2023-2024学年安徽省部分学校高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省部分学校高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知幂函数的图象经过点，则( )
A. B. C. D.
3.若，则为( )
A. 第一、二象限角 B. 第二、三象限角 C. 第一、三象限角 D. 第一、四象限角
4.已知函数是奇函数，则( )
A. B. C. D.
5.函数在上的值域为( )
A. B. C. D.
6.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”明增广贤文是勉励人们专心学习的假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍照此计算，大约经过天“进步者”是“退步者”的倍参考数据：，，( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数若且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列结论成立的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D.
10.下列计算结果正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
11.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的一个单调递增区间为
C. 函数的图象关于点对称
D. 若函数在上没有零点，则
12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，有一个用其名字命名的“高斯函数”；设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数例如，，则下列说法正确的是( )
A. 是周期函数
B. 函数在区间上单调递增
C. 关于的不等式的解集为
D. 若函数，则函数的值域是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知集合，，若，则的取值范围是______．
14.已知实数，满足，则 ______．
15.已知，则 ______．
16.已知函数则函数的零点个数为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设函数的定义域为集合，集合．
Ⅰ求；
Ⅱ设函数，的值域为集合，若””是“”的必要不充分条件，求的取值范围．
18.本小题分
已知，，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合终边经过点．
Ⅰ求；
Ⅱ设函数，求的最小正周期．
19.本小题分
Ⅰ已知正数，满足，若，求的最小值；
Ⅱ求的解集．
20.本小题分
已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足．
Ⅰ求，的解析式；
Ⅱ设函数，求在上的最小值，并求对应的的值．
21.本小题分
对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：在内单调递增或单调递减存在区间，使在上的值域为，则我们把称为闭函数，且区间称为的一个“好区间”，其中．
Ⅰ若是函数的好区间，求实数，的值；
Ⅱ若函数为闭函数，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数在区间上单调递增，且直线和为函数的图象的两条对称轴．
Ⅰ求的一个解析式；
Ⅱ将的图象先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意知或，则．
故选：．
根据集合运算的定义计算即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由是幂函数，
可得，即，
由的图象经过点，可得，
解得，
所以．
故选：．
利用幂函数的定义和性质直接求解．
本题考查幂函数的概念等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
所以且．
由象限角的概念可知的终边在第一象限或第四象限．
故选：．
由已知结合三角函数的定义即可判断．
本题考查三角函数定义及象限角的概念，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为函数是奇函数，又的定义域为，
所以，
解得．
故选：．
利用奇函数的概念判断即可．
本题考查奇函数的概念及其应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，可得，
所以，
即在上的值域为．
故选：．
根据的取值范围求得，再结合正弦函数的图象求解即可．
本题考查了正弦函数的图象与性质应用问题，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：假设经过天，“进步者”是”退步者”的倍，
列方程得，
解得，
即经过约天，“进步者”是“退步者”的倍．
故选：．
根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可．
本题考查了指数和对数的运算问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数，
则，
故，
所以．
故选：．
根据已知条件，先求出，再运用这个结论，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，且，
由，得，
则，
根据对勾函数的性质可知在上单调递减，
在上单调递增，且，，，
所以的取值范围是
故选：．
设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，画出图形，结合图形求出的取值范围．
本题考查了分段函数以及对勾函数的性质与应用问题，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，因为，
所以，即，
，即，
故故 A正确；
对于，若则，故B错误；
对于，，即，故C正确；
对于，，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合不等式的性质，以及作差法，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，故A错误；
对于．，故B正确；
对于，，，故C正确；
对于，
解得，故D正确．
故选：．
由已知结合诱导公式，二倍角公式及和差角公式检验各选项即可判断．
本题考查诱导公式及三角恒等变换的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：：由函数图象可得，则，所以，
又，则，则，则，则由，解得，
所以，故A正确；
：当时，；，则函数在不单调递增，故B错误；
：当时，，所以的图象关于点对称，故C正确；
：的图象是由的图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到的，由图可知在上
没有零点，则在 上没有零点，由题意得，所以，故D正确．
故选：．
：利用图象求出函数的周期，由此求出，再由，求出的值，然后根据求出的值，进而可以判断；：利用的范围求出的范围，然后利用正弦函数的单调性以及整体代换的性质即可判断；：判断与的关系，由此即可判断；：利用图象变换的性质以及数形结合建立不等式关系，由此即可判断．
本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，因为，所以函数 以为周期，故A正确；
对于，当时，，则，此时单调递增，故 B正确；
对于，由得，所以，所以，不等式的解集为，故C错误；
对于：，因为，所以，
当时，，当时，，即函数的值域是，故D正确．
故选：．
：根据三角函数的性质以及新定义验证是否成立，由此即可判断；：根据新定义求出函数的解析式，由此即可判断；：根据新定义解不等式即可判断；：求出函数的值域，然后根据值域求出函数的值域即可判断．
本题考查了高斯函数的定义，涉及到函数的周期，值域问题的求解，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：集合
因为，
所以，
即的取值范围是．
故答案为：．
先求出集合，，再结合列出不等式求解即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
所以，，
所以．
故答案为：．
根据已知条件，推得，，再结合对数的运算法则，即可求解．
本题主要考查对数的运算法则，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
由题意，利用同角三角函数基本关系，计算求得结果．
本题考查同角三角函数基本关系的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数，
当时，，
所以，
所以当时，是周期为的函数；
当时，；
所以的图象如图所示，
在同一坐标系下画出的图象，
因为，所以两函数有个交点，即函数有个零点．
故答案为：．
根据函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数，在同一坐标系下画出与的图象，由此求出结果．
本题考查了分段函数、函数零点与图象交点问题，是中档题．
17.【答案】解：Ⅰ根据题意，可得或，
因为．
所以；
Ⅱ函数在上单调递减，
所以，且，
因为“”是””的必要不充分条件，所以是的真子集，
则，解得，即的取值范围是．
【解析】Ⅰ根据已知条件，结合交集的定义，即可求解；
Ⅱ先求出集合，再结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ因为，，
所以，
因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，
所以，，
所以求；
Ⅱ由题意得，，
所以，
，
故．
【解析】Ⅰ由已知结合同角平方关系及三角函数的定义，两角差的正弦公式可求；
Ⅱ由Ⅰ先求出，然后结合两角差的余弦公式进行化简，再由余弦函数的性质即可求解
本题考查任意角三角函数的概念、三角恒等变换的应用，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ因为，均为正数，，所以，即，．
所以可转化为，
当且仅当，即，且时，等号成立．
所以的最小值为．
Ⅱ原不等式等价于 或
解求得或，解求得．
所以原不等式的解集为．
【解析】Ⅰ根据题意，由基本不等式利用的代换，即可得到结果．
Ⅱ由题意分类讨论去掉绝对值，把原不等式等价转化为与之等价的两个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即可得出结论．
本题考查基本不等式的应用以及不等式的解法，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ由题意得，
因为，分别是上的奇函数和偶函数，
所以，
解得，；
Ⅱ由可知，
令，易知在上单调递增，
所以当时，，
故，，
对称轴，
由二次函数的性质可得当时，取得最小值．
此时，
解得，即．
综上：在上的最小值为，此时．
【解析】Ⅰ根据奇函数、偶函数的定义求解即可；
Ⅱ由题意可得，令，结合指数函数、二次函数的性质求解即可．
本题考查了函数的奇偶性、指数幂的运算、二次函数的性质，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ若是函数的好区间，
分种情况讨论：
若在，上单调递增．则，解可得，
此时在上单调递增，符合条件；
若在上单调递减，则，解可得，
此时，符合题意，
综合可得：或；
Ⅱ函数为闭函数，易得在定义域上单调递增，
则有，故和是方程，即的两根，
令，原方程等价于，
则方程有两个不等的正根，
则有，解可得，即的取值范围为
【解析】Ⅰ根据题意，分为增函数和减函数两种情况讨论，构造关于、的方程组，解可得答案；
Ⅱ根据题意，分析的单调性，可得和是方程，即的两根，利用换元法分析可得方程有两个不等的正根，利用二次函数的性质分析可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数的单调性，属于中档题．
22.【答案】解：Ⅰ根据题意可知，，
取，则，
又根据”五点法”可得，，
．
Ⅱ将的图象向左平移个单位长度得到的图象．
再将各点的横坐标伸长为原来的倍得到的图象，故．
对任意的，不等式恒成立．
即对任意的，，即恒成立．
当时，，，，当时，不等式恒成立．
当时，，
令．
设，，则．
令，其值域为
，即．
综上，的取值范围是．
【解析】Ⅰ根据正弦函数的性质确定解析式；Ⅱ先根据变换规律确定，再转化成，即可．
本题考查三角函数的性质、三角恒等变换以及变量代换求最值，属于中档题．
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