2023-2024学年宁夏石嘴山市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年宁夏石嘴山市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题：，的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.设全集，，，则图中阴影部分表示的集合是( )
A. B. C. D.
3.根据下表实验数据，下列所给函数模型比较适合的是( )
A. B.
C. D.
4.九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章给出了弧田面积的计算方法弧田是由圆弧和其对弦围成的图形，如图中阴影部分所示若弧田所在圆的半径为，为圆心，弦的长是，则弧田的面积是( )
A. B. C. D.
5.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知一元二次不等式的解集为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设函数是定义在上的奇函数，满足，若，，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的图象关于点对称
B. 的图象过点
C. 的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的
D. 的图象关于直线对称
11.下列命题中正确的有( )
A. 是幂函数，且在单调递减，则
B. 的单调递增区间是
C. 的定义域为，则
D. 的值域是
12.下面结论正确的是( )
A. 若，都是第一象限角，且，则
B. 当时．
C. 函数的周期为
D. 函数的图象与轴有四个交点，且是偶函数，则方程的所有实数之和为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. ______．
14.函数的部分图象如图所示，则的值为 ．
15.已知对于任意两个不相等实数，，都有成立，则实数的取值范围为______．
16.我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数已知函数，则该函数图象的对称轴为 ______；若该函数有唯一的零点，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知为第四象限角，且角的终边与单位圆交于点．
求的值；
求的值．
18.本小题分
设函数的定义域为，集合，记：，：．
若，求；
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．
当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数且图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于时听课效果最佳．
试求的函数关系式；
老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．
20.本小题分
已知函数是奇函数．
求，的值；
证明：是区间上的减函数；
若，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知函数，周期是．
求的解析式及值域；
将图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到函数的图象，则当时，求方程根的个数．
22.本小题分
已知函数，
若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
设函数，在区间上连续不断，证明：函数有且只有一个零点，且．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题：，，则是：，．
故选：．
利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系．
2.【答案】
【解析】解：，，
，
由图可知，图中阴影部分表示的集合是．
故选：．
先求出集合，，再结合图可知图中阴影部分表示的集合为，进而求出结果．
本题主要考查了利用图表示集合的运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据表格中的数据，我们可以看到，随着的增大，的值也在逐渐增大，但是增长的速度并不是恒定的，而是逐渐加快，
选项A的函数在上是单调递减的，故A不合适；
选项B是对数函数模型，增长速度是逐渐减慢的，故B不适合；
选项D的函数是线性函数模型，增长速度是恒定的，故D不适合；
只有选项C是指数函数模型，增长速度是逐渐加快的，故C适合．
故选：．
根据表格中的数据，我们可以看到，随着的增大，的值也在逐渐增大，但是增长的速度并不是恒定的，而是逐渐加快，再结合基本初等函数的单调性判断即可．
本题主要考查了函数模型的选择，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：依题意，，，
所以，
因为，所以，
故，
则扇形的面积为，的面积为，
所以弧田的面积为．
故选：．
利用余弦定理得到，再利用扇形面积公式与三角形面积公式即可得解．
本题考查了扇形面积公式的应用，涉及到余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：对任意的，，故函数的定义域为，
又因为，所以为奇函数，故A、C错误；
当时，，故B错误；
故选：．
首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值及函数值的情况判断即可．
本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，，
．
故选：．
根据对数函数的单调性可得出：，，根据指数函数的单调性可得出，然后即可得出，，的大小关系．
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由一元二次不等式的解集为，
所以，是方程的两个不等实根，并且，
所以，即有，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故选：．
根据给定的解集，可得并且，再利用均值不等式求出最小值即可．
本题考查了一元二次不等式的解集与对应方程根的关系应用问题，也考查了基本不等式应用问题，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：由，可得，
又是定义在上的奇函数，可得，
则，即的最小正周期为，
，
又，可得，即，
解得，，
故选：．
由奇函数和周期函数的定义推得的最小正周期为，再由正弦函数的图象和性质，可得所求解集．
本题考查函数的奇偶性和周期性的定义和运用，以及正弦函数的图象和性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：若，取，，可得，，所以、两项不正确；
若，则，而，所以，故C项正确；
若，则，即，可得，故D项正确．
故选：．
通过举反例，判断出、两项的正误；利用不等式的基本性质加以推导，判断出、两项的正误．
本题主要考查不等式的基本性质及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于函数，令，求得，
可得的图象关于点对称，故A正确．
令，可得，故的图象经过点，故B错误．
的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的，故C错误．
令，求得，为最小值，可得的图象关于直线对称，故D正确．
故选：．
由题意，利用函数的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于：是幂函数，则，得或，又在单减，故，对；
对于：由复合函数单调性有且，所以单增区间是，错；
对于：定义域为，则或，错；
对于：令，则，对．
故选：．
由幂函数及其单调性求参数；由复合函数的单调性和对数函数的性质求增区间；根据定义域及二次函数性质求参数范围；换元法及二次函数性质求值域．
本题考查复合函数的单调性的判断，函数的定义域、值域的求法，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项：取，，，都是第一象限角，且，但，故A不正确；
对于选项：当时，，
则，即，
所以，而
，故B正确；
对于选项：函数，故C不正确；
对于选项：是偶函数，所以图象关于直线对称，
设函数的图象与轴有四个交点，横坐标从小到大分别为，，，，
则方程的所有实数根为，，，，
，故D正确．
故选：．
选项，举反例终边相同的角即可；选项，先根据已知条件求出的值，再把要研究的，齐次式化为表示即可；选项，举特殊值反例即可；选项，将是偶函数转化为图象关于直线对称，再利用中点坐标公式即可求出根的和为．
本题考查三角函数的性质，两角和差公式，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
由已知结合指数及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的图象特征，由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出，由周期求出，由特殊点求出的值，属于基础题．
结合图象求出，，根据，结合的范围，求出的值，求出的解析式，求出的值即可．
【解答】
解：由图象得：，，
故，故，
由，
因为，所以，
故，解得：，
故，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：对于任意两个不相等实数，，都有成立，
函数在上单调递增，
，
解得，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
根据给定条件，确定函数的单调性，再利用分段函数单调性列出不等式组，求解不等式组即得．
本题主要考查了分段函数的单调性，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，
的图象关于轴对称，
有唯一的零点，
，解得．
故答案为：．
根据偶函数的性质，结合函数对称性的性质进行求解即可．
本题主要考查函数的零点，属于基础题．
17.【答案】解：在单位圆中，，解得．
因为为第四象限角，所以，
故．
，为第四象限角，．
．
【解析】由题意，根据任意角三角函数定义求得的值，可得的值．
由题意，根据商数关系，诱导公式运算得解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．
18.【答案】解：，解得，
所以，
因为，所以，
当时，，或，
所以或；
是的必要不充分条件，则，
从而等号不同时成立，解得，
故实数的取值范围是．
【解析】根据已知条件，结合补集、交集的定义，即可求解；
根据已知条件，推得，再列出不等式组，即可求解．
本题主要考查集合的运算，以及函数的性质，属于基础题．
19.【答案】解：当时，曲线是二次函数图象的一部分，顶点坐标为，图象过，设，带入求解，可得，
当时，曲线是函数且图象的一部分，图象过，代入求解可得：
则．
则
由题意，指数大于时听课效果最佳，
当时，，
解得．
当时，，
解得分
综上：可得．
老师在 这一时间段内安排核心内容，学生听课效果最佳．
【解析】根据题意，分段求解解析式即可．
根据指数大于时听课效果最佳．求解不等式，即可知道．
本题考查分段函数的运用，考查分段函数值对应的自变量，考查运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：函数是奇函数，
所以恒成立，即，
整理得，
所以，
因为，解得，
所以，，经检验，满足函数是奇函数，
故，；
证明：由得，，
设任意，，且，
则，
因为，所以，所以，
而，，
所以，
所以，即，
所以是区间上的减函数．
解：，所以，
因为函数是奇函数，所以，
因为函数是区间上的减函数，
所以，解得，
所以实数的取值范围是
【解析】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的性质解不等式，属于拔高题．
由奇函数的定义可得可求得值，由定义域关于原点对称可求得值；
利用函数单调性的定义即可证明；
利用函数的奇偶性与单调性列不等式组，即可求得的取值范围．
21.【答案】解：由于函数的周期，
解得，所以函数．
由，可得函数的值域
将图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象；
再向左平移个单位后，得到的图象．
方程 ，即，即或．
当时，
，，；或，，．
即，，，，，，共计个．
所以当时，方程有个根．
【解析】由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据函数的图象变换规律得到的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
由题意，当时，或，再根据正弦函数的图象和性质，求出的值，从而得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
22.【答案】解：，
因为，恒成立，所以当时，恒成立，
当时，成立，
当时，成立，
当时，在单调递减，则，即，
综上所述，实数的取值范围为．
证明：函数的图象在区间上连续不断．
当时，因为与在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增．
因为，，
所以，
根据函数零点存在定理，存在，使得，
所以在区间上有且只有一个零点；
当时，因为单调递增，所以，
因为，所以，所以在区间上没有零点．
综上，有且只有一个零点．
因为，即，
所以，，
因为在区间上单调递减，所以，
所以．
【解析】求得，从而问题转化为当时，恒成立，分、、进行解答即可；
对进行分类讨论，分为：和，利用零点存在定理结合函数的性质，即可求解．
本题主要考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
第1页，共1页