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8．1 基本立体图形
学习指导 核心素养
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征． 2．能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 1.数学抽象：能从具体物体中抽象出立体图形的定义． 2．直观想象：柱、锥、台和球的结构特征．
第1课时 棱柱、棱锥、棱台
知识点一 空间几何体
1．空间几何体的定义
如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
2．空间几何体的分类
类别 定义 图示
多面体 一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴
1．下列实物不能近似看成多面体的是( )
A．钻石 B．骰子
C.足球 D．金字塔
2．如图，截去正方体一角得到的新多面体的面数是( )
A.8 B．7
C．6 D．5
知识点二 棱柱的结构特征
1．棱柱的结构特征
定义 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体
图示及相 关概念 底面：两个互相平行的面 侧面：底面以外的其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分别叫做三棱柱、四棱柱……
2.特殊的棱柱：
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱．
下列说法正确的是( )
A.棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱
B.棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
D.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
棱柱结构特征的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；
②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否互相平行．
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，从而排除．
1．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是( )
A.P N M Q B．Q M N P
C.P M N Q D．Q N M P
2．如图所示，长方体ABCD A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
知识点三 棱锥的结构特征
定义 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
图示及相关概念 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分别叫做三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫四面体．底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥
(多选)下列说法中，正确的是( )
A.棱锥的各个侧面都是三角形
B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C.棱锥的侧棱平行
D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
【答案】 AB
判断一个几何体是不是棱锥，关键看它是否具备棱锥的两个本质特征：
(1)有一个面是多边形；
(2)其余各面是有一个公共顶点的三角形．
以上两个本质特征缺一不可．
说出右图中几何体的名称，并用字母表示出该几何体，同时指出其顶点、侧面、底面及侧棱．
知识点四 棱台的结构特征
定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
图示及相关概念 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：除上、下底面以外的面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类 由几棱锥截得，如三棱台、四棱台……
(多选)下列选项中，不正确的是( )
A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
判断棱台结构特征的方法
(1)举反例法：结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法：①定底面，两个互相平行的面即为底面；②看侧棱延长线是否相交于一点．
下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确的是________．(填序号)
考点 空间几何体的平面展开图
根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．
多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的展开图，要求判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可能有多个展开图．
正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点A到顶点C1的最短距离为________．
1.下面多面体中，是棱柱的有( )
A.1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．对于棱锥，下列叙述正确的是( )
A.四棱锥共有四条棱
B.五棱锥共有五个面
C.六棱锥的顶点有六个
D.任何棱锥都只有一个底面
3．一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为__________cm.
4．画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可).
[A 基础达标]
1．侧面都是矩形的棱柱一定是( )
A．长方体 B．三棱柱
C.直平行六面体 D．直棱柱
2．有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为( )
A.四棱柱 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱锥
3．如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，截去三棱锥A1－ABC，则剩余的部分是( )
A.三棱锥 B．四棱锥
C.三棱柱 D．五棱锥
4．下列关于棱柱的说法中，正确的是( )
A.棱柱的所有面都是四边形
B.一个棱柱中只有两个面互相平行
C.一个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面
D.棱柱的侧棱长不都相等
5.
(多选)在如图所示的几何体中，关于其结构特征，下列说法正确的是( )
A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的
B.该几何体有12条棱，6个顶点
C.该几何体有8个面，并且各个面均为三角形
D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形
6．(多选)下列说法正确的是( )
A.四棱柱的所有面均为平行四边形
B.长方体不一定是正四棱柱
C.底面是正多边形的棱锥，是正棱锥
D.正四面体一定是正三棱锥
7．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．
8．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．
9．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是________．
10．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
[B 能力提升]
11.
如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )
A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
12.
如图所示，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体，有下列结论：
①点H与点C重合；
②点D、点M与点R重合；
③点B与点Q重合；
④点A与点S重合．
其中正确的是________．(填序号)
13．试从正方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)三棱柱．
[C 拓展冲刺]
14．如图，在三棱锥V ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为________．
15．如图，一个长方体形状的容器里面装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中，
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
(2)水的形状也不断变化，可能是棱柱，也可能变成棱台或棱锥，对吗？
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8．1 基本立体图形
学习指导 核心素养
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征． 2．能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 1.数学抽象：能从具体物体中抽象出立体图形的定义． 2．直观想象：柱、锥、台和球的结构特征．
第1课时 棱柱、棱锥、棱台
知识点一 空间几何体
1．空间几何体的定义
如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
2．空间几何体的分类
类别 定义 图示
多面体 一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴
1．下列实物不能近似看成多面体的是( )
A．钻石 B．骰子
C.足球 D．金字塔
解析：选C.钻石、骰子、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体．足球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体．
2．如图，截去正方体一角得到的新多面体的面数是( )
A.8 B．7
C．6 D．5
解析：选B.截去正方体一角得到的多面体多了一个面，故面数为7.
知识点二 棱柱的结构特征
1．棱柱的结构特征
定义 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体
图示及相 关概念 底面：两个互相平行的面 侧面：底面以外的其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分别叫做三棱柱、四棱柱……
2.特殊的棱柱：
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱．
下列说法正确的是( )
A.棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱
B.棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
D.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
【解析】
A错误，底面和侧面的公共边不是侧棱；B正确，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至少有两个面的形状完全相同；C错误，正六棱柱的两个相对侧面互相平行；D错误，“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示的几何体就不是棱柱．
【答案】 B
棱柱结构特征的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；
②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否互相平行．
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，从而排除．
1．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是( )
A.P N M Q B．Q M N P
C.P M N Q D．Q N M P
解析：选B.根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体} {正四棱柱} {长方体} {直四棱柱}，故选B.
2．如图所示，长方体ABCD A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．
(2)是．截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1 DCND1.
知识点三 棱锥的结构特征
定义 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
图示及相关概念 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分别叫做三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫四面体．底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥
(多选)下列说法中，正确的是( )
A.棱锥的各个侧面都是三角形
B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C.棱锥的侧棱平行
D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
【解析】 由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错．
【答案】 AB
判断一个几何体是不是棱锥，关键看它是否具备棱锥的两个本质特征：
(1)有一个面是多边形；
(2)其余各面是有一个公共顶点的三角形．
以上两个本质特征缺一不可．
说出右图中几何体的名称，并用字母表示出该几何体，同时指出其顶点、侧面、底面及侧棱．
解：该几何体为五棱锥；用字母可表示为五棱锥P ABCDE；顶点为点P；侧面为△PAB，△PBC，△PCD，△PDE，△PAE；底面为五边形ABCDE；侧棱为PA，PB，PC，PD，PE.
知识点四 棱台的结构特征
定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
图示及相关概念 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：除上、下底面以外的面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类 由几棱锥截得，如三棱台、四棱台……
(多选)下列选项中，不正确的是( )
A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
【解析】
A中的平面不一定平行于底面，故A错；由棱台的定义知，D正确；B，C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B，C错．
【答案】 ABC
判断棱台结构特征的方法
(1)举反例法：结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法：①定底面，两个互相平行的面即为底面；②看侧棱延长线是否相交于一点．
下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确的是________．(填序号)
解析：
①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥；③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
答案：①②
考点 空间几何体的平面展开图
根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．
【解】 如图是以四边形ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．其图形如图所示．
多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的展开图，要求判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可能有多个展开图．
正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点A到顶点C1的最短距离为________．
解析：将侧面ABB1A1与底面A1B1C1D1展开在同一平面上，连接AC1，则线段AC1的长即为所求．如图，AC1＝2.
答案：2
1.下面多面体中，是棱柱的有( )
A.1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选D.根据棱柱的定义进行判定，知这4个多面体都是棱柱．
2．对于棱锥，下列叙述正确的是( )
A.四棱锥共有四条棱
B.五棱锥共有五个面
C.六棱锥的顶点有六个
D.任何棱锥都只有一个底面
解析：选D.对于A，因为四棱锥共有八条棱，故A错误；对于B，因为五棱锥共有六个面，故B错误；对于C，因为六棱锥的顶点有七个，故C错误；对于D，根据棱锥的定义，D正确．故选D.
3．一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为__________cm.
解析：因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，所以侧棱长为＝12(cm).
答案：12
4．画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可).
解：平面展开图如图所示：
[A 基础达标]
1．侧面都是矩形的棱柱一定是( )
A．长方体 B．三棱柱
C.直平行六面体 D．直棱柱
解析：选D.侧面都是矩形的棱柱，只需侧棱和底面垂直，即侧面都是矩形的棱柱一定是直棱柱．故选D.
2．有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为( )
A.四棱柱 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱锥
解析：选B.根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥．
3．如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，截去三棱锥A1－ABC，则剩余的部分是( )
A.三棱锥 B．四棱锥
C.三棱柱 D．五棱锥
解析：选B.剩余部分是以四边形BCC1B1为底面，A1为顶点的四棱锥，故选B.
4．下列关于棱柱的说法中，正确的是( )
A.棱柱的所有面都是四边形
B.一个棱柱中只有两个面互相平行
C.一个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面
D.棱柱的侧棱长不都相等
解析：选C.A说法不正确，比如三棱柱的底面为三角形；B说法不正确，比如长方体中，相对侧面互相平行，两个底面互相平行；C说法正确，一个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面；D说法不正确，由棱柱的定义可知，棱柱的侧面为平行四边形，侧棱长都相等．故选C.
5.
(多选)在如图所示的几何体中，关于其结构特征，下列说法正确的是( )
A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的
B.该几何体有12条棱，6个顶点
C.该几何体有8个面，并且各个面均为三角形
D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形
解析：选ABC.根据几何体的形状，得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的，且有12条棱，6个顶点，8个面，且每个面都是三角形．所以选项A，B，C正确，选项D错误．故选ABC.
6．(多选)下列说法正确的是( )
A.四棱柱的所有面均为平行四边形
B.长方体不一定是正四棱柱
C.底面是正多边形的棱锥，是正棱锥
D.正四面体一定是正三棱锥
解析：选BD.四棱柱的上、下底面四边形可以是任意四边形，故A不正确；长方体不一定是正四棱柱，正确，因为长方体的三边可以不相等，所以B正确；不仅底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，才是正棱锥，故C不正确；正四面体一定是正三棱锥，故D正确．故选BD.
7．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．
解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得).
答案：4 8
8．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．
解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
答案：5 6 9
9．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是________．
解析：由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积之比为对应边之比的平方．
答案：1∶4
10．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)这是一个六棱锥．
(3)这是一个三棱台．
[B 能力提升]
11.
如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )
A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
解析：选C.根据棱台是由棱锥截成的可知，选项A中，≠，故A不正确；选项B中，≠，故B不正确；选项C中，＝＝，故C正确；选项D中，满足这个条件的几何体是三棱柱，不是三棱台，故选C.
12.
如图所示，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体，有下列结论：
①点H与点C重合；
②点D、点M与点R重合；
③点B与点Q重合；
④点A与点S重合．
其中正确的是________．(填序号)
解析：依据正方体表面展开图的特征，知②④是正确的．
答案：②④
13．试从正方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)三棱柱．
解：(1)如解图①所示，三棱锥A1 AB1D1(答案不唯一).
(2)如解图②所示，三棱柱A1B1D1 ABD(答案不唯一).
[C 拓展冲刺]
14．如图，在三棱锥V ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为________．
解析：
将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．
因为∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，所以∠AVA1＝90°，
又VA＝VA1＝4，所以AA1＝4.
所以△AEF周长的最小值为4.
答案：4
15．如图，一个长方体形状的容器里面装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中，
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
(2)水的形状也不断变化，可能是棱柱，也可能变成棱台或棱锥，对吗？
解：(1)不对，水面的形状就是用与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是其他不是矩形的平行四边形．
(2)不对，水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后剩下的几何体，此几何体是棱柱，不可能是棱台或棱锥．
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8．1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台
第八章 立体几何初步
学习指导 核心素养
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征． 2．能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 1.数学抽象：能从具体物体中抽象出立体图形的定义．
2．直观想象：柱、锥、台和球的结构特征．
01
必备知识 落实
知识点一 空间几何体
1．空间几何体的定义
如果只考虑物体的_____和_____，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的__________就叫做空间几何体．
形状
大小
空间图形
2．空间几何体的分类
类别 定义 图示
多面体 一般地，由若干个_____________围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个________叫做多面体的面；两个面的________叫做多面体的棱；________的公共点叫做多面体的顶点
平面多边形
多边形
公共边
棱与棱
类别 定义 图示
旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条________旋转所形成的_____叫做旋转面，_____的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条________叫做旋转体的轴
定直线
曲面
封闭
定直线
1．下列实物不能近似看成多面体的是( )
A．钻石 B．骰子
C．足球 D．金字塔
解析：钻石、骰子、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体．足球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体．
√
2．如图，截去正方体一角得到的新多面体的面数是( )
A．8 B．7
C．6 D．5
解析：截去正方体一角得到的多面体多了一个面，故面数为7.
√
知识点二 棱柱的结构特征
1．棱柱的结构特征
定义 一般地，有两个面__________，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都__________，由这些面围成的多面体 图示 及相关 概念 底面：两个互相_____的面
侧面：底面以外的其余各面
侧棱：相邻侧面的________
顶点：侧面与底面的__________
分类 按底面多边形的边数分别叫做三棱柱、四棱柱…… 互相平行
互相平行
平行
公共边
公共顶点
2.特殊的棱柱：
直棱柱：侧棱_____于底面的棱柱；
斜棱柱：侧棱________于底面的棱柱；
正棱柱：底面是__________的直棱柱；
平行六面体：底面是_____________的四棱柱．
垂直
不垂直
正多边形
平行四边形
下列说法正确的是( )
A.棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱
B.棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
D.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
√
【解析】 A错误，底面和侧面的公共边不是侧棱；
B正确，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，
故棱柱中至少有两个面的形状完全相同；
C错误，正六棱柱的两个相对侧面互相平行；
D错误，“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示的几何体就不是棱柱．
棱柱结构特征的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；
②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否互相平行．
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，从而排除．
1．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是( )
A.P N M Q B．Q M N P
C.P M N Q D．Q N M P
解析：根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体} {正四棱柱} {长方体} {直四棱柱}，故选B.
√
2．如图所示，长方体ABCD -A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？
解：是棱柱，并且是四棱柱．
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
解：是．截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1 -DCND1.
知识点三 棱锥的结构特征
定义 一般地，有一个面是________，其余各面都是有一个__________的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 图示及相关概念 底面：多边形面
侧面：有公共顶点的各个三角形面
侧棱：相邻侧面的________
顶点：各侧面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分别叫做三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫四面体．底面是__________，并且顶点与底面中心的连线_____于底面的棱锥叫做正棱锥 多边形
公共顶点
公共边
正多边形
垂直
(多选)下列说法中，正确的是( )
A.棱锥的各个侧面都是三角形
B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C.棱锥的侧棱平行
D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
√
√
【解析】 由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；
四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；
棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错；
棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错．
判断一个几何体是不是棱锥，关键看它是否具备棱锥的两个本质特征：
(1)有一个面是多边形；
(2)其余各面是有一个公共顶点的三角形．
以上两个本质特征缺一不可．
说出右图中几何体的名称，并用字母表示出该几何体，同时指出其顶点、侧面、底面及侧棱．
解：该几何体为五棱锥；用字母可表示为五棱锥P-ABCDE；顶点为点P；侧面为△PAB，△PBC，△PCD，△PDE，△PAE；底面为五边形ABCDE；侧棱为PA，PB，PC，PD，PE.
知识点四 棱台的结构特征
定义 用一个_____于棱锥底面的平面去截棱锥，_____和_____之间的部分叫做棱台 图示及相关概念 上底面：原棱锥的截面
下底面：原棱锥的底面
侧面：除上、下底面以外的面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类 由几棱锥截得，如三棱台、四棱台…… 平行
底面
截面
(多选)下列选项中，不正确的是( )
A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
√
√
√
【解析】
A中的平面不一定平行于底面，故A错；
由棱台的定义知，D正确；
B，C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B，C错．
判断棱台结构特征的方法
(1)举反例法：结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法：①定底面，两个互相平行的面即为底面；②看侧棱延长线是否相交于一点．
下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确的是________．(填序号)
①②
解析：①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥；③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
02
关键能力 提升
考点 空间几何体的平面展开图
根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．
【解】 如图是以四边形ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．其图形如图所示．
多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的展开图，要求判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可能有多个展开图．
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点A到顶点C1的最短距离为________．
解析：将侧面ABB1A1与底面A1B1C1D1展开在同一平面上，连接AC1，则线段AC1的长即为所求．如图，AC1＝2
03
课堂巩固 自测
√
1.下面多面体中，是棱柱的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：根据棱柱的定义进行判定，知这4个多面体都是棱柱．
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2．对于棱锥，下列叙述正确的是( )
A.四棱锥共有四条棱
B.五棱锥共有五个面
C.六棱锥的顶点有六个
D.任何棱锥都只有一个底面
解析：对于A，因为四棱锥共有八条棱，故A错误；
对于B，因为五棱锥共有六个面，故B错误；
对于C，因为六棱锥的顶点有七个，故C错误；
对于D，根据棱锥的定义，D正确．故选D.
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3．一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为__________cm.
解析：因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，所以侧棱长为 ＝12(cm).
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4．画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可).
解：平面展开图如图所示：
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04
课后达标 检测
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[A 基础达标]
1．侧面都是矩形的棱柱一定是( )
A．长方体 B．三棱柱
C．直平行六面体 D．直棱柱
解析：侧面都是矩形的棱柱，只需侧棱和底面垂直，即侧面都是矩形的棱柱一定是直棱柱．故选D.
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2．有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为( )
A.四棱柱 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱锥
解析：根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥．
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3．如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，截去三棱锥A1-ABC，则剩余的部分是( )
A.三棱锥 B．四棱锥
C.三棱柱 D．五棱锥
解析：剩余部分是以四边形BCC1B1为底面，A1为顶点的四棱锥，故选B.
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4．下列关于棱柱的说法中，正确的是( )
A.棱柱的所有面都是四边形
B.一个棱柱中只有两个面互相平行
C.一个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面
D.棱柱的侧棱长不都相等
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解析：A说法不正确，比如三棱柱的底面为三角形；
B说法不正确，比如长方体中，相对侧面互相平行，两个底面互相平行；
C说法正确，一个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面；
D说法不正确，由棱柱的定义可知，棱柱的侧面为平行四边形，侧棱长都相等．故选C.
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5.(多选)在如图所示的几何体中，关于其结构特征，下列说法正确的是( )
A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的
B.该几何体有12条棱，6个顶点
C.该几何体有8个面，并且各个面均为三角形
D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形
解析：根据几何体的形状，得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的，且有12条棱，6个顶点，8个面，且每个面都是三角形．所以选项A，B，C正确，选项D错误．故选ABC.
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6．(多选)下列说法正确的是( )
A.四棱柱的所有面均为平行四边形
B.长方体不一定是正四棱柱
C.底面是正多边形的棱锥，是正棱锥
D.正四面体一定是正三棱锥
解析：四棱柱的上、下底面四边形可以是任意四边形，故A不正确；
长方体不一定是正四棱柱，正确，因为长方体的三边可以不相等，所以B正确；
不仅底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，才是正棱锥，故C不正确；
正四面体一定是正三棱锥，故D正确．故选BD.
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7．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．
解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得).
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8．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．
解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
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9．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是________．
解析：由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积之比为对应边之比的平方．
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1∶4
10．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
解:这是一个上、下底面是平行四边形,4个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
解：这是一个六棱锥．
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
解：这是一个三棱台．
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12.如图所示，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体，有下列结论：
①点H与点C重合；
②点D、点M与点R重合；
③点B与点Q重合；
④点A与点S重合．
其中正确的是________．(填序号)
解析：依据正方体表面展开图的特征，知②④是正确的．
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②④
13．试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
解：如解图①所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).
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(2)三棱柱．
解：如解图②所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).
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[C 拓展冲刺]
14．如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为________．
解析：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．
因为∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，所以∠AVA1＝90°，
又VA＝VA1＝4，所以AA1＝
所以△AEF周长的最小值为
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15．如图，一个长方体形状的容器里面装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中，
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩
形的平行四边形，对吗？
解：不对，水面的形状就是用与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是其他不是矩形的平行四边形．
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(2)水的形状也不断变化，可能是棱柱，也可能变成棱台或棱锥，对吗？
解：不对，水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后剩下的几何体，此几何体是棱柱，不可能是棱台或棱锥．
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