2023-2024学年山西省阳泉市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年山西省阳泉市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设是小于的正整数，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知点是角终边上的一点，且，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.根据下表数据，可以判定方程的根所在的区间是( )
A. B. C. D.
5.设，，，则( )
A. B. C. D.
6.为了预防流感，某学校对教室进行药熏消毒室内每立方米空气中的含药量单位：毫克随时间单位：的变化情况如图所示在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为，为常数据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过_____小时后，学生才能回到教室？( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.下列命题中，正确的有( )
A. 若，则
B. 若，则使得成立的的取值范围为
C. 若不等式对于恒成立，则
D. 若，，且，则的最小值为
8.函数在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的对称轴为直线
C. 函数为奇函数
D. 函数的单调增区间为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.已知幂函数的图象过点，则函数 ______．
10.设，则的定义域______．
11.如图，直角中，，以为圆心，为半径作圆弧交于点其中的面积与扇形的面积之比为：，记，则 ．
12.已知函数若方程有四个不同的解，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
计算：
已知．
当时，求的值；
求的值．
14.本小题分
已知函数
求的最小正周期及单调递减区间；
求函数在上的最大值和最小值，并求出取得最值时的值．
15.本小题分
设函数．
当时，解不等式；
若，则在闭区间上有实数解，求实数的取值范围；
若函数的图象过点，且不等式对位意均成立，求实数的取值集合．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是小于的正整数，，，，，，，，，
，
．
故选：．
先求出集合，再利用补集运算求解．
本题主要考查了补集的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“，”的否定为：“，”．
故选：．
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题主要考查了命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为点是角终边上的一点，且，
所以，解得或．
故选：．
根据三角函数的定义计算可得．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，设，易得在上递增，
易得，
，
则的零点在区间上，即方程的根所在的区间是．
故选：．
根据题意，设，由函数零点定理分析的零点所在的区间，由函数零点与方程根的关系分析可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数零点判定定理，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性求解．
本题考查对数函数、指数函数、幂函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：把点代入，得，解得，
所以当时，，
由，即，
所以，解得，
所以至少需要经过小时后，学生才能回到教室．
故选：．
根据函数图形求出时的函数解析式，再解不等式得出答案．
本题考查了指数函数的运算及应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：中，当时，不成立，所以不正确；
中，函数的定义域为，，
所以为偶函数，当时，为增函数，所以函数在上为增函数，在上单调递减，
要使成立，则，
整理可得，可得或，即不等式的解集为或，所以不正确；
中，不等式对于恒成立，则，
解得，所以C正确；
中，，，且，则，
当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为，所以D正确．
故选：．
中，取时，则不等式不成立，判断出的真假；中，由函数的奇偶性和单调性，可得的范围，判断出真假；中，由二次不等式恒成立，可得判别式小于等于，可得的范围，判断出的真假；中，由“”的活用及基本不等式的性质可得的最小值，判断出的真假．
本题考查函数的奇偶性及单调性的应用，基本不等式的性质的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据函数在一个周期内的图象，
可得，，．
再根据五点法作图，可得，，
故
将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，
显然，函数的最小正周期为，且为期函数，故AC正确．
令，，求得，不是最值，故函数的对称轴不是直线，故B错误，
令，，求得，，故函数的增区间为，，故D正确．
故选：．
由题意，利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设幂函数，
幂函数的图象过点，，解得．
．
故答案为．
利用幂函数的定义即可求出．
熟练掌握幂函数的定义是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，，即，即，
求得，可得函数的定义域为，
故答案为：．
由题意，利用对数函数的性质，求得函数的定义域．
本题主要考查对数函数的性质，求函数的定义域，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：设扇形的半径为，则扇形的面积为，
直角三角形中，，则的面积为，
由题意知，，
所以．
故答案为：．
设出扇形的半径，分别计算扇形面积与三角形面积代入可得结果．
本题主要考查扇形面积公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：已知函数，
作出函数的图象与直线，
方程有四个不同的解，
即函数的图象与直线有四个不同的交点，
由图象可得：，，，
即，
则，
又函数，为减函数，
则
则．
故答案为：．
由函数的图象及函数的零点与方程根的关系，作出函数的图象与直线，方程有四个不同的解，即函数的图象与直线有四个不同的交点，然后结合图象求解．
本题考查了函数的图象及函数的零点与方程根的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题．
13.【答案】解：原式
．
解：已知．
则，
又，
得，
所以；
，
即的值为．
【解析】结合分数指数幂及对数的运算求解；
结合同角三角函数的关系及两角和与差的三角函数求解；
结合二倍角公式求解．
本题考查了分数指数幂及对数的运算及二倍角公式，重点考查了三角恒等变换，属中档题．
14.【答案】解：，
，
函数的单调递减区间满足，解得．
所以函数的最小正周期为，单调递减区间为：；
由，可得，
所以当，即时，取得最小值为，
当，即时，取得最大值为．
【解析】由二倍角公式的应用及三角恒等变换可得函数的解析式，进而可得函数的最小正周期及单调递减区间；
由的范围，求出角的整体的范围，进而求出最值及相应的的值．
本题考查二倍角公式的应用及三角函数的性质的应用，属于中档题．
15.【答案】解：当时，，分
所以不等式，即为，
可得，且，
解得，
所以当时，不等式的解集为； 分
因为，即，解得，所以，
在闭区间上有实数解，
即在闭区间上有实数解，分
可得在闭区间上有实数解，
令，即求在闭区间上的值域，分
根据指数和对数的性质可知，是增函数，
所以在闭区间上的值域为，
所以实数的取值范围是； 分
因为函数的图象过点，则，所以，
故，分
那么，不等式转化为，
即分
所以，
解得，分
又因为，即，所以，
又因为，所以，所以对任意均成立时，
实数的取值集合为 分
【解析】根据对数的运算解不等式即可．
根据，求的解析式，根据在闭区间上有实数解，分离，可得，令，求在闭区间上的值域即为的范围．
函数的图象过点，求的解析式，可得那么：不等式转化为转化为，求解，结合，即可得答案．
本题考查了对数的性质及其运算以及不等式恒成立的问题在对数与三角函数中的运用．有点难度．
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