数学人教A版(2019)必修第一册5.6函数y=Asin(ωx φ) 课件（共31张ppt）

(共31张PPT)
5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
第五章 三角函数
一
二
三
学习目标
经历匀速圆周运动数学建模的过程，了解正弦型函数的现实背景，体会三角函数与现实世界的紧密联系.
掌握匀速圆周运动的数学模型，会用其解决相关的实际建模问题，进一步巩固三角函数的图像与性质.
掌握三个参数对函数图象的影响并能灵活运用
学习目标
情景引入
单位圆上的匀速圆周运动
单位圆上的动点P, 以(1,0)为起点, 以单位速度1 rad/s按逆时针方向运动了t 秒, 其运动规律具有______性, 点P的纵坐标y与时间t的关系是_________, 即可用______函数模型刻画．
y=sin t
t
P
A(1,0)
O
x
三角
P
A(1,0)
O
周期
情景引入
情景 筒车是我国古代发明的一种水利灌输工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理。
问题1 假设水流量稳定，筒车上的每个盛水筒（视为质点）都做匀速圆周运动。你会用什么函数模型刻画盛水筒距离水面的相对高度H与时间t的关系
因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可考虑用三角函数模型刻画其运动规律．
新知探究
ωt
问题2 盛水筒距离水面的高度H与哪些量有关？
P0
P
筒轮中心O到水面的距离h
筒车半径r
以初始位置OP0为终边的角φ
O
r
h
筒车转动的角速度ω
ω
φ
筒车t s内转过的角度为ωt
如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过t s后，盛水筒M(视为质点)从点P0运动到点P．
问题3 那么点P距离水面的高度H与t 、h、r、φ、ω这些量有什么样的相互关系？ 该如何建立盛水筒M运动的数学模型？
假设水流量稳定，筒车上的每个盛水筒都做匀速圆周运动.
设经过t s，盛水筒M(视为质点)从点P0逆时针运动到点P，
此时点P距离水面的高度为H.
筒车中心O到水面的距离为h m，半径为r m，
以初始位置OP0为终边的角φ，角速度为ω rad/s.
新知探究
追问1 如何刻画动点P的位置？
以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设点P(x, y)．
x
y
追问2 如何刻画点P的纵坐标y与上述那些量的关系？
y=r·sin(ωt+φ)
由三角函数的定义得，
追问3 点P的距离水面的高度H与y, h有什么关系？
H=y+h
=r·sin(ωt+φ)+h
形
数
点
坐标
建系
y>0时,H=y+h
y<0时,H=h-|y|=h+y
y
新知探究
假设水流量稳定，筒车上的每个盛水筒都做匀速圆周运动.
设经过t s，盛水筒M(视为质点)从点P0逆时针运动到点P，
此时点P距离水面的高度为H.
筒车中心O到水面的距离为h m，半径为r m，
以初始位置OP0为终边的角φ，角速度为ω rad/s.
新知探究
y=r·sin(ωt+φ) ①
H=r·sin(ωt+φ)+h ②
函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律．由于h是常量，我们可以只研究函数①的性质．
上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如(其中)的函数.显然，这个函数由参数所确定.
因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质.
思考从解析式看，函数就是函数 = , = 时的特殊情形。
（1）这些参数对这个函数有什么影响呢？
（2）函数含有三个参数，你认为应该按怎样的思路进行研究呢？
新知探究

当起点位于 时， ，可得函数 的图象
P
-
-
-1
1
-
M
取A=1,
数学实验
1.探索φ对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响
观察图象上点的坐标关系
新知探究
1.探索φ对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响
新知探究
1.探索φ对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响

当起点位于 时， ，可得函数 的图象
P
-
-
-1
1
-
取A=1,
追问(1)如果 取 ， ，对应的函数图象如何变化呢？
(2)根据上面的研究，归纳出 对函数 图象影响的一般化结论.
φ对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响
归纳小结
为了得到函数 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ）
【跟踪训练1】
（B）向左平行移动 个单位长度
（C）向右平行移动 个单位长度
（D）向左平行移动 个单位长度
（A）向右平行移动 个单位长度
A
① 把正弦曲线上的所有点向左(当φ > 0时)或向右(当φ < 0时)平移 |φ| 个单位长度，就得到函数 y = sin(x + φ) 的图象；
② φ 的变化只改变图象的左右变化，形状、大小完全不变；
③ 这种变化引起的是初始位置的变换，一般称为相位变换.
取A=1， ，当 时，得到 的图象
P
当 时，得到 的图象
1、作图
2.探索ω对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响
新知探究
P
P
2、探究
2.探索ω对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响
新知探究
2.探索ω对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响
新知探究
追问(1)如果 对应的函数 图象如何变化呢？
(2)根据上面的研究，归纳出 对函数 图象影响的一般化结论.
归纳小结
ω( ω > 0 ) 对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响
① ω 的作用：引起周期 T = 的改变，这种变换叫做横向伸缩；
② ω 的变化引起的横向伸缩，会导致图象形状改变（被横向拉长或缩短）；
③ ω > 1 时，函数 y = sin(ωx + φ) 的图象相比函数 y = sin(x + φ) 横向缩短，周期变小； 0 < ω < 1 时，函数 y = sin(ωx + φ) 的图象相比函数 y = sin(x + φ) 横向伸长，周期变大；
【跟踪训练2】
说一说由 的图象经过怎样变化得到 的图象？
图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变
3.探索A对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响
新知探究
当参数A变化时，对函数y=A·sin(ωx+φ)图象有什么影响？
如图，令 ω = 2，φ = ，当 A = 1 时，y = sin ( 2x + )的图象.
A( A> 0 ) 对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响
归纳小结
① A 的作用：引起值域的改变，这种变换叫做纵向伸缩；
② A 的变化引起的纵向伸缩，会导致图象形状改变（被纵向拉长或缩短）；
③ 若 A > 0，则函数 y = Asin(ωx + φ) 的值域为[ – A，A]；
若 A < 0，则函数 y = Asin(ωx + φ) 的值域为[ A，– A ]；
【跟踪训练3】
为了得到函数 的图象，只要把 图象上所有的点（ ）
（A）横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
（B）横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
（C）纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
（D）纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
C
归纳总结
（沿x轴 平行移动）
y=sin(x+ )
（沿x轴 伸缩）
y=sin( x+ )
y
x
O
y=Asin( x+ )
x
O
y
（沿y轴 伸缩）
步骤1
y=sinx
步骤2
步骤3
步骤4
例题 如何由 变换得 的图象？
函数 y=sinx y=sin(x+ ) 的图象
③ 横坐标不变
纵坐标伸长到原来的3倍
y=sin(2x+ ) 的图象
纵坐标不变
②横坐标缩短到原来的 倍
①向左平移
y=3sin(2x+ )的图象
方法一：先平移再伸缩
典例解析
1
-１
2
-2
o
x
y
3
-3
2

y=sin(2x+　)　　
y=3sin(2x+　)　　
y=sin(x+　)　　
y=sinx　　
例题 如何由 变换得 的图象？
典例解析
方法一：
先平移再伸缩
③横坐标不变
纵坐标伸长到原来的3倍
y=3sin(2x+ )的图象
y=sin(2x+ ) 的图象
①横坐标缩短到原来的 倍
纵坐标不变
② 向左平移
函数 y=sinx y=sin2x的图象
方法二：先伸缩再平移
例题 如何由 变换得 的图象？
典例解析
1
-１
2
-2
o
x
y
3
-3
2

y=sin(2x+　)　　
y=sinx　　
y=sin2x　　
y=3sin(2x+　)　　
例题 如何由 变换得 的图象？
典例解析
方法二：
先伸缩再平移
巩固练习
课本P239
描点画图：
描点画图：
巩固练习
课本P239
描点画图：
巩固练习
课本P239
描点画图：
巩固练习
课本P239
（B）向左平行移动 个单位长度
（C）向右平行移动 个单位长度
（D）向左平行移动 个单位长度
（A）向右平行移动 个单位长度
C
2(1).为了得到函数 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ）
巩固练习
课本P239
（A）横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变
（B）横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
（C）纵坐标伸长到原来的 倍，横坐标不变
（D）纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变
2.(2)为了得到函数 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ）
B
巩固练习
课本P239
2(3).为了得到函数 的图象，只要把 图象上所有的点（ ）
（A）横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变
（B）横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
（C）纵坐标伸长到原来的 倍，横坐标不变
（D）纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变
C
巩固练习
课本P239
课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？
所有的点向左( >0)
或向右( <0)平行移动
| | 个单位长度
y=sinx
y=sin(x+ )
y=sinx
y=sin x
横坐标缩短( >1)或
伸长(0< <1) 1/ 倍
纵坐标不变
y=sinx
y=Asinx
纵坐标伸长(A>1)或
缩短(0< A<1) A倍
横坐标不变