2023-2024学年河北省邢台市部分重点高中高二（上）期末数学试卷（B卷）（含解析）

2023-2024学年河北省邢台市部分重点高中高二（上）期末数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在长方体中，下列向量与是相等向量的是( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，点，分别是棱，的中点，则化简的结果是( )
A.
B.
C.
D.
3.过两点，的直线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
4.已知， ，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B. C. 或 D. 以上都不对
5.若直线与直线平行，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
6.圆：关于直线对称的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
7.已知为等差数列的前项和，，则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
10.已知圆方程为：与直线，下列选项正确的是( )
A. 直线与圆必相交 B. 直线与圆不一定相交
C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相切
11.已知点，，直线：，则下列结论正确的是( )
A. 当时，点，到直线距离相等
B. 当时，直线的斜率不存在
C. 当时，直线在轴上的截距为
D. 当时，直线与直线平行
12.已知点是抛物线：上一点，是抛物线的焦点，直线与抛物线相交于不同于的点，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为______．
14.抛物线的准线方程为______．
15.已知数列满足，则 ______．
16.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线：，直线：．
若，求实数的值；
若，求实数的值．
18.本小题分
已知圆过点，和
Ⅰ求圆的方程；
Ⅱ求与垂直且被圆截得弦长等于的直线的方程．
19.本小题分
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，半焦距为．
求椭圆的标准方程；
过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于，两点，求的面积．
20.本小题分
已知数列满足：，，数列为等比数列．
求数列的通项公式；
求和：．
21.本小题分
如图，在三棱台中，，平面，，，，且为中点求证：平面．
22.本小题分
已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点．
Ⅰ求面积的最小值；
Ⅱ设直线交抛物线的准线于点，求证：平行于轴．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图所示的长方体中，
对于：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确；
对于：向量与大小相等，方向相同，所以这两个向量相等，因此本选项正确；
对于：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确；
对于：显然向量与向量方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确．
故选：．
根据长方体的性质，结合相等向量的定义进行判断即可．
本题考查的知识要点：向量的定义，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：如图所示，连接，，因为，分别是棱，的中点，
所以．
故选：．
由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案．
本题主要考查平面向量的线性运算，考查数形结合思想，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设直线斜率为，则．
故选：．
由倾斜角与斜率及两点坐标的关系可求．
本题主要考查了直线的斜率公式及斜率与倾斜角关系的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
画出图形，由题意得所求直线的斜率满足 或，用直线的斜率公式求出 和 的值，即可求出直线的斜率的取值范围．
本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想．
【解答】
解：如图所示：
由题意得，所求直线的斜率满足 或，
即或，
或，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
由题意，分类讨论，利用两条直线平行的性质，求得的值．
本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题．
【解答】
解：直线与直线平行，
当时，两直线即，，显然两直线平行，满足条件．
当时，两直线即，，显然两直线不平行．
由，求得，
综上可得，或，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由题意得圆的圆心为，半径为，
设点关于直线对称的点为，
故，解得，
故关于直线对称的点为，
所以所求的圆的方程为．
故选：．
首先求出圆的圆心和半径，得到圆心关于直线对称的点的坐标，从而得到对称的圆的方程．
本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为数列为等差数列，
所以，
所以，
所以．
故选：．
利用等差数列的性质以及前项和公式求解即可．
本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意可知，，解得，，
所以双曲线的方程是．
故选：．
根据双曲线定义求解即可．
本题主要考查双曲线的定义，考查计算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，因为，故三个向量共面，故A符合题意；
对于，假设共面，
则，，使得，
故有，方程组无解，故假设不成立，故B不符合题意；
即，，不共面；
对于，，故三个向量共面，故C符合题意；
对于，，故三个向量共面，故D题意符合．
故选：．
根据空间向量共面基本定理进行求解判断即可．
本题主要考查了空间向量的基本定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意，圆的圆心，半径，
直线变形可得，
则直线恒过定点，
，
点在圆内，
直线与圆必相交，故A正确，BD错误，
由平面几何知识可知，当直线与过定点和圆心的直线垂直时，
弦长有最小值，
则弦长为，故C正确．
故选：．
先求出直线的定点，再结合两点之间的距离公式和平面几何知识，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识和定点问题，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，当时，直线为，
此时点到的距离为，点到直线的距离为，不相等，故A不正确；
对于，时，直线为，直线的斜率存在且为，故B不正确；
对于，时，直线为，取，得，即直线在轴上的截距为，故C正确；
对于：时，直线为，其斜率，不过点，
而，斜率与直线的斜率相等，所以直线与直线平行，故D正确．
故选：．
根据题意，利用点到直线的距离公式判断出项的正误；由直线的方程算出直线的斜率，判断出项的正误；根据截距的概念判断出项的正误；根据两条直线平行计算出的值，判断出项的正误，由此得解．
本题主要考查直线的基本量与基本形式，考查了计算能力、概念的理解能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：将点的坐标代入抛物线的方程，可得，可得，对；
所以，抛物线的方程为，其准线方程为，故，对；
易知点，直线的斜率为，直线的方程为，
联立，解得或，即点，
所以，，对；
，故、不垂直，错．
故选：．
将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可判断选项；利用抛物线的焦半径公式可判断选项；将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，结合抛物线的焦点弦长公式可判断选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断选项．
本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：设椭圆的焦点坐标为，
由已知求得，，则，
设过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为，
把点代入，得，解得．
过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为．
故答案为：．
根据题意设出所求椭圆方程，再代入点的坐标即可求出结果．
本题考查椭圆的简单性质，训练了待定系数法的应用，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：抛物线的标准方程为，
所以，解得，
其准线方程为．
故答案为：．
将抛物线的方程化为标准方程，求出，再写出抛物线的准线方程．
本题考查了抛物线的标准方程应用问题，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：依题意，由，
可得，
，可得，
当时，．
故答案为：．
由，可得，两式相减进一步推导可得，将代入即可计算出的值．
本题主要考查递推公式的基本运算．考查了整体思想，转化与化归思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：由；
由．
综上：且．
故答案为：．
两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．
17.【答案】解：由，则，且，
解得；
由，则，
解得或．
【解析】利用直线平行、垂直的充要条件列方程求参数值即可．
本题考查两条直线平行，垂直的充要条件的应用，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ设圆的方程为．
因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是圆方程的解，
故解此方程组，得，，．
故所求圆的方程为．
Ⅱ直线的方程为，故设直线的方程为．
由题意，圆心到直线与直线的距离相等，
故有，
解得或．
所以直线的方程为或．
【解析】Ⅰ设出圆的标准方程，代入三个点的坐标，求得，，则圆的方程可得．
Ⅱ设出直线的方程，利用点到直线的距离求得，则可求得直线的方程．
本题主要考查了直线与圆的问题的综合运用．考查了学生分析问题和基本的运算能力．
19.【答案】解：由题意，设所求椭圆标准方程为：，
因为半焦距为，，
又离心率，，
再由，
椭圆标准方程为：；
由知：左焦点为，直线的方程为：，
设，，
联立，整理可得：，
显然，且，
由弦长公式，
到直线的距离，
．
【解析】由题列出、、的方程，解之即可；
将直线与椭圆联立，韦达定理，然后利用弦长公式求底，利用点到直线的距离公式求高，即可求出三角形的面积．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
20.【答案】解：因为，，数列为等比数列，
所以，，则，
即是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则．
．
【解析】首先求出，，即可求出等比数列的通项公式，从而求出的通项公式；
利用分组求和法计算可得．
本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，还考查了等差数列与等比数列的求和公式的应用，分组求和方法的应用，属于中档题．
21.【答案】证明：如图，
由，为的中点，可得，
又平面，平面，可得，
而，则平面D.
【解析】由已知可得，结合平面，得，再由直线与平面垂直的判定得答案．
本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查推理论证能力，是基础题．
22.【答案】Ⅰ已知抛物线：，
因为，
所以，
可得抛物线的焦点，
若过点的直线交抛物线于，两点，
易知直线的斜率存在，
不妨设直线的方程，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
则，
易知原点到直线的距离，
所以，
故面积的最小值为；
Ⅱ证明：由Ⅰ知直线的方程，
此时点的横坐标为，
若直线交抛物线的准线于点，
联立，解得点的横坐标为，
易知，两点的横坐标相同，
故BC平行于轴．
【解析】Ⅰ由题意，先得到抛物线焦点坐标，设出直线的方程和，两点的坐标，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式再进行求解即可；
Ⅱ结合Ⅰ中所得信息得到直线的方程和点的横坐标，将直线的方程与抛物线准线方程联立求出点的横坐标，根据，两点横坐标相等即可得证．
本题考查抛物线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
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