：．
根据焦距是虚轴长的倍，得到，进而表示出，即可求解结论．
本题主要考查双曲线的性质，考查计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为等比数列的前项和为，
所以，，成等比数列，
所以，
即，
解得．
故选：．
由等比数列的性质可知，，，成等比数列，即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题
8.【答案】
【解析】解：双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：与相交于，两点，
设到直线的距离为，到直线的距离为，则，．
因为的面积是面积的倍，所以，即，解得或．
联立方程组，整理得，由与相交，得，得，故．
故选：．
利用点到直线的距离，结合三角形的面积求解，通过直线方程与双曲线方程联立，通过判断式，求解的范围，推出结果．
本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：若，则，解得或舍去；
若，则，解得或舍去．
综合可得：或．
故选：．
根据椭圆的几何性质，分类讨论，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，分类讨论思想，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，非零向量，，满足，，由向量垂直的性质得向量与向量不一定平行，故A错误；
对于，，，由共面向量定理得，，，四点共面，故B正确；
对于，由由投影向量得：
在上的投影向量为，故C正确；
对于，，，直线平面或直线平面，故D正确．
综上，BCD正确．
故选：．
对于，由向量垂直的性质得，不一定平行；对于，由共面向量性质定理得，，，四点共面；对于，由投影向量进行判断；对于，由直线的方向向量和平面的法向量的定义和线面位置关系进行判断．
本题考查向量垂直、共面向量性质、投影向量、直线的方向向量和平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项，的面积为定值，
又平面，点到平面的距离为定值，
三棱锥的体积为定值，选项正确；
建立如图所示的空间直角坐标系，
则根据题意可得，，，
，，，．
对于选项，易知是平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
又，
设，
．
又，取，
若平面平面，则，解得，选项正确；
对于选项，当时，
又．
与所成角的余弦值为：
，，选项错误；
对于选项，当为的中点时，
可知，，，．
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，
则，解得，，
三棱锥的外接球的表面积为，选项正确．
故选：．
由棱锥的体积公式，结合面面平行的判定定理及空间几何体的外接球问题逐一判断即可．
本题考查了棱锥的体积公式，重点考查了面面平行的判定定理及空间几何体的外接球问题，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：抛物线：，点在上，
将代入，得．
过点的直线与相交于，两点，
设，，直线的方程为，
联立方程组消去得由，得或，
所以，，因为，且或，
所以，
．
因为，，所以．
故选：．
根据已知求得，设直线的方程为，联立方程组求得，，表示出斜率即可求解结论．
本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力和转化思想的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，，
所以，，
故，．
故答案为：．
结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解．
本题主要考查空间向量模公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题可知为抛物线的焦点，的准线方程为，
设为点到的准线的距离，则，
当且仅当与轴平行时，等号成立，
又，所以周长为，
所以周长的最小值为．
故答案为：．
根据抛物线的几何性质，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：该阶梯大教室的座位数按照从小到大的顺序依次成等差数列，且首项为，公差为，
设该阶梯大教室共有排，则，
解得或舍去，
所以该阶梯大教室最后一排的座位数为．
故答案为：．
该阶梯大教室的座位数按照从小到大的顺序依次成等差数列，且首项为，公差为，再利用等差数列的前项和公式求解．
本题主要考查了等差数列的前项和公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由，得，
则，
又因为，，
所以，
所以，
故．
故答案为：．
由，得，两式相减化简整理可得，从而求出结果．
本题主要考查了数列的递推式，考查了学生的计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，
由，，可得，，
解得，
所以．
由得，
所以，
所以．
令，解得，
即正整数的最大值为．
【解析】由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
由等差数列的求和公式，结合数列的裂项相消求和，可得，解不等式可得所求最大值．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：由题可知，圆的圆心为，半径为，
则原的半径为，设圆的圆心，
因为圆心与圆心关于直线：对称，
所以，解得，
所以圆的方程为；
设点到直线的距离为，则，
所以，
所以四边形的面积．
【解析】求出点关于直线：的对称点即为圆心，再写出圆的标准方程即可；
由点到直线的距离公式求出到直线的距离为，由圆的弦长公式求出，再结合对称性和三角形的面积公式即可求得．
本题考查点关于点的对称问题，直线与圆的位置关系，属于中档题．
19.【答案】解：设动圆半径为，圆心为，
则，点到直线的距离为．
又点不在直线上，
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以曲线的方程为．
设，，则，
两式相减得，即．
因为线段的中点坐标为，
所以，则，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即．
【解析】根据抛物线的定义写出曲线的方程即可；
设，，利用点差法即可求出直线的斜率，利用点斜式写出方程即可．
本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属中档题．
20.【答案】证明：连接，与交于点，连接，则为的中点．
因为为的中点，所以中，是中位线，，
又因为平面，平面，所以平面；
解：取的中点，连接，则，结合平面，可得底面，
根据是等边的中线，可得．
因为底面，底面，所以，
以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，，，，，
所以，，，．
设平面的法向量为，则，取，得，，
即为平面的一个法向量．
同理算出平面的一个法向量为，
因为，
即平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】根据题意，可利用三角形中位线定理构造线线平行，从而证出平面；
建立空间直角坐标系，先求出平面与平面的法向量，然后利用空间向量的夹角公式，算出平面与平面夹角的余弦值．
本题主要考查了棱柱的结构特征、线面平行的判定定理、利用空间坐标系求二面角的大小等知识，属于中档题．
21.【答案】解：证明：由，
得，令，由，可得．
当时，，
两式相减并化简得，
则．
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即．
由知，，
所以．
设，
则，
所以，
解得，
所以．
【解析】由数列的通项与前项和的关系，以及等比数列的定义、通项公式，可得所求；
求得，由数列的分组求和与错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查数列的通项与前项和的关系，以及等比数列的定义、通项公式与求和公式、数列的分组求和与错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：由椭圆经过两点，
所以
解得，
则椭圆的方程为：；
当直线轴时，为钝角三角形，且，不满足题意．
设，，由，可得，
所以，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，化简得，
，
且，
所以
，
则，
整理得，因为，所以，
所以直线的方程为，恒过点．
由题意可知，
设点到直线的距离为，点到直线的距离为，
所以．
【解析】将，两点的坐标代入椭圆的方程，可得，的值，进而求出椭圆的方程；
设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由，可得，求出数量积的表达式，整理可得参数的关系，即求出直线恒过的定点的坐标，由题意可得，的坐标，进而求出两个三角形的面积之比．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，直线恒过定点的求法，属于中档题．
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