2023-2024学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.如图，空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，并且异面直线与所成的角为，则( )
A.
B.
C.
D.
4.若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列的各项均为正数，且，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在三棱柱中，，分别是，的中点，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.我国古代著作庄子天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为，数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最小值为( )
A. B. C. D.
8.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动已知某“鞠”的表面上有四个点、、、，其中平面，，，，则该球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C. 平面平面
D.
10.数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是( )
A. 是递增数列 B.
C. 当时， D. 当或时，取得最大值
11.已知圆：，直线：，则( )
A. 直线过定点
B. 直线与圆可能相离
C. 圆被轴截得的弦长为
D. 圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为
12.已知抛物线：的焦点为，点，在抛物线上，且，都在轴的上方，为坐标原点，记，的面积分别为，，则( )
A. 直线的斜率为 B. 直线的斜率为
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若数列为等差数列且，，则数列的通项公式 ______．
14.正方体的棱长为，、分别是、的中点，则点到平面的距离为______．
15.如图，已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，
当点在圆内且不与点重合时，点的轨迹是 从圆椭圆抛物线中选择一个填写，；
当 从，，中选择一个填写，时，点的轨迹是双曲线．
16.设、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，曲线、在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆过，，且圆心在直线：上经过点的直线交圆于、两点．
求圆的标准方程；
若，求直线的方程．
18.本小题分
设为数列的前项和，已知，．
求的通项公式；
设，设数列的前项和为，证明：．
19.本小题分
如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点．
证明：平面平面；
求锐二面角的余弦值．
20.本小题分
在“，；，”两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．
已知正项等比数列的前项和为，满足_____．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
21.本小题分
如图，四棱锥的底面为菱形，平面平面，，，，为上一点，且．
求异面直线与所成角的余弦值．
在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
22.本小题分
已知椭圆：的左、右顶点分别为、，且，离心率为，为椭圆的右焦点，为坐标原点．
求椭圆的方程；
过且斜率为的直线交椭圆于、两点，求的面积；
设是椭圆上不同于、的一点，直线、与直线分别交于点、证明：以线段为直径的圆过定点，并求出定点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线的斜率为，
则直线的倾斜角为．
故选：．
根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．
本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：向量，，，
，
解得．
故选：．
利用向量垂直的性质直接求解．
本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了异面直线所成的角，距离的计算问题，考查运算求解能力，属于基础题．
利用三角形中位线将异面直线所成角转化为平面角，构造，解直角三角形即可得解．
【解答】
解：取中点，连接，，
又因为，，，分别为，的中点，
所以，，，，
又因为异面直线与所成的角为，所以，
所以，
所以．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由题意得，
，
又双曲线的渐近线方程为，
双曲线的渐近线方程是，即．
故选：．
根据双曲线的几何性质，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据等比数列的性质可得，
又，所以，
所以．
故选：．
根据等比数列的性质可得，，再根据对数知识可求出结果．
本题主要考查了等比数列的性质及对数运算性质的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
利用向量的线性运算结合所给条件得到答案．
【解答】解：在三棱柱中，，分别是，的中点，，
则
．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：由题设可得：数列是首项、公比为的等比数列，
，，
又由可得：，解得：，
，
，
故选：．
先由题设求得，进而求得，再求得满足题意的即可．
本题主要考查等比数列在解决实际问题中的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：如图所示：
取的中点，的中点，设球的球心为，
由于平面，，，，
则：，，
过点作平面，过点作的垂直平分线与交于点，
故点为三棱锥外接球的球心，
所以外接球的半径，
所以．
故选：．
直接利用三棱锥和外接球的关系求出球的半径，进一步利用球的体积公式求出结果．
本题考查的知识要点：三棱锥和外接球的关系，球的半径的求法，球的体积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A，，
因为底面，平面，则，
因为，，且平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
且平面，所以平面平面，故A，C正确；
对于，由选项A知，
，又，，且平面，平面
所以平面，
且平面，所以，故B正确；
对于，若，
则垂直于在平面内的射影，显然不成立，故D错误．
故选：．
利用线面垂直和面面垂直的性质和判定方法逐项判断即可．
本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：当时，，又，
所以，则是递减数列，故A错误；
，故B错误；
当时，，故C正确；
因为的对称轴为，开口向下，
而是正整数，且或距离对称轴一样远，
所以当或时，取得最大值，故D正确．
故选：．
根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断、、选项的正误，结合二次函数的性质，可判断的正误．
本题主要考查了数列的递推式和等差数列的前项和公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：直线：，由，得，即恒过定点，故A正确；
点与圆心的距离，故直线与圆恒相交，故B错误；
令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故C正确；
要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，
所以直线的斜率为，可得，故直线为，故D错误．
故选：．
直线：，由，求出定点，即可判断；由点与圆心距离判断直线与圆位置关系，即可判断；令，求出圆与轴交点纵坐标可得弦长，即可判断根据直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求出直线的方程，即可判断．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：设，，
过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，
由抛物线的定义可得，，
所以，，
所以，故A错误；B正确；，
所以，C正确，D错误．
故选：．
结合抛物线定义求出，两点的坐标，利用，两点坐标求直线的斜率，判断选项A，；
根据三角形面积公式求，，判断，．
本题主要考查直线与抛物线的综合，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：等差数列的公差为，
，，
则，解得，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：取的中点，连接，，，，
则，
点到平面的距离等于点到平面的距离，
由等体积可得，解得，
故答案为：．
取的中点，连接，，，，点到平面的距离等于点到平面的距离，由等体积可得点到平面的距离．
本题考查了利用等体积法求点到平面的距离，属于基础题．
15.【答案】椭圆
【解析】解：当点在圆内且不与点重合时，
由图可知：，
又，
由椭圆的定义可得：点的轨迹是以点、为焦点的椭圆，
即点的轨迹是椭圆；
当点在圆上时，由图可知，点的轨迹是定点，
当点在圆外时，由图可知：，
又，
由双曲线的定义可得：点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，
即当时，点的轨迹是双曲线，
故答案为：椭圆；．
由椭圆及双曲线的性质求解即可．
本题考查了轨迹方程，重点考查了椭圆及双曲线的性质，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：设，，由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
解得，，
由，
可得，即，
即为，
由离心率的公式可得，，
由椭圆的离心率，则可得，
即有，
解得
故答案为：
设，，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，运用勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求范围．
本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：设圆的方程为，
则，，
圆的方程：，即圆的标准方程为：；
由知圆心为，半径，
，
，圆心到直线的距离，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
则，解，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，符合题意，
综上可得：直线的方程为或．
【解析】设圆的方程为，利用待定系数法能求出圆的方程．
求得圆心与半径，由已知可得圆心到直线的距离，分直线斜率是否存在，分别求解即可．
本题考查贺的方程的求法，考查直线与圆的位置关系，属中档题．
18.【答案】解：由，得
则当时，
得，
所以，即，
又因为，且，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以；
证明：由知，
则，
所以．
【解析】本题考查数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求数列的和．
直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；
利用裂项相消法求出数列的和．
19.【答案】解：证明：在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点．
所以平面，
因为平面，所以，
因为是等边三角形，是棱的中点，所以，
因为，平面，且，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
分别取，的中点为，，连接，，
因为是等边三角形，是中点，所以，
因为直三棱柱，所以平面，
因为，平面，所以，，
因为，为，的中点，所以，所以，，
即，，两两垂直，
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
设平面的法向量为，
所以，取，则，
平面的一个法向量为；
则，
所以锐二面角的余弦值为．
【解析】通过和证明平面，从而证明面面垂直；
通过图形建立空间直角坐标系，求出两个平面的一个法向量，结合二面角的向量计算公式计算即可．
本题考查线面垂直、面面垂直的判定与证明，二面角的等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：设正项等比数列的公比为，
选：
因为，，
所以，
又，
两式相除得，，则，代入上式中可得，
所以；
选，，
则，解得，，
所以；
由可知，，
所以，
所以，
，
两式相减得，，
所以．
【解析】设正项等比数列的公比为，选择，均可列出关于，的方程组，求解之后可得通项公式；
利用错位相减法求解即可．
本题考查了等比数列的通项公式以及错位相减求和计算问题，属于中档题．
21.【答案】解：设是的中点，连接，，
由于，所以，
由于平面平面且交线为，平面，
所以平面，
由于平面，所以，
在菱形中，，所以三角形是等边三角形，所以，
故，，两两相互垂直，由此建立空间直角坐标系如下图所示，
，，
，，
所以直线与所成角为，
则；
，
设平面的法向量为，
则，
故可设平面，设，
则，，
若平面，则，
解得，
所以在棱上是存在点，使得平面且．
【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值即可；
设，求得平面的法向量，由列方程，由此求得即可．
本题考查立体几何的综合应用，属于中档题．
22.【答案】解：由题意可得，，可得，，
所以，
所以椭圆的方程为：；
由可得右焦点，，
由题意设直线的方程为，设，，
联立，整理可得，可得，，
所以，
所以；
证明：由题知，，，设，，则，
即，
直线，直线，
都令，得，，又，
所以，，
所以，
即，所以以线段为直径的圆过定点．
【解析】由题意可得，离心率的值，可得，的值，进而可得的值，求出椭圆的方程；
由题意设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出，的纵坐标之差的绝对值，代入三角形的面积公式，可得该三角形的面积；
设点的坐标，代入椭圆的方程，可得点的横纵坐标的关系，设直线，的方程，令可得，的坐标，，即以线段为直径的圆过定点．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，圆过定点的求法，属于中档题．
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