湖南省邵阳市邵东三中2023-2024学年高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省邵阳市邵东三中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线：与直线：的位置关系是( )
A. 垂直 B. 相交且不垂直 C. 平行 D. 平行或重合
2.已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为( )
A. B. C. 或 D.
3.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为中点，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知函数，若时，取极值，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 不存在
5.若方程表示曲线，则下列说法正确的是( )
A. 若，则曲线为椭圆
B. 若曲线为双曲线，则
C. 曲线不可能是圆
D. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
6.已知数列中，，，则等于( )
A. B. C. D.
7.设，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线，直线过坐标原点并与双曲线交于，两点在第一象限，过点作的垂线与双曲线交于另一个点，直线交轴于点，若点的横坐标为点横坐标的两倍，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和，则下列结论正确的是( )
A. 是等差数列 B. C. D. 有最大值
10.如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作，交于点，则下列结论正确的是( )
A. 平面
B. 平面
C. 直线与平面所成的角的余弦值为
D. 平面与平面夹角的大小为
11.设，过定点的动直线：，和过定点的动直线：交于点，圆：，则下列说法正确的有( )
A. 直线过定点 B. 直线与圆相交最短弦长为
C. 动点的曲线与圆相交 D. 最大值为
12.已知抛物线：的焦点为，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则( )
A. 抛物线的焦点坐标为
B. 若，，三点共线，则
C. 若，则的中点到轴距离的最小值为
D. 若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数在其图象上的点处的切线方程为______．
14.在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且则的长为______．
15.已知函数，若，则实数的取值范围是______．
16.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，，若是椭圆外一点，则的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设等差数列的前项和为，已知，．
求数列的通项公式及；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
如图，三棱柱的底面是边长为的正三角形，平面，，是的中点．
证明：平面；
求异面直线与所成角的余弦值．
19.本小题分
已知圆：，直线：，
求证：直线恒过定点；
判断直线被圆截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长．
20.本小题分
已知数列满足，，．
求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
记，求证：对任意，．
21.本小题分
已知动圆过点并且与圆：相外切，动圆圆心的轨迹为．
求曲线的轨迹方程；
过点的直线与轨迹交于、两点，设直线：，设点，直线交于，求证：直线经过定点．
22.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若有两个零点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当时，直线：，直线：，此时两直线垂直，
当时，直线的斜率，直线的斜率，
因为，则两直线垂直，
综上两直线位置关系是垂直．
故选：．
分和讨论，其中时，写出两直线斜率，计算其乘积即可判断．
本题主要考查两直线垂直的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，因为向量夹角范围为，
故两向量夹角为，故两平面夹角为，即，
故选：．
根据两平面夹角与其法向量夹角的关系，利用向量夹角公式即可得到答案．
本题主要考查了二面角的向量公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积的运算，是中档题．
本题解题的关键是把要求数量积的向量表示成已知向量的和或差的形式，再进行数量积的运算即可．
【解答】
解：
，
，，两两垂直，且，
，
故选A．
4.【答案】
【解析】解：由，得，
因为时，取得极值，
所以，解得或，
当时，，
此时函数在在处取不到极值；
经检验时，函数在处取得极值，满足题意，
所以，所以．
故选：．
利用导数与极值的定义得到关于，的方程组，求出，，然后再检验时，函数是否能取得极值，由此得解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了方程思想，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：对于，当时，，此时曲线为圆，故A错误；
对于，若曲线为双曲线，则，即或，故B错误；
对于若曲线为圆，则，即，故曲线可能是圆，故C错误；
对于，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D正确．
故选：．
根据的取值，结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可．
本题考查曲线的方程，考查椭圆与双曲线的性质，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：根据并利用可得，
，
，，
所以可得数列是周期为的周期数列，
即．
故选：．
根据题意代入计算可得数列是周期为的周期数列，进而求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由和可得：
，
，
故，
故选：．
直接利用放缩公式和取等判断即可．
本题考查了利用三角放缩和指数放缩比较大小，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：已知点的横生标为点横坐标的两倍，
则，
即，
则，
设，，，
则，
又，
则，
由可得，
又，，
则，
则，
则，
即双曲线的离心率为，
故选：．
由直线的斜率公式，结合双曲线离心率的求法求解即可．
本题考查了直线的斜率公式，重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：当时，，
当时，，符合，
故，
所以，，
所以数列是等差数列，首项为，公差，A正确；
，B正确；
因为公差，所以数列是递减数列，所以，C错误；
，
易知当或时，有最大值，D错误．
故选：．
由与的关系求出数列的通项，可判断，根据数列性质可判断，根据前项和的函数性质可判断．
本题主要考查等差数列的性质，考查了转化思想，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，
对于，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
，平面，平面，故A正确；
对于，，
，，
，，平面，故B正确；
对于，侧棱底面，是直线与平面所成角的平面角，
，，
，故C错误；
对于，依题意得，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
底面，底面，，
四边形是正方形，，
，平面，
平面的一个法向量为，
，
平面与平面夹角的大小为，故D正确．
故选：．
对于，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解；对于，利用线面垂直的判定定理判断；对于，推导出是直线与平面所成角的平面角，求解判断；对于，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出结果．
本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质、线面角、二面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：由直线：，可得过定点，
动直线：，可得恒过定点，所以A正确；
由圆的方程可得圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，
所以弦长为，所以不正确；
因为两条直线始终互相垂直，是两条直线的交点，所以，可得的轨迹为圆，且圆心为的中点，，半径，
圆心距为，所以两圆相交，所以C正确；
因为两条直线始终互相垂直，是两条直线的交点，所以，
可得，
由均值不等式可得：，
即，所以不正确；
故选：．
由直线的方程可得直线恒过的定点的坐标，求出圆到直线的距离，由弦长，圆心到直线的距离及圆的半径的关系可得弦长的表达式，再由函数的单调性可得弦长的范围，由题意可得点的轨迹为圆，圆心的坐标及半径，求出两圆的圆心距，可得与两圆的半径的关系，由均值不等式可得，可判断所给命题的真假．
本题考查求直线恒过定点的方法，直线与圆相交的弦长的求法，均值不等式的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点坐标为，A正确．
当，，三点共线时，取特殊情形平行轴时，令，则，不妨令，，则，故B错误．
当，，三点共线时，，的中点到准线的距离等于，所以的中点到轴的距离为．
当，，三点不共线时，，的中点到准线的距离大于，所以的中点到轴的距离大于，C正确．
当时，直线过定点．
设直线的方程为，
联立方程整理得，
所以，
所以．
，当时取等号，D正确．
故选：．
根据题意，由抛物线的定义以及性质即可判断，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理即可判断．
本题主要考查抛物线的定义以及性质，考查计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由，得，
，
则函数在其图象上的点处的切线方程为，
即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：在平行六面体中，
可得，
所以，
所以．
故答案为：．
由平行六面体，可得，进而计算可求的长．
本题考查利用向量的运算求两点间的距离，考查运算求解能力，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：由得：，故为奇函数，
恒成立，故在上是增函数，
所以，
所以，即，解得，
故的范围是
故答案为：
易知是奇函数，且结合导数知是增函数，据此将不等式化简，即可解出的范围．
本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：不妨设，，
已知椭圆的离心率，
又，
联立，解得，
因为是椭圆外一点，
所以，
即，
解得，
此时，
所以
，
当且仅当，，即，时，等号成立，
则的最大值为．
故答案为：．
由题意，结合离心率公式以及，，之间的关系得到，再根据是椭圆外一点，得到，利用两点间距离公式和基本不等式再进行求解即可．
本题考查椭圆的定义以及基本不等式，考查了逻辑推理和运算能力．
17.【答案】解：设等差数列的首项为，公差为，
由题意可得，
解得，
所以；
由知，
则，
两式相减得：，
即有．
【解析】设出等差数列的公差，利用给定条件列出方程组，解方程组作答；
由的结论，利用错位相减法求和即可．
本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了错位相减法求和，属中档题．
18.【答案】证明：连接，交的于，连接，
因为分别是，的中点，
所以，
又平面，平面
即平面；
解：由得：，
即或其补角就是异面直线与所成的角，
又，，，
则，
即异面直线与所成角的余弦值为．
【解析】连接，交的于，连接，因为分别是，的中点，所以，然后结合线面平行的判定定理即可得证；
得：，即或其补角就是异面直线与所成的角，然后结合余弦定理求解即可．
本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了异面直线所成角的求法，属基础题．
19.【答案】证明：直线的方程可化为，
由，解得，
所以直线恒过定点；
解：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，
由得直线恒过定点，设定点为点，
当直线时，直线被圆截得的弦长最短，
，
直线的斜率为，
由，解得，
此时直线的方程是，
圆心到直线的距离为，
所以最短弦长是．
【解析】本题考查直线恒过定点问题，直线与圆的位置关系，属于中档题．
直线的方程可化为，进行求解即可；
当直线过圆心时，弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，利用两直线垂直斜率关系，以及点到直线的距离公式求解即可．
20.【答案】解：数列满足，，，
，
以为首项，为公比的等比数列，
即．
证明：，
，
又，则，
．
【解析】以为首项，为公比的等比数列，即可求解；
，即可求解．
本题考查了数列的递推式，数列与不等式的综合，属于中档题．
21.【答案】解：由已知，，轨迹为双曲线的右支，，，，，
所以双曲线的标准方程．
证明：由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上．
当直线的斜率不存在时，，，，知直线经过点，
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，，，
直线：，当时，，，
联立得，，，
下面证明直线经过点，即证，即，
由，，整理得，
又
即证经过点，故直线恒过定点．
【解析】由圆与圆外切得，由双曲线的定义得的轨迹为双曲线的右支，求出，得出方程；由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上．利用直线斜率不存在得出点为，再证明当直线斜率存在时，直线过点即可．
本题考查圆与圆的位置关系，双曲线的定义，直线与双曲线的位置关系，属于综合题．
22.【答案】解：因为，所以，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
由，得，由，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由可知，当时，在上单调递增，所以至多有一个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，，
令，，则，
所以在上单调递减，
又，所以要使，即，则．
又因为，
所以在上有一个零点，
又，
令，，则，
所以在上单调递增，
因为，所以，所以，
所以，
所以在上也有一个零点．
综上所述，要使有两个零点，则的取值范围是．
【解析】求导可得，分，两种情况讨论，由导数与单调性的关系即可得解；
由可知，当时，在上单调递增，所以至多有一个零点，当时，求出的最小值，使可求解的范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，已知函数零点个数求出参数范围问题，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
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