广东省深圳高级中学2023-2024学年高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“，”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍那么当“进步”的值是“退步”的值的倍，大约经过天参考数据：，，( )
A. B. C. D.
5.设函数的最大值为，最小值为，则( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.定义域为的函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，，，，，则等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，，，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
10.下列命题中正确的有( )
A. 是幂函数，且在单调递减，则
B. 的单调递增区间是
C. 的定义域为，则
D. 的值域是
11.已知定义在上的函数满足，且当时，，则( )
A. 是周期为的周期函数
B. 当时，
C. 的图象与的图象有两个公共点
D. 在上单调递增
12.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的图象关于点对称
B. 的图象关于直线对称
C. 的最小正周期是
D. 在上有最小值，且最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.不等式的解集为______．
14.已知，则 ______．
15.已知函数的值域为，则实数的取值范围为______．
16.如图，边长为的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点为正六边形的一个顶点，当点第一次落在桌面上时，点走过的路程为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
化简求值：
已知，，求的值．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且．
求的值；
若点的横坐标为，求的值．
19.本小题分
已知函数．
是否存在实数使函数为奇函数；
探索函数的单调性；
在的前提下，若对，不等式恒成立，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数在区间上的最小值为．
求常数的值；
将函数向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数，请求出函数，的单调递减区间．
21.本小题分
初一班的郭同学参加了折纸社团，某次社团课上，指导教师老胡展示了如图所示的图案，其由三块全等的矩形经过如图所示的方式折叠后拼接而成已知矩形的周长为，其中较长边为，将沿向折叠，折过去后交于点．
用表示图中的面积；
郭爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励其中纽扣的六个直角如图阴影部分利用镀金工艺双面上色厚度忽略不计已知镀金工艺是元，试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费用．
22.本小题分
已知是函数的零点，．
求实数的值；
若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
，，
则．
故选：．
先把集合利用列举法表示出来，确定出全集，根据全集和集合，求出集合的补集，最后求出集合补集与集合的交集即可．
此题考查了交集、补集及并集的混合运算，利用列举法表示出集合，确定出全集是本题的突破点，学生在求补集时注意全集的范围．
2.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
解得，
所以，
故“”是“，”的必要不充分条件．
故选：．
将存在量词命题转化为有解问题，再利用一元二次不等式有解及充分条件和必要条件的定义即可求解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
则，
故选：．
由题意，利用诱导公式求得的值，再利用二倍角的余弦公式，求得的值．
本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设经过天“进步”的值是“退步”的值的倍，则，
，
故选：．
设经过天“进步”的值是“退步”的值的倍，则，然后利用对数的运算和题目所给的数据求出的值即可．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解；，
可令，则，
为定义在上的奇函数，，
则，．
故选：．
将整理为，令，由奇偶性定义可证得为奇函数，则，由此可求得的值．
本题主要考查函数的最值的求法，考查函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，
即，
函数在区间上单调递增，
，
，
，得，即，
由得，，即函数的零点坐标为，
由，得，
，
当时，，
综上可得，
故选：．
根据平移变换先求出的解析式，然后根据单调性以及零点范围分别进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，结合图象变换求出函数的解析式，结合函数的单调性以及零点建立不等式关系是解决本题的关键．综合性较强，难度中等．
7.【答案】
【解析】解：因为，
所以，即，
所以，
因为，
所以，即，
所以，
同时，
所以，
而，
所以．
故选：．
由已知结合对数函数的单调性即可比较大小．
本题主要考查了对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：对于程来说，最多两个不同的，
又当时，的图象关于对称，最多个解，
由恰有个不同的实数解，，，，可知是其中一个实数解，且其他实数解关于对称，
所以，
故．
故选：．
由已知函数零点的个数，结合二次方程根的个数及函数的对称性可求．
本题主要考查了函数零点的求解，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
利用不等式的基本性质、函数的单调性即可得出．
本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，属于基础题．
【解答】
解：，，，时取等号，
与的大小关系不确定．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：对于：是幂函数，则，得或，又在单减，故，对；
对于：由复合函数单调性有且，所以单增区间是，错；
对于：定义域为，则或，错；
对于：令，则，对．
故选：．
由幂函数及其单调性求参数；由复合函数的单调性和对数函数的性质求增区间；根据定义域及二次函数性质求参数范围；换元法及二次函数性质求值域．
本题考查复合函数的单调性的判断，函数的定义域、值域的求法，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，由已知可得，所以，是周期为的周期函数，故A正确；
对于项，，则．
由已知可得，．
又，
所以，．
又的周期为，所以．
，则，，
所以，故B错误；
对于项，由、可知，当时，；
当时，，且的周期为．
作出函数以及的图象，
显然，当时，的图象与的图象没有交点．
又，，，
由图象可知，的图象与的图象有两个公共点，故C项正确；
对于项，，则，．
又的周期为，所以在上单调递增．
当时，，显然在上单调递增．
且，
所以，在上单调递增．
根据函数的周期性可知，在上单调递增．故D正确．
故选：．
根据题意，根据已知可得，即可得出项；根据已知求出时的解析式，进而根据周期性，得出函数在上的解析式，即可判断项；根据、的结论作出函数的图象以及的图象，结合端点处的函数值，结合图象，即可判断项；先根据解析式，判断得出函数在上单调递增，即可根据周期性，得出项，综合可得答案．
本题考查抽象函数的性质，涉及函数的周期性和图象的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：若函数有意义，需满足，，，
的定义域为，
，
令，则，
令函数，
，，
且函数在上单调递增，在上单调递减．
又函数在上单调递增，时，则在上恒成立，
在上单调递减，
根据复合函数的判断法则，可得在上单调递减，在上单调递增，
在上有最小值，且最小值为，D正确；
，
即，
的图象关于点对称，A正确；
，
，即，
的图象关于直线对称，B正确；
，
不是的周期，C错误．
故选：．
计算出定义域后，由，借助三角函数基本关系，可借助换元法设出新函数，根据新函数的单调性即可研究选项；结合函数对称性的性质可得、选项；结合函数周期性的性质可得选项．
本题考查三角函数的性质，诱导公式，属于中档题．
13.【答案】，
【解析】解：在内，对应的；
根据余弦函数的图象与性质知，
不等式的解集为，．
故答案为：，．
求出在内对应的值，再根据余弦函数的图象与性质，得到不等式的解集．
本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：分子分母同除得，，
解得：，
所以．
故答案为：．
由题意求出，将要求的式子化简为，求解即可．
本题主要考查了同角商的关系的应用，属于基础题．
15.【答案】，
【解析】解：当时，，此时，
当且时，，
此时，且，，所以不满足；
当且时，，
由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时
若要满足的值域为，只需要，解得；
当且时，因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，且时，，时，，
所以此时，此时显然能满足的值域为；
综上可知，的取值范围是，，
故答案为：，．
先求解出时的值域，然后根据，，分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围．
本题主要考查分段函数性质在函数值域求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了弧长公式的应用，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．
可以分为三步，每步走，每步以与桌面右侧接触点为圆心，到的距离为半径，利用弧长公式分别求解，最后求和即可．
【解答】
解：可以分为三步，每步走，每步以与桌面右侧接触点为圆心，到的距离为半径，
第一步：，，
第二步：，，
第三步：，，
所以当点第一次落在桌面上时，点走过的路程为
．
故答案为：．
17.【答案】解：
．
，，，，．
．
【解析】由条件利用三角恒等变换化简要求的式子，可得结果．
由条件利用同角三角函数的基本关系求得的值，再化简要求的式子为，从而得到结果．
本题主要考查三角恒等变换及化简求值，属于中档题．
18.【答案】解：由，知，
所以，，
所以．
因为点的横坐标为，所以，
所以，，
所以，，
所以．
【解析】易知，从而有，，利用诱导公式，化简所求式子，即可；
由题意知，，，结合二倍角公式与两角和的正弦公式，展开运算，得解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和差公式，二倍角公式，诱导公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：假设存在实数使函数为奇函数，
此时，解得，
故存在实数，使函数为奇函数；
函数的定义域为，，，且，
，
，
即函数在上单调递增；
当时，，
是奇函数，
，
又在上单调递增，，
，对恒成立，
，，，
，
，
即的取值范围为．
【解析】根据奇函数的性质进行判断即可；
根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断即可；
根据函数的单调性和奇偶性进行求解即可．
本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判断，考查了不等式恒成立问题，属于中档题．
20.【答案】解：因为，
当时，，
所以，
因为的最小值为，
所以；
由得，，
将函数向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数，
令，，
则，，
由可得函数的单调递减区间为，
【解析】先利用二倍角及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数最值的取得条件可求；
结合三角函数图象的平移变换先求出，然后结合正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了辅助角公式，二倍角公式的应用，还考查了三角函数的图象的变换，正弦函数最值及函数单调性的应用，属于中档题．
21.【答案】解：因为，所以，
因为为较长边，所以，即，
设，则，
因为，，，
所以≌，所以，
在中，由勾股定理得，
即，解得，
所以，
所以的面积，
所以的面积．
设一颗钮扣的镀金费用为元，
则，
当且仅当，由即时等号成立，
所以当为时，一颗钮扣的镀金部分所需的最大费用为元．
【解析】根据已知条件，可推得≌，在中，由勾股定理得，解得解得解得，，再结合面积公式，即可求解．
根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
22.【答案】解：是函数的零点
，解之得；
由得，则，
则方程
可化为，
，两边同乘得：，则此方程有三个不同的实数解．
令则，则，解之得或，
当时，，得；
当时，，则此方程有两个不同的实数解，
则，解之得．
则实数的取值范围为
【解析】依据题给条件列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值；
先将题给方程化简整理，利用换元法转化为二次方程有二根，再利用指数函数列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
第1页，共1页