2023-2024学年河北省唐山市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省唐山市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则的子集的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知函数则( )
A. B. C. D.
3.设命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知，则是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
5.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.若函数，则可以化简为( )
A. B. C. D.
8.若函数，，的零点分别为，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.非空集合，，均为的真子集，且，则( )
A. B. C. D.
10.已知，，则( )
A. B. C. D.
11.要得到的图象，可以( )
A. 将曲线上所有的点向右平移个单位长度
B. 将曲线上所有的点向右平移个单位长度
C. 将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D. 将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
12.已知定义在上的函数同时满足以下三个条件：
；；在区间上单调递增，则下列关于的表述中，正确的是( )
A. B. 恰有三个零点
C. 在上单调递增 D. 存在最大值和最小值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. ______．
14.若是钝角，，则 ______．
15.在固定压力差压力差为常数下，当气体通过圆形管道时，其流量单位：与管道半径单位：的四次方成正比已知气体在半径为的管道中，流量为，则气体在半径为的管道中，流量为______．
16.在中，，边上的高等于，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
求集合；
若，函数，求函数的定义域．
18.本小题分
已知函数的最小正周期为，且．
求及的值；
求函数的单调递增区间．
19.本小题分
已知定义在上的函数为偶函数当时，．
求；
求函数的解析式；
若，求函数的值域．
20.本小题分
已知函数．
若，求不等式的解集；
若函数的图象与轴交于，两点，求的最小值．
21.本小题分
已知函数．
若，根据函数单调性的定义证明在上单调递减；
由奇函数的图象关于原点对称可以推广得到：函数的图象关于点中心对称的充要条件是据此证明：当时，函数的图象关于点中心对称．
22.本小题分
如图，已知直线，，分别在直线，上，是，之间的定点，点到，的距离分别为，，设．
用表示边，的长度；
若为等腰三角形，求的面积；
设，问：是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：有个元素，
的子集的个数为．
故选：．
根据子集个数的计算公式即可得出答案．
本题考查了子集个数的计算公式，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
将的值依次代入解析式，即可求解．
本题主要考查函数值的求解，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查含有一个量词的命题的否定．是基本知识的考查．
全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】
解：由全称命题的否定是特称命题．可知命题：，，则是：：，．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，则与终边相同，
，是第三象限角，
则是第三象限角．
故选：．
，由此即可判断．
本题考查象限角的概念，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，
又，
解得，充分性成立，
若，
又，
解得，必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
由题意根据充分条件、必要条件的定义即可判断．
本题考查的知识点是充要条件，熟练掌握充要条件的定义是解答的关键，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
利用指数函数、对数函数的单调性求解．
本题考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：已知函数，
则．
故选：．
结合两角和与差的三角函数求解．
本题考查了两角和与差的三角函数，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，，即，可得，
，即，等价于，可得，
，即，
解得舍负，所以，可知．
在同一坐标系内作出函数与的图象，观察的图象与直线交点，
因为的图象比的图象陡峭，所以点的位置比点的位置要高，故，
综上所述，，项符合题意．
故选：．
根据指数函数的图象与性质，判断出，利用一元二次方程的解法，算出，进而可得、、的大小关系．
本题考查一元二次方程的解法、指数函数的图象与性质、函数的零点及其应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，，故A正确；
对于，，，，故B错误；
对于，，，故C正确；
对于，，，故D错误．
故选：．
根据集合间的包含关系逐项判断即可．
本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，由于，则，，故有，即，A正确；
对于，当，时，，B错误；
对于，当，时，，C错误；
对于，，由于，则，，，则有，即，
，由于，则，则有，即，
综合可得：，D正确．
故选：．
根据题意，用作差法证明和D正确，举出反例可得和C错误，综合可得答案．
本题考查不等式的性质以及应用，涉及不等式的证明，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：将曲线上所有的点向右平移个单位长度，可得的图象，故A错误．
将曲线上所有的点向右平移个单位长度，可得的图象，故B正确．
将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变可得的图象，故C错误．
将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图象，故D正确．
故选：．
由题意，利用函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A，因为，取，得到，即，所以选项A正确；
对于选项C，任取，且，，则，，且，
则，
又在区间上单调递增，且为奇函数，
所以在区间上也单调递增，
所以，得到．
即，
所以在上单调递增，故选项C正确；
对于选项B，因为是定义在上的奇函数，
所以，又，
所以，
故或或是的根，
结合选项C，由奇函数的性质及条件知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，故选项 B正确；
对于选项D，因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，
故函数不存在最大值和最小值，所以选项D错误．
故选：．
选项A，利用条件，赋值即可得出结果；
利用定义法证明在上单调递增，即可判断出选项C的正误；
结合条件及奇函数的性质得出函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，即可判断出选项 D的正误；
再根据条件得到，，，结合函数的单调性，即可判断出选项B的正误．
本题主要考查了赋值法的应用，还考查了函数的单调性，奇偶性的综合应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由二倍角的余弦公式可得，，
故答案为：．
利用二倍角的余弦公式即可求得．
该题考查二倍角的余弦公式，属基础题，准确记忆公式内容是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，且为钝角，，
，，
．
故答案为：．
根据同角三角函数的基本关系及为钝角即可求出和，然后得出答案即可．
本题考查了同角三角函数的基本关系，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：设比例系数为，根据题意得：，
把，代入得，，
所以，
当时，，
即气体在半径为的管道中，流量为．
故答案为：．
先计算出比例系数，再根据比例系数算出流量．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了学生的计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：在中，，
则，
即、为锐角，
作交于点，
则，，
设，
又边上的高等于，
则，，
则，，
即．
故答案为：．
由三角函数的定义，结合两角和的正切公式求解．
本题考查了三角函数的定义，重点考查了两角和的正切公式，属中档题．
17.【答案】解：，，
故A；
因为，所以，由题意得，
因为在上单调递减，所以，
解得，故定义域为．
【解析】解不等式得到，，进而利用交集概念求出答案；得到，根据函数特征得到不等式，结合单调性解不等式，求出定义域．
本题考查集合的运算，函数的定义域，属于基础题．
18.【答案】解：由题意函数的最小正周期为，
因为，则，且，解得；
由得函数的解析式为，
令，
解得，，
则函数的单调递增区间为，．
【解析】利用周期的定义即可求出函数的最小正周期，再根据的值以及正弦函数的性质化简即可求解；利用整体代换思想以及正弦函数的单调性化简即可求解．
本题考查了正弦函数的性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：因为是上的函数偶函数，
当时，．
所以；
设，则，
所以，
又因为，
所以，
综上，；
因为，
当时，，
此时，
所以，
所以；
当时，，
此时，
所以，
所以，
综上，当时，．
【解析】利用代入解析式即可求值；
设，则，得到，利用奇偶性即可求解；
当时，；当时，，分别利用函数单调性求值域即可．
本题考查函数性质的应用，属于中档题．
20.【答案】解：当时，，方程的根为，，
所以不等式即，解得或，解集为．
根据题意，可得有两个不相等的实数根，
所以，即，此不等式恒成立．
由韦达定理，得，，故，
当时，，达到最小值，故的最小值为．
【解析】当时，，求出的根，进而得出不等式的解集；
利用韦达定理算出，，从而将表示成关于的函数，利用二次函数的性质算出的最小值，继而可得答案．
本题主要考查一元二次不等式的性质、二次函数的最值求法等知识，考查了计算能力，属于基础题．
21.【答案】证明：根据题意，当时，，
设，则，
由于，则，，，
故，即，
则在上单调递减；
根据题意，当时，，
；
故当时，函数的图象关于点中心对称．
【解析】利用作差法证明可得结论；
根据题意，由函数的解析式证明，即可得结论．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数单调性的证明，属于中档题．
22.【答案】解：因为直线，，，到，的距离分别为，，
即，，
又因为，
所以，
所以，；
由可得，则，
可得，，
所以，
即的面积为；
由可得，
当且仅当，时取等号，
则，
此时，所以不存在满足条件．
【解析】由题意可得，进而可得，的表达式；
由可得，进而可得，的值，求出三角形的面积；
由可得的表达式，由基本不等式可得的值，再代入不等式，可知不等式不成立，所以不存在这样的满足条件．
本题考查直角三角形的性质的应用及基本不等式的应用，属于中档题．
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