江西省宜春市丰城中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（含答案）

丰城中学2023-2024学年上学期高一期末考试试卷
数学
范围：必修一及必修二前四节
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．某林场有树苗2000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量50的样本，则样本中松树苗的数量是（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
3．函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，若，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．9
6．已知实数满足：，则下列关系不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（ ）
A． B． C．2021 D．0
8．定义域为R的函数满足，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则
B．若非零实数满足，则
C．若，则
D．若，则
10．下列说法正确的有（ ）
A．为第三象限角的充要条件为
B．若为第二象限角，则为第一或第三象限角
C．
D．
11．下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有（ ）
A．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件“出现的点数为奇数”，事件“出现的点数为偶数”
B．袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件“第1次摸到红球”，事件“第2次摸到红球”
C．分别抛掷2枚相同的硬币，事件“第1枚为正面”，事件“两枚结果相同”
D．一枚硬币掷两次，事件“第一次为正面”，事件“第二次为反面”
12．已知函数，则（ ）
A．的最小值为2 B．
C． D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若圆心角为的扇形的面积为，则该扇形的半径为________．
14．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于与之间．将测试结果分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为，那么成绩的分位数约为________s．
15．已知函数，且正数满足，若恒成立，则实数的取值范围是________．
16．已知函数的值域为R，则实数的取值范围是________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．
18．（12分）某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中为正常数，已知在前消除了的污染物．
（1）后还剩百分之几的污染物？
（2）要使污染物减少三分之一以上至少需要多少时间？（结果精确到）
（参考数据）
19．（12分）已知函数．
（1）判断的奇偶性，并说明理由；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）求在上的值域．
20．（12分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
（1）求第七组的频率，并估计该校的800名男生的身高的中位数；
（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，求．
21．（12分）某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响。
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
22．（12分）已知函数是奇函数，且过点．
（1）求实数和的值；
（2）设，是否存在正实数，使关于的不等式对恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
丰城中学2023-2024学年上学期高一期末考试数学答案
1-8 CDCD DDAC 9．BCD 10．BCD 11．CD 12．AC
13．3 14．16.5 15． 16．
17解．（1）时，，故，
，
故；
（2）由题意得是的真子集，
若，则，解得，
若，则或，
解得，故的取值范围是
18．解（1）由可知，当时，，
当时，，则有，
解得，
所以，
故当时，，
即后还剩的污染物．
（2）要使污染物减少三分之一以上，则有，
因为，所以，
，
所以，
故要使污染物减少三分之一以上至少需要21小时．
19．（1）函数是奇函数．的定义域为，关于原点对称，
因为，所以在上是奇函数．
（2）在上为增函数；证明：任取，
则
，
因为，所以，
则，即．故在上为增函数．
（3）结合（1）（2）知在上为增函数，即在上为增函数，
当时，取得最小值，且最小值为
当时，取得最大值，且最大值为
故在的值域为．
20．解：（1）第六组的频率为，
第七组的频率为．
由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，
设这所学校的800名男生的身高中位数为，则，
由得，
（2）第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为，
则从中随机抽取两名男生有，共15种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件包含的基本事件为共7种情况．所以．
21．（1）记“甲家庭回答正确这道题”为事件，“乙家庭回答正确这道题”为事件，“丙家庭回答正确这道题”为事件，
则，
即，
所以，
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为；
（2）有3个家庭回答正确的概率为，
有2个家庭回答正确的概率为：
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
22．（1）因为是定义域为的奇函数，
，检验符合．
．
又因为过点，
，
（2）由（1）得
因为，令，
记函数在上恒成立，
（ⅰ）若时，函数在上为增函数，
所以为减函数，
则需函数恒成立，即恒成立．
由于对称轴，函数在区间上为增函数，
恒成立，恒成立，则恒成立，
故合题意
（ⅱ）若时，则需在恒成立，则：
①
②
③
综上所述：故存在正数，使函数在上恒成立