2023-2024学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列选项中与角终边相同的角是( )
A. B. C. D.
2.若集合，，则为( )
A. B. C. D.
3.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
4.人类是数据的创造者和使用者，自结绳记事起，它就已慢慢产生，随着计算机和互联网的广泛应用，人类产生创造的数据量呈爆炸式增长，中国已成为全球数据总量最大、数据类型最丰富的国家之一，人类采集、存储和处理数据能力大幅提升，使数据应用渗透到我们生活中的每个角落目前，数据量已经从级别跃升到，乃至级别国际数据公司的研究结果表明，年全球产生的数据量为，年增长到若从年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中，均是正的常数，则年全球产生的数据量是年的倍．( )
A. B. C. D.
5.已知，，用，表示为( )
A. B. C. D.
6.设，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象如图所示，则函数的零点所在区间为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数的定义域为，函数是奇函数，当时，若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数的定义域为
B. 函数的最小正周期为
C. 函数在定义域上是增函数
D. 函数的一个对称中心为
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 是偶函数
B. 若恒成立，则的最大值为
C. 在上共有个解
D. 在上单调递增
12.如图，四边形为梯形，其中，，且，为对角线的交点有条线段、、、夹在两底之间表示平行于两底且与它们等距离的线段即梯形的中位线，表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段下列说法中正确的有( )
A. 若，，则 B.
C. 存在，，使得 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算： ______．
14.若命题“”是假命题，则的取值范围为______．
15.函数的图象过点，且在区间上单调递增，则的值为______．
16.已知函数是奇函数，则的值为______；设，若存在，，使在区间上的值域是，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设全集，设函数的定义域为集合，集合，其中．
当时，求集合；
若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数是上的奇函数，且当时，．
求函数的解析式；
在给定的坐标系中画出函数的图象，并求不等式的解集．
19.本小题分
已知函数，．
若角顶点在坐标原点，始边为轴正半轴，终边与单位圆交点的横坐标为，
求的值；
若，求的值．
20.本小题分
如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形图中阴影部分上铺花岗岩地坪，造价为元；在四个空角图中四个三角形上铺草坪，造价为元设长为单位：．
用表示的长度，并求的取值范围；
当的长为何值时，总造价最低？最低总造价是多少？
21.本小题分
已知函数的最小正周期为，为函数的一个对称中心．
求函数的最小值，并求出取得最小值时自变量的集合；
设，若对任意的，都有，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数能表示为奇函数和偶函数的和．
求和的解析式；
利用函数单调性的定义，证明：函数在区间上是增函数；
令，对于任意，，都有，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查终边相同的角，属于基础题．
由题意，利用终边相同的角的定义，得出结论．
【解答】
解：角，
故和与角是终边相同的角，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：集合，
，
则
故选：．
求出集合，，利用交集定义求解．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：要得到函数的图象，
只需将函数的图象向左平移个单位即可．
故选：．
由题意，根据平移变换的原则即可得解．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
，
又，
，
，
年全球产生的数据量是年的倍．
故选：．
根据题目中提供的数据求出函数解析式，然后利用指数运算即可求解．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
利用对数的运算性质求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
则，，的大小关系为．
故选：．
利用指数函数、对数函数的单调性求解．
本题考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由函数的图象可知，，且，
，
，
，
，
，，，
即，
，
，，
，
即，
，
又函数在上连续且单调递增，
函数的零点所在区间为
故选：．
由函数的图象可知，，且，进而求出，得到，再利用函数的零点存在定理求解即可．
本题主要考查了指数函数的图象和性质，考查了函数的零点存在定理，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为是奇函数，所以，
则，故，
又，所以，
即，
所以，
则的周期为，
当时，，又，
则，
即，
即，解得，
则当时，，
由，得，
又，
则．
故选：．
分析出函数的对称性和周期性，再根据求出值，最后利用对称性和周期性计算的值即可．
本题考查函数周期性的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：因为，所以，所以，故A正确；
对于：因为，所以，两边同乘以得，故B正确；
对于：因为，所以，所以，
又，两式相乘得 ，故C错误；
对于：，
因为，所以，所以，所以，故D正确．
故选：．
对于项：根据不等式的性质逐项判断．对于项，使用作差法比大小判断．
本题考查不等式的性质、作差法比大小等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：函数中，令，解得，，
所以的定义域为，选项A正确；
的最小正周期为，选项B正确；
令，，解得，；
所以函数在每个区间，是增函数，
而在定义域上不是增函数，选项C错误；
因为，，
所以不是的一个对称中心，选项D错误．
故选：．
根据正切函数的图象与性质，对选项中的命题真假性判断即可．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，函数，其定义域为，
有，即为偶函数，A正确；
对于，由于，则，
若恒成立，则，即的最大值为，B错误；
对于，若，则，解可得，，
易得在上共有个解，即在上共有个解，C正确；
对于，设，，
，在上单调递增，在上为增函数，
故在上单调递增，D正确．
故选：．
根据题意，分析函数的奇偶性可得A正确，求出的最小值可得B错误，由指数函数的性质可得，由三角函数的性质分析可得C正确，由复合函数单调性的判断方法可得D正确．综合可得答案．
本题考查复合函数的单调性、值域，涉及函数的奇偶性和恒成立问题，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为是梯形的中位线，所以，
因为梯形与梯形相似，所以，
所以，
若，，则，故A正确；
因为∽，∽，
所以，所以
因为∽，∽，
所以，所以
由得，所以，所以B正确；
因为，由基本不等式得，，，
则，所以，
所以，
即不存在时，，故C错误；
设梯形，，的面积分别为，，，高分别为，，，
则，即，
解得，，
由，可得，
解得，故D正确．
故选：．
根据题中所给的梯形模型，结合平行线分线段成比例定理、相似、面积相等等方式，再利用基本不等式和作差法比较大小即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，考查基本不等式及作差法比较大小等知识，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用指数、对数的运算性质求解即可．
本题考查了指数、对数的运算性质，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：命题“”是假命题，
则
故
故的取值范围为
故答案为：
根据已知条件，推得，再结合分离常数法，即可求解．
本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
解得，，
因为函数在区间上单调递增，所以，
所以，且，
解得，且，
所以，
可知当时，．
故答案为：．
由函数过的点的坐标，可得满足的集合，再由函数在区间上单调递增，可得的范围，进而可得的值．
本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，若函数是奇函数，
则，即，
则有，解可得，
当时，，其定义域为，为奇函数，符合题意，
当时，，无意义，不符合题意，
故，
此时，
设，，
在区间上，易得为增函数，也是增函数，
故在上为增函数，
若存在，，使在区间上的值域是，
则有且，
即且，
变形可得：，则、是方程的两个根，
即方程在上，有两个不等的根，
设，
等价于函数在上，与轴有个不同的交点，
则有，解可得，
故的取值范围为；
故答案为：；
对于第一空：由奇函数的定义可得，即，变形求出的值，验证可得答案；
对于第二空：先分析的单调性，由此可得且，即且，分析可得、是方程的两个根，进而该问题转化为方程在上，有两个不等的根，结合二次函数与二次方程的关系，分析可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数奇偶性、单调性的判断，属于中档题．
17.【答案】解：函数的定义域为集合，集合，，
则，．
故A
所以集合或；
由“”是“”的充分条件得，，
故，解得，
综上，的取值范围是．
【解析】先求出集合，，再结合集合的运算，即可求解；
根据已知条件，推得，再列出不等式组，即可求解．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
18.【答案】解：根据题意，函数是上的奇函数，则，
当时，，
所以，
因为为上的奇函数，所以，
又满足，
所以，
由可得图象如图：
不等式转化为或，
所以或 ，
解得或或，
综上所述，不等式的解集为．
【解析】根据题意，由奇函数的性质求出时的表达式，综合可得答案；
根据题意，由函数的解析式作出函数的图象，由此对不等式变形，分析可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及不等式的解法，属于基础题．
19.【答案】解：由
，
因为，所以，且，，
所以，
因为，则；
因为，所以，
所以，
所以，
即．
【解析】利用正余弦的同角关系化简求出的解析式，再根据任意角的三角函数的定义化简即可求解；由已知求出，再根据诱导公式以及正余弦的同角关系化简即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用以及任意角的三角函数的定义，涉及到正余弦的同角关系，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可得，矩形的面积为，
因此，
因为，所以；
由题意可得，，
又因为，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，总造价最小，最小值为元．
【解析】由题意可得，矩形的面积为，进而用表示的长度，再由求出的取值范围即可；
由题意可得，，再利用基本不等式求解即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
21.【答案】解：由的最小正周期为，
所以，解得，
所以，
又因为为的对称中心，所以，
所以，，即，，
又，所以，
所以；
所以当，即时，
函数的最小值为，
所以函数的最小值为，此时的集合为；
因为，所以，
令，
又因为，所以，
所以，
所以原不等式化为 ，
即在恒成立，
令，，对称轴，
当时，即，，
解得舍去；
当时，即，，
解得，
当时，即，，解得舍去．
综上所述，实数的取值范围是．
【解析】根据题意求出的解析式，再根据正弦函数的性质求解即可；
由题意可得，采用换元法再结合二次函数的性质求解即可．
本题考查了三角函数、二次函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
22.【答案】解：根据题意，函数能表示为奇函数和偶函数的和，即，
同时，，即，
而，分别是奇函数和偶函数，则有，
联立解得，；
证明：根据题意，设，
则，
因为，所以，，，，
所以，所以，
故在上单调递增．
根据题意，由知，函数在上为增函数，
当时，，
由于对于任意，，使得，
所以对于任意成立，
即对于任意成立，
易知，对于任意成立，
则，
又由，则有，则有，
又由式可化，
变形可得：，
对于任意，有，即恒成立，
即对任意恒成立，
而，则有，即恒成立，
又由，必有，
综合可得：，即的取值范围为．
【解析】根据题意，由函数的解析式和奇偶性可得和，联立求解可得答案；
根据题意，利用作差法分析可得结论；
根据题意，分析的最小值，分析可得对于任意恒成立，结合对数的运算性质分析可得答案．
本题考查函数的恒成立问题，涉及函数的单调性和最值，属于中档题．
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