数学人教A版（2019）必修第一册5.7三角函数的应用 课件（共21张ppt）

(共21张PPT)
5.7 三角函数的应用
第五章 三角函数
新课导入
周期现象——自然界中常见的现象
　　现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数就是刻画周期变化的典型函数模型，比如下列现象就可以用正弦型函数模型来研究，这节课我们就来探讨三角函数模型的简单应用.
问题1:某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y（单位：mm)之间的对应数据如下表所示。试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式。
t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0
t 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0
新知探究
在物理中的应用
t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0
振子振动的周期为0.6s,即 ，解得 ；
可得 sin φ=-1，因此 .
所以振子位移关于时间的函数解析式为
由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm，因此 A=20；
再由初始状态(t=0)振子的位移为
-20，
振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画.
根据已知数据作出散点图，如图所示.
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin（ωx+φ ）,x∈[0，＋∞)表示，其中A＞０， ω ＞０．
这个解析式中的常数A，ω，φ分别表示简谐运动中的什么物理量呢？
做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
周期
频率
振幅
ωx+φ 称为相位；
x=0 时的相位 φ 称为初相．
归纳总结
在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．
可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)表示，其中A>0， ω >0．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关。
巩固练习
练习1：如图所示是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：
（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
（2）写出这个简谐运动的解析式．
问题2 图（1）是某次实验测得的交变电流i（单位：A）随时间 t (单位：s)变化的图象．将测得的图象放大，得到图（2）.
（1）求电流 i 随时间 t 变化的函数解析式；
（2）当 　时，求电流 i.
思考：观察图象，交变电流i随时间t的变化满足怎样的函数模型？
由交变电流的产生原理可知，电流i随时间t的变化规律可以用 来刻画．
i=Asin(ωt+φ)
交变电流的产生
线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的中心轴匀速转动，就产生了交流电。
在物理中的应用
交变电流的产生
频率为50Hz，即 解得 ω=100π；
解：（1）
由交变电流的产生原理可知，电流 i 随时间 t 的变化规律可
由图(2)可知，电流最大值为5 A，因此A=5；
再由初始状态(t=0)的电流约为 4.33 A，
可得 sin φ=0.866，因此φ约为 .
所以电流 i 随时间 t 变化的函数解析式是
用i=Asin(ωt+φ) 来刻画，其中 表示频率，A 表示振幅，φ 表示初相．
电流变化的周期为
(2)
思考 根据图象，你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（t＝0）时的电流吗？由这些值，你能进一步解决问题（1）、（2）吗？
电流 i 随时间 t 变化的函数解析式是
（2）当 　时，求电流 i.
解：
练习3：一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U（单位V）关于时间t（单位s）的函数解析式．
答案：周期为0.02，
频率为50，
电压的最大值为311 V．
电压和时间的函数解析式为
U＝311sin100πt，t∈[0，+ ∞) ．
新知探究
在生活中的应用
海水潮汐现象
某地一日气温变化
生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替、四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象。
例1
如图，某地一天从 时的温度变化曲线近似满足函数
（1）求这一天 时的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式.
解：（1）由图可知，这段时间的最大温差是20
（2）由图可以看出，从 时的图象是函数
的半个周期的图象，所以
因为
综上，所求解析式为
整理可得
若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)+b，则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ，b.
（1）A：图象上的最高点和最低点的距离的一半，即
（3）ω：因为 ，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为 ；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
归纳总结
（2）b：图象上的最高点和最低点的中点的纵坐标，即
由图象确立三角函数的解析式的方法
（4）φ：从“五点法”中的最高点 作为突破口，即 ；或从“五点法”中的第一个点 (也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0:00 5. 0 9: 18 2. 5 18: 36 5. 0
3:06 7. 5 12: 24 5. 0 21: 42 2. 5
6:12 5. 0 15: 30 7. 5 24: 00 4. 0
例2 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在潮落时返回海洋.下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报.
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似值（精确到0.001 m）．
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
(3)若船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船在两点开始卸货，吃水深度以0.3 m/h的速度减少，如果这条船停止卸货后需 0.4 h 才能驶到深水域，那么该船在什么时间必修停止卸货，将船驶向较深的水域？
（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似值（精确到0.01m）.
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0:00 5. 0 9: 18 2. 5 18: 36 5. 0
3:06 7. 5 12: 24 5. 0 21: 42 2. 5
6:12 5. 0 15: 30 7. 5 24: 00 4. 0
解：（1）以时间 x（单位：h）为横坐标，水深 y（单位：m）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图.
根据图象，可以考虑用函数 刻画
水深与时间的对应关系，从数据和图象可以得出：
所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数 近似描述.
课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？