2023-2024学年湖南省株洲市炎陵县高一（上）期末数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年湖南省株洲市炎陵县高一（上）期末数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 83.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-22 17:40:14 | ||
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文档简介
2023-2024学年湖南省株洲市炎陵县高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是．( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.若锐角，满足，，则的值是( )
A. B. C. D.
4.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
6.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数的零点分别，，，则，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
8.折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图，其平面图如图的扇形，其中，，则扇面曲边四边形的面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数，若，则的取值可能是( )
A. B. C. D.
10.下列等式正确的是( )
A. B.
C. D.
11.下列函数中，最小正周期是，且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
12.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 函数是奇函数
C. 函数是上的增函数
D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知为锐角，且，则的值为______．
14.若函数且在上的最小值与最大值的和为，则函数在上的最大值是______．
15.已知函数
当时，在上的最小值为______；
若有个零点，则实数的取值范围是______．
16.科学家通过生物标本中某种放射性元素的存量来估算该生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为年即：每经过年，该元素的存量为原来的一半，某生物标本中该元素的初始存量为，经检测生物中该元素现在的存量为，参考数据：请推算该生物距今大约______年
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求下列各式的值：
Ⅰ；
Ⅱ．
18.本小题分
已知与是函数的两个零点．
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ若，求的取值范围；
Ⅲ若，求函数的值域．
19.本小题分
已知．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值．
20.本小题分
已知是定义在上的偶函数，且时，．
求函数在上的解析式，并判断其单调性无需证明；
若，求实数的取值范围．
21.本小题分
年我市某新能源汽车生产企业计划引进一批新能源汽车设备，经过前期的市场调研，生产新能源汽车制造设备，预计全年需投入固定成本万元，每生产百台设备，需另投入成本万元，且根据市场行情，每百台设备售价为万元，且当年内生产的设备当年能全部销售完．
求年该企业年利润万元关于年产量百台的函数关系式；
年产量为多少百台时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？注：利润销售额成本
22.本小题分
已知是函数的一个零点．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ求单调递减区间．
Ⅲ若，求函数的值域．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，集合，集合，
所以，
则．
故选：．
由已知结合集合的并集及补集运算即可求解．
本题主要考查了集合的并集及补集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查全称命题的否定，属于基础题．
由全称量词的命题否定为存在量词命题可得结果．
【解答】
解：命题“，”是一个全称命题，
又全称量词的命题否定为存在量词命题，
原命题的否定为“，”
故选：．
3.【答案】
【解析】解：锐角，满足，，
，，
，
故选：．
依题意，可求得与，再利用两角和与差的三角函数计算即可．
本题考查了两角和与差的三角函数的简单应用，考查运算求解能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：，
，
当且仅当时，等号成立；
故的最小值为，
故选：．
利用基本不等式求最值即可，注意“一正，二定，三相等”．
本题考查了基本不等式的应用，使用时要注意“一正，二定，三相等”，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
则，解得．
故选：．
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．
6.【答案】
【解析】解：当取，时，则，则充分性不成立，
当时，则，则必要性成立，
则“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
根据充分条件、必要条件定义可解．
本题考查充分条件、必要条件定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由得，得，得，
分别作出函数，，和的图象如图，
由图象知，
故选：．
利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数零点的求解和判断，利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合是解决本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由已知，，
所以扇面面积为．
故选：．
由扇形的面积公式计算即可大扇形面积减去小扇形面积．
本题考查了扇形面积计算问题，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：若，则，解得，满足题意；
若，则，得，满足题意；
故选：．
根据分段函数的定义分类讨论求值即可．
本题考查分段函数的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项A，，即A正确；
选项B，，即B错误；
选项C，，即C正确；
选项D，，即D正确．
故选：．
利用二倍角公式，可判断选项A和；由两角和的正弦公式，可判断选项C；由两角差的正切公式，可判断选项D．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握二倍角公式，两角和差公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，，最小正周期为，在区间上单调递增，即A正确；
，，最小正周期为，且在上单调递增，即B正确；
，，最小正周期为，且在上不具有单调性，即C错误；
，，最小正周期为，且在上单调递减，即D错误．
故选：．
根据三角函数的周期性与单调性，逐一分析选项，即可．
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握三角函数的周期性与单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：若，则，A错误；
由可得，
则，即为奇函数，B正确；
由复合函数单调性可知，是上的减函数，C错误；
将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，即的图象，D正确．
故选：．
结合根式的化简检验选项A；
结合奇函数的定义检验选项B；
结合复合函数的单调性检验选项C；
结合三角函数的图象的平移检验选项D．
本题主要考查了根式的化简，函数奇偶性的判断，复合函数的单调性，三角函数的图象的平移，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：为锐角，且，
则，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及诱导公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的同角公式，以及诱导公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：函数且在上为单调函数，
又函数在上的最小值与最大值的和为，
则，解得，
函数，在上单调递增，
故函数的最大值为．
故答案为：．
结合指数函数的单调性，先求出，再结合一次函数的单调性，即可求解．
本题主要考查函数的单调性，属于基础题．
15.【答案】 ，
【解析】解：当时，，
，，，
，为增函数，，
故在上的最小值为；
，为单调增函数，
若存在零点，有且仅有一个零点，，解得，
，，若存在零点，，解得或，
若有个零点，则实数满足或，
故实数的取值范围是，，
故答案为：，，．
当时，，分和两种情况求解最小值，比较即可；
，为单调增函数，若存在零点，有且仅有一个零点，，，若存在零点，则或，根据有个零点，则实数满足或，求解即可．
本题考查分段函数的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设放射性元素的存量模型为，由已知，
，
两边同时取对数，，即，
设题中所求时间为，则，
，，，
，
．
故答案为：．
由指数函数模型求解．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
17.【答案】解：
；
Ⅱ．
【解析】Ⅰ结合指数及对数的运算性质即可求解；
Ⅱ结合诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，还考查了诱导公式的应用，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ根据题意，与是函数的两个零点，
则有，解可得，
所以解析式为；
Ⅱ根据题意，由Ⅰ的结论，，
若，则有，
解得，所以的取值范围为；
Ⅲ因为，
而，结合二次函数的性质可得：；
函数的值域为．
【解析】Ⅰ由函数零点的定义可得，解可得、的值，即可得答案；
Ⅱ根据题意，解不等式，即可得答案；
Ⅲ，结合二次函数的性质可得答案．
本题考查二次函数的性质，涉及函数的值域，属于基础题．
19.【答案】解：Ⅰ由已知得，
所以，
Ⅱ，
，
．
【解析】Ⅰ由题意可得，根据两角和的正切公式运算求解；
Ⅱ根据诱导公式结合齐次式问题运算求解．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
20.【答案】解：设，则，所以，
又因为是定义在上的偶函数，所以，
则函数在上的解析式为，
函数在上单调递减，在上单调递增；
由可知：，
所以不等式可化为，
结合函数的单调性可知，
解得：，
所以实数的取值范围为
【解析】设，则，根据题意得出，然后利用函数为偶函数即可求解；
结合的结论，求出，将不等式等价转化为，解之即可求解．
本题主要考查了函数奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：由题知，当时，，
当时，，
所以；
若，则，
所以当时，；
若，则，
由，当且仅当，即时，．
因为，
所以年产量为百台时，企业所获年利润最大，最大年利润是万元．
【解析】根据利润销售额投入成本固定成本，即可求出关于的函数关系式；
分别求两段函数的最大值，再取它们中较大者为最大年利润．
本题考查了利润函数模型应用问题，也考查了分段函数求最值问题，是中档题．
22.【答案】解：因为，
又解得；
Ⅱ由可得，
由得，
所以递减区间为，
Ⅲ因为，所以，
从而，所以值域为．
【解析】Ⅰ先利用二倍角进行化简，结合零点的意义代入即可求解；
Ⅱ先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；
Ⅲ结合正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了辅助角公式的应用，还考查了正弦函数单调性的应用及函数值域的求解，属于中档题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是．( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.若锐角，满足，，则的值是( )
A. B. C. D.
4.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
6.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数的零点分别，，，则，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
8.折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图，其平面图如图的扇形，其中，，则扇面曲边四边形的面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数，若，则的取值可能是( )
A. B. C. D.
10.下列等式正确的是( )
A. B.
C. D.
11.下列函数中，最小正周期是，且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
12.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 函数是奇函数
C. 函数是上的增函数
D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知为锐角，且，则的值为______．
14.若函数且在上的最小值与最大值的和为，则函数在上的最大值是______．
15.已知函数
当时，在上的最小值为______；
若有个零点，则实数的取值范围是______．
16.科学家通过生物标本中某种放射性元素的存量来估算该生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为年即：每经过年，该元素的存量为原来的一半，某生物标本中该元素的初始存量为，经检测生物中该元素现在的存量为，参考数据：请推算该生物距今大约______年
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求下列各式的值：
Ⅰ；
Ⅱ．
18.本小题分
已知与是函数的两个零点．
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ若，求的取值范围；
Ⅲ若，求函数的值域．
19.本小题分
已知．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值．
20.本小题分
已知是定义在上的偶函数，且时，．
求函数在上的解析式，并判断其单调性无需证明；
若，求实数的取值范围．
21.本小题分
年我市某新能源汽车生产企业计划引进一批新能源汽车设备，经过前期的市场调研，生产新能源汽车制造设备，预计全年需投入固定成本万元，每生产百台设备，需另投入成本万元，且根据市场行情，每百台设备售价为万元，且当年内生产的设备当年能全部销售完．
求年该企业年利润万元关于年产量百台的函数关系式；
年产量为多少百台时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？注：利润销售额成本
22.本小题分
已知是函数的一个零点．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ求单调递减区间．
Ⅲ若，求函数的值域．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，集合，集合，
所以，
则．
故选：．
由已知结合集合的并集及补集运算即可求解．
本题主要考查了集合的并集及补集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查全称命题的否定，属于基础题．
由全称量词的命题否定为存在量词命题可得结果．
【解答】
解：命题“，”是一个全称命题，
又全称量词的命题否定为存在量词命题，
原命题的否定为“，”
故选：．
3.【答案】
【解析】解：锐角，满足，，
，，
，
故选：．
依题意，可求得与，再利用两角和与差的三角函数计算即可．
本题考查了两角和与差的三角函数的简单应用，考查运算求解能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：，
，
当且仅当时，等号成立；
故的最小值为，
故选：．
利用基本不等式求最值即可，注意“一正，二定，三相等”．
本题考查了基本不等式的应用，使用时要注意“一正，二定，三相等”，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
则，解得．
故选：．
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．
6.【答案】
【解析】解：当取，时，则，则充分性不成立，
当时，则，则必要性成立，
则“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
根据充分条件、必要条件定义可解．
本题考查充分条件、必要条件定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由得，得，得，
分别作出函数，，和的图象如图，
由图象知，
故选：．
利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数零点的求解和判断，利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合是解决本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由已知，，
所以扇面面积为．
故选：．
由扇形的面积公式计算即可大扇形面积减去小扇形面积．
本题考查了扇形面积计算问题，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：若，则，解得，满足题意；
若，则，得，满足题意；
故选：．
根据分段函数的定义分类讨论求值即可．
本题考查分段函数的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项A，，即A正确；
选项B，，即B错误；
选项C，，即C正确；
选项D，，即D正确．
故选：．
利用二倍角公式，可判断选项A和；由两角和的正弦公式，可判断选项C；由两角差的正切公式，可判断选项D．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握二倍角公式，两角和差公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，，最小正周期为，在区间上单调递增，即A正确；
，，最小正周期为，且在上单调递增，即B正确；
，，最小正周期为，且在上不具有单调性，即C错误；
，，最小正周期为，且在上单调递减，即D错误．
故选：．
根据三角函数的周期性与单调性，逐一分析选项，即可．
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握三角函数的周期性与单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：若，则，A错误；
由可得，
则，即为奇函数，B正确；
由复合函数单调性可知，是上的减函数，C错误；
将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，即的图象，D正确．
故选：．
结合根式的化简检验选项A；
结合奇函数的定义检验选项B；
结合复合函数的单调性检验选项C；
结合三角函数的图象的平移检验选项D．
本题主要考查了根式的化简，函数奇偶性的判断，复合函数的单调性，三角函数的图象的平移，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：为锐角，且，
则，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及诱导公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的同角公式，以及诱导公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：函数且在上为单调函数，
又函数在上的最小值与最大值的和为，
则，解得，
函数，在上单调递增，
故函数的最大值为．
故答案为：．
结合指数函数的单调性，先求出，再结合一次函数的单调性，即可求解．
本题主要考查函数的单调性，属于基础题．
15.【答案】 ，
【解析】解：当时，，
，，，
，为增函数，，
故在上的最小值为；
，为单调增函数，
若存在零点，有且仅有一个零点，，解得，
，，若存在零点，，解得或，
若有个零点，则实数满足或，
故实数的取值范围是，，
故答案为：，，．
当时，，分和两种情况求解最小值，比较即可；
，为单调增函数，若存在零点，有且仅有一个零点，，，若存在零点，则或，根据有个零点，则实数满足或，求解即可．
本题考查分段函数的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设放射性元素的存量模型为，由已知，
，
两边同时取对数，，即，
设题中所求时间为，则，
，，，
，
．
故答案为：．
由指数函数模型求解．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
17.【答案】解：
；
Ⅱ．
【解析】Ⅰ结合指数及对数的运算性质即可求解；
Ⅱ结合诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，还考查了诱导公式的应用，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ根据题意，与是函数的两个零点，
则有，解可得，
所以解析式为；
Ⅱ根据题意，由Ⅰ的结论，，
若，则有，
解得，所以的取值范围为；
Ⅲ因为，
而，结合二次函数的性质可得：；
函数的值域为．
【解析】Ⅰ由函数零点的定义可得，解可得、的值，即可得答案；
Ⅱ根据题意，解不等式，即可得答案；
Ⅲ，结合二次函数的性质可得答案．
本题考查二次函数的性质，涉及函数的值域，属于基础题．
19.【答案】解：Ⅰ由已知得，
所以，
Ⅱ，
，
．
【解析】Ⅰ由题意可得，根据两角和的正切公式运算求解；
Ⅱ根据诱导公式结合齐次式问题运算求解．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
20.【答案】解：设，则，所以，
又因为是定义在上的偶函数，所以，
则函数在上的解析式为，
函数在上单调递减，在上单调递增；
由可知：，
所以不等式可化为，
结合函数的单调性可知，
解得：，
所以实数的取值范围为
【解析】设，则，根据题意得出，然后利用函数为偶函数即可求解；
结合的结论，求出，将不等式等价转化为，解之即可求解．
本题主要考查了函数奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：由题知，当时，，
当时，，
所以；
若，则，
所以当时，；
若，则，
由，当且仅当，即时，．
因为，
所以年产量为百台时，企业所获年利润最大，最大年利润是万元．
【解析】根据利润销售额投入成本固定成本，即可求出关于的函数关系式；
分别求两段函数的最大值，再取它们中较大者为最大年利润．
本题考查了利润函数模型应用问题，也考查了分段函数求最值问题，是中档题．
22.【答案】解：因为，
又解得；
Ⅱ由可得，
由得，
所以递减区间为，
Ⅲ因为，所以，
从而，所以值域为．
【解析】Ⅰ先利用二倍角进行化简，结合零点的意义代入即可求解；
Ⅱ先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；
Ⅲ结合正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了辅助角公式的应用，还考查了正弦函数单调性的应用及函数值域的求解，属于中档题．
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