2009年常德市高三年级毕业会考文、理科数学(试题卷)及答案

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名称 2009年常德市高三年级毕业会考文、理科数学(试题卷)及答案
格式 rar
文件大小 335.3KB
资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2009-03-31 15:53:00

文档简介

2009年常德市高三年级毕业会考
文科数学(试题卷)
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号、座位号等填写清楚,并认真核对.
2.选择题和非选择均须在答题卡上作答,在本试题卷和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按如下要求答题:
(1)选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框,修改时用橡皮擦干净,不留痕迹;
(2)非选择题部分请按照题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写,否则作答无效;
(3)请勿折叠答题卡。保持字体工整,笔迹清楚、卡面清洁。
3.本试卷共 4页。如缺页,考生须及时报告监考老师,否则后果自负。
4.考试结束后,将本答题卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
1.设集合,则下列关系中正确的是 (B)
A.M=P B.   C.  D.
2.已知样本容量为30,在如图的样本频率分布直方图中,各小长方形的高的比从左到右依次为2∶4∶3∶1,则第2组的频率和频数分别为( A )
A. 0.4, 12 B. 0.6, 16
C. 0.4, 16 D. 0.6, 12
3.已知条件条件直线与圆相切,则是的 ( A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.定义在R上的偶函数满足,则可能是 (D)
A. B.
C. D.
5.在内,使成立的x的取值范围为 (B)
A. B.
C. D.
6.若是两个不重合的平面,是两条不重合的直线,现给出下列四个命题:
①若,则;②若,则;
③若,则;④若,则
其中正确的命题是 (D)
A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ②③④
7.已知实数,则的最小值是( C )
A. B. 2 C. D.3
8.已知△ABC的外接圆半径为,∠ABC=1200,BC=10,则过点A且以B、C为焦点的双曲线的离心率是 ( C)
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共7个小题,每小题5分,共35分.
9.已知函数,则的值为 4
10.已知两条直线:,若,则m=
11.若展开式中的第5项是,则x = 3
12.设动点P满足约束条件,则的最小值为 5
13.设O点是内一点,且,若,则 6
14.如图,A、B、C是表面积为48π的球面上三点,
AB=2,BC=4,∠ BAC=90°,O为球心,则A、C两
点的球面距离为 ;直线OA与截面ABC
所成的角的余弦值是
15.定义运算符号:“”,表示若干个数相乘,如:。记,其中为数列中的第i项。
(1)若,则 105
(2)若,则
三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写文字说明,证明过程或演算步骤。
16.如图,点A、B、C都在圆A和B的横坐标分别是1和,,记
(1)求的值;
(2)求的值.
解:(1)由已知A、B的坐标分别是(1,0),……………………1分
设C的坐标是(),


解得 , ………4分
………………………… 6分
(2) 由三角函数的定义可知 ……8分
由(1)知
…………………………………10分


…………………………………12分
17.某品牌服饰店以每件200元进了一批服装,门市部标价每件300元,五一节期间商家对这批服装进行促销活动,方案是:按标价销售,但顾客每买一件可按以下方法摸一次再兑奖:箱内装有标着数字0、20、40、60、80的小球各两个,顾客从箱子内任取三个小球,按三个小球中最大数字等额返还现金(单位:元),每个小球被取到的可能性都相等。
(1)求摸一次摸得的三个小球上的数字各不相同的概率;
(2)若有3位顾客各买了一件,求至少有两人返奖不少于60元的概率.
解:(1)解法一:“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为,

解法二:“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”,“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为,则事件和事件是对立事件因为,所以.…………4分
(2)设E=“返奖60元”,F=“返奖80元”
,…………8分
每一位顾客返奖不少于60元的概率…………9分
故3位顾客中至少有两人返奖不少于60元的概率是:
.…………12分
18.直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD为直角梯形,∠BAD=∠ABC=900,AB=BC=1,AD=AA1=2,E为侧棱BB1的中点。
(1)求证:EC1∥AD1;
(2)在线段AD上求一点F,使EF⊥平面ACD1;
(3)求平面EAC1与底面ABCD所成的锐二面角的大小.
解答
(1)以A为原点,AB、AD、AA1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则,∴
,∴EC1∥AD1
(2)设点F的坐标为,则,
则由
故所求点为,即AD的中点为所求。
(3)设平面EAC1的法向量为,由
,取,而平面ABCD
的法向量可取为,故
∴,故所求二面角的大小为
19.如图,已知椭圆以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点。过点的直线与椭圆交于两点、,过作直线垂直于轴,交椭圆于另一点.
求椭圆的方程;
求证:与轴交于定点,并求点的坐标。

解(1)易求出椭圆的方程是…………4分
(2)据题意设的方程:,代入椭圆方程得:

…………8分
据题意有,则直线的方程:…………9分
令得
=3+==3-
可知与轴交于定点,…………13分
20.已知数列、的前n项和分别为、,且满足,.
(1)求的值,并证明数列是等比数列;
(2) 试确定实数的值,使数列是等差数列。
解:(1)由已知得,∴,易得 ………2分
由得,
上面两式作差得 ……4分
∴数列是以为首项,为公比的等比数列 …… 6分
(2)由(1)知
而 …………8分

…………………………10分
数列是等差数列的充要条件是、是常数

当且仅当,即时,数列为等差数列.……13分
21.已知函数(、、、∈R)对任意都有,且时,取极大值 函数
(1) 求的解析式;
(2)是否存在实数m,使得对任意的,总存在,都有 成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(I)因为,成立,所以,
∵,由 ,得 ,
由,得
解之得: 从而,函数解析式为:
(2)所以g(x)在[0,1]上单调递增,因此当时,,

因此有故存在实数m,
使得成立,其取值范围是
2009年常德市高三年级毕业会考
理科数学(试题卷)
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号、座位号等填写清楚,并认真核对.
2.选择题和非选择均须在答题卡上作答,在本试题卷和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按如下要求答题:
(1)选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框,修改时用橡皮擦干净,不留痕迹;
(2)非选择题部分请按照题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写,否则作答无效;
(3)请勿折叠答题卡。保持字体工整,笔迹清楚、卡面清洁。
3.本试卷共 4页。如缺页,考生须及时报告监考老师,否则后果自负。
4.考试结束后,将本答题卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
1.已知复数(,i为虚数单位),则 ( B )
A. 0 B. 1 C. 2 D.
2.已知函数在处连续,则 (B)
A. B. C. 1 D. 5
3.设随机变量,且,则= (A)
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8
4.已知条件条件直线与圆相切,则是的 ( A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若是两个不重合的平面,是两条不重合的直线,现给出下列四个命题:
①若,则;②若,则;
③若,则;④若,则
其中正确的命题是 (D)
A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ②③④
6.已知函数的定义域是,值域为,那么满足条件的整数对共有 (D)
A. 14个 B. 9个 C. 7个 D. 5个
7.已知实数,则的最小值是 ( C )
A. B. 2 C. D.3
8.已知△ABC的外接圆半径为,∠ABC=1200,BC=10,则过点A且以B、C为焦点的双曲线的离心率是 ( C )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共7个小题,每小题5分,共35分.
9.在等差数列中,已知=2,=5,则= 14 .
10.若展开式中的第5项是,设,则
11.在内,使成立的x的取值范围为
12.设动点P满足约束条件,则的最大值为 6
13.设O点是内一点,且,若,则 6
14.如图,A、B、C是表面积为48π的球面上三点,
AB=2,BC=4,∠ BAC=90°,O为球心,则A、C两
点的球面距离为 ;直线OA与截面ABC
所成的角的余弦值是
15.设点是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。在同一平面直角坐标系中,①曲线经过伸缩变换后所得的曲线的方程是,②曲线经过一个伸缩变换后变成曲线,则该伸缩变换是:.
三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写文字说明,证明过程或演算步骤。
2009年3月沈杨编
16.如图,点A、B、C都在圆A和B的横坐标分别是1和,,记
(1)求的值;
(2)求的值.
解:(1)由已知A、B的坐标分别是(1,0),……………………1分
设C的坐标是(x,y),


解得 , ………4分
………………………… 6分
(2) 由三角函数的定义可知 ……8分
由(1)知
…………………………………10分


…………………………………12分
2009年3月黄祖军编
17. 某品牌服饰店以每件200元进了一批服装,门市部标价每件300元,五一节期间商家对这批服装使用了以下两种促销方案:
方案甲:按标价打八折(标价的)销售;
方案乙:按标价销售,但顾客每买一件可按以下方法从箱内摸球再兑奖:箱内装有标着数字0、20、40、60、80的小球各两个,顾客从箱子内任意取出三个小球,按三个小球中最大数字等额返还现金(单位:元),每个小球被取到的可能性都相等.
(1)若有3位顾客各买了一件,都采用了方案乙,求至少有两人返奖不少于60元的概率.
(2)如果你是顾客,你认为哪一种方案对你更合算?并说明理由.
解:(1)易知:在方案乙中表示摸一次所得的返奖的现金数.则可取20、40、60、80.
因为,
               ………4分
每一位顾客返奖不少于60元的概率.………5分
故3位顾客中至少有两人返奖不少于60元的概率是:
.………………………7分
(2)按方案甲每件可优惠60元,
,……10分
所以采用方案乙更合算.…………12分
2009年3月潘建平编
18.直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD为直角梯形,∠BAD=∠ABC=900,AB=BC=1,AD=AA1=2,E为侧棱BB1的中点。
(1)求证:EC1∥AD1;
(2)在线段AD上求一点F,使EF⊥平面ACD1;
(3)求平面EAC1与底面ABCD所成的锐二面角的大小;
解答
(1)以A为原点,AB、AD、AA1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则,∴
,∴EC1∥AD1………4分
(2)设点F的坐标为,则,
则由
故所求点为,即AD的中点为所求。
………8分
(3)设平面EAC1的法向量为,由
,取,而平面ABCD
的法向量可取为,故
∴,故所求二面角的大小为………12分
2009年3月沈杨编
理科
19.某地建造一条地铁线的总投资为亿元.其中当地政府一次性投入资金亿元,向社会发行债券亿元,剩下的资金由银行贷款解决.债券的年利率为,银行贷款年利率为,每年各付息一次.若营运后的第一年收入为1亿元,且收入平均每年增长,地铁每年的经营管理费为1亿元.
(1)营运第几年开始当年营运收入超过当年的支出(当年的支出=利息+管理费)?
(2)若地铁三年建成,第一年使用政府投入的资金,第二年使用发行债券募集的资金,第三年使用银行贷款,地铁建成后,营运多少年才能盈利?
(可用数据 1.29 =5.16 , 1.210 =6.19 ,1.211 =7.43,
1.222=55.21 , 1.223 =66.25 , 1.224 =79.50 )
解:(1)设第年开始营运收入超过支出.第年营运收入为,
支出为=6.………4分

可得 ,即第11年开始,营运收入超过支出.………6分
(2)设第年开始盈利,年内的总收入为(亿元);,年内总成本包括以下几个方面:
①债券本息和:=2n+54(亿元);
②银行贷款本息和:=3n+63(亿元);
③营运管理费:(亿元);
④资本金:(亿元).
要盈利则收入大于总成本,即
,………10分
整理得: (※)
当时,,
当时,,
由此可知,当且仅当时,※式成立
所以第23年开始盈利.………13分
2009年3月黄祖军编
20. (理科)如图,已知椭圆以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点。过点的直线与椭圆交于两点、,过作直线垂直于轴,交椭圆于另一点,与轴交于点,为椭圆的左顶点,过点作直线,直线、分别交于、,
(1)求椭圆的方程;
求证:.
解(1)可以求出椭圆的方程是……3分
(2)据题意设的方程:,代入椭圆方程得:

…………6分
的方程是:,则,而
由三点共线得:,由三点共线得:
所以
= =
将①代入得 = …………9分
据题意有,则直线的方程:
令得
=3+==3-
所以,与轴交于点,即
,即…………13分
2009年3月潘建平黄祖军编。
21、已知函数在处取得极值。
(1)求函数的单调递减区间;
(2)当时,过点作函数图象的切线恰有两条,求实数p的取值范围;
(3)求证:对恒有成立.
解:(1)∵,依题意,有………2分
∴,由,
得在上是减函数。………4分
设切点坐标为,则有,
即,依题意,此方程在区间内恰有两个实根………7分

∴在上递增,在上递减
∴,而,依题意应有
       ………………9分
(3)由(1)知,在上是减函数,即当时,
即……………………11分
∴,,…,
相加得:
   ………13分
另解:用数学归纳法证明。
(1)当时,∵即成立…………………9分
(2)假设命题成立,即
则当时,
,故应证

而 ………11分
由(1)知,在上是减函数,即有
∴, 即时命题成立。综合得证。………13分
2009年常德市高三年级毕业会考
理科数学试题参考答案及评分标准
说明:
(一)《答案》中各行右端所注分数表示正确作完该步应得的累加分数,全卷满分150分.
(二)《答案》中的解法只是该题解法中的一种或几种,如果考生的解法和本《答案》不同,可参照本答案中的标准给分。
(三)评卷时要坚持每题评阅到底,勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅。如果考生的解答在某一步出现错误,影响后继部分而末改变本题的内容和难度者,视影响程度决定后面部分的得分,但原则上不超过后面部分应得分数的一半,如有严重的概念错误,就不给分。
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