9.3 实系数一元二次方程 教学设计

《实系数一元二次方程》教学设计
【教材分析】
《实系数一元二次方程》是高一第二学期第九章《复数》第三节第一课时内容.是在学习了复数及其四则运算、复数的几何意义后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善.
为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题.那么实系数一元二次方程，当时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和实系数一元二次方程根与系数的关系.
【学情分析】
认知基础
初中已经学习并掌握了实系数一元二次方程的求根公式和实根前
提下的韦达定理；
已经初步掌握复数的运算，复数的几何意义等知识.
（二）认知障碍
对实系数一元二次方程的求根情况存在一定的理解困难，难以推得求根公式.
【教学流程】
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【教学方法】
[教法设计] 教学中拟采用“问题解决”的教学策略，既要重视从已有知识到新知识的建构过程，又要重视数学的理性思维的培养.重点通过学生活动引导学生自主探究复数范围内求解实系数一元二次方程的根，在学生活动的过程中提升问题解决能力.
[学法设计]
1、问题表征阶段：在学生活动中对需要解决的问题进行表征和理解.
2、策略选择阶段：独立思考提出解决问题的策略，通过互相交流和教师的引导,形成自己解决问题的理念和策略.
3、问题解决阶段：通过独立或合作探究活动，利用构建的新知，初步解决具体的问题，并对认知结构进行必要的调整.
【教学目标】
1、理解在复数范围内，实系数一元二次方程总有解，并掌握在复数范围内完整解决实系数一元二次方程的求解；
2、理解实系数一元二次方程根与系数的关系，并能简单应用；
3、 经历实系数一元二次方程在复数范围内的求根过程，领会从特殊到一般、配方、分类讨论等数学思想方法，发展数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
【教学重点】
在复数范围内完整解决实系数一元二次方程的求解以及根与系数的关系.
【教学难点】
在复数范围内完整解决实系数一元二次方程的求解.
【教学过程】
一、创建活动、引入课题
【活动1】在初中课程中，我们已经学过实系数一元二次方程.
自主求解下列实系数一元二次方程：
(1)
(2)
(3) .
【活动2】学生评价结果是否正确，过程是否规范.
【活动3】共同探究，当△=<0时，求解实系数一元二次方程的虚根.
问题探究、构建新知
【活动4】从特殊的例子出发，探究当△=<0时，实系数一元二次方程虚根的求解方法
1. 在复数范围内解一元二次方程？
2. 在复数范围内解一元二次方程？
3. 在复数范围内解一元二次方程？
4. 在复数范围内解一元二次方程？
5. 在复数范围内解一元二次方程？
6. 在复数范围内解一元二次方程？
【活动5】小组探究当△=<0时，实系数一元二次方程求根公式.
配方：
求解：
【结论1】实系数一元二次方程：△=
①当 时，方程有两个不相等的实数根
②当 时，方程有两个相等的实数根
③当 时，方程有两个____的虚数根
【活动6】当时，方程的两个不相等的虚数根之间有什么关系？
【活动7】探究实系数一元二次方程中根与系
数的关系.
1、回顾当时，实系数一元二次方程中根与系数的关系.
2、自主探究当时，实系数一元二次方程中根与系数的关系.
【结论2】根与系数的关系（韦达定理）：
________，_________.
即实系数一元二次方程始终满足根与系数关系（韦达定理）.
问题解决、巩固新知
【例题1】在复数集中解方程.
【例题2】已知关于的方程有一个虚根为，求方程的另一个根及、的值．
小结交流、凝练升华
（1）知识：实系数一元二次方程的解
（2）思维与方法：特殊到一般、配方法
（3）思想：分类讨论等
课后延伸、温故知新
若关于的方程有实根，则如何求解？
思考：求根根式是否仍然成立？根与系数的关系是否仍然成立？
课后练习、巩固提高
自我评议 收获： 是否达成学习目标：
疑问：
组内互评 积极探讨 互助解答 问题解决的能力
☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
[必做作业]：教材P161 习题9.3 A组 1,2,3 B组1,2,3,4
[选做作业]：A组、B组、C组任选一组完成
【A组】
1、已知方程的一根是，则= ， =
2、已知方程有一个虚根，则
3、在复数范围内分解因式=
4、已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程
的两个根，那么的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【B组】
1、已知关于的方程有两个虚根和，且，
求的值．
2、已知两个数的和等于4，它们的积等于6，求这两个数．
3、已知关于的方程 有一个模为1的虚根,求的值．
【C组】
1、已知方程的两根为，若，求实数的
值.
设是方程的两个虚根，且，求实数.
3、已知方程，若，求满足方程的所有虚数的和.
《实系数一元二次方程》学案
班级 姓名 学号
【学习目标】
1、理解在复数范围内，实系数一元二次方程总有解，并掌握在复数范围内完整解决实系数一元二次方程的求解；
2、理解实系数一元二次方程根与系数的关系，并能简单应用；
3、 经历实系数一元二次方程在复数范围内的求根过程，领会从特殊到一般、配方、分类讨论等数学思想方法，发展数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
【学习重点】
在复数范围内完整解决实系数一元二次方程的求解以及根与系数的关系.
【学习难点】
在复数范围内完整解决实系数一元二次方程的求解.
【学习过程】
一、创建活动、引入课题
【活动】在初中课程中，我们已经学过实系数一元二次方程.
自主求解下列实系数一元二次方程：
(1) (2) (3) .
二、问题探究、构建新知
【活动】
1. 在复数范围内解一元二次方程.
2. 在复数范围内解一元二次方程.
3. 在复数范围内解一元二次方程.
4. 在复数范围内解一元二次方程.
5. 在复数范围内解一元二次方程.
6. 在复数范围内解一元二次方程.
【活动】探究在复数范围内实系数一元二次方程解的情况.
配方：
求解：
【结论1】实系数一元二次方程：△=
①当 时，方程有两个不相等的实数根
②当 时，方程有两个相等的实数根
③当 时，方程有两个____的虚数根
【结论2】根与系数的关系（韦达定理）：
________，_________.
即实系数一元二次方程始终满足根与系数关系（韦达定理）.
三、问题解决、巩固新知
【例题1】在复数集中解方程：.
【例题2】已知关于的方程有一个虚根为，求方程的另一个根及、的值．
四、小结交流、凝练升华
（1）本节课你学到了什么？有什么体会？
（2）有什么疑问？
五、课后延伸、温故知新
若关于的方程有实根，则如何求解？
思考：求根根式是否仍然成立？根与系数的关系是否仍然成立？
六、课后练习、巩固提高
[必做作业]：教材P161 习题9.3 A组 1,2,3 B组1,2,3,4
[选做作业]：A组、B组、C组任选一组完成
【A组】
1、已知方程的一根是，则= ， =
2、已知方程有一个虚根，则
3、在复数范围内分解因式=
4、已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程
的两个根，那么的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【B组】
1、已知关于的方程有两个虚根和，且，
求的值．
2、已知两个数的和等于4，它们的积等于6，求这两个数．
3、已知关于的方程 有一个模为1的虚根，求的值．
【C组】
已知方程的两根为，若，求实数的
值.
2、设是方程的两个虚根，且，求实数.
3、已知方程，若，求满足方程的所有虚数的和.
自我评议 收获： 是否达成学习目标：
疑问：
组内互评 积极探讨 互助解答 问题解决的能力
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