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第2课时 旋转体与简单组合体
知识点一 圆柱的结构特征
圆柱及相关概念 图形及表示
定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 用表示它的轴的字母表示 图中圆柱记作：圆柱O′O
相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面 母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
1．矩形的两相邻边长分别为3 cm和4 cm，以一边所在的直线为轴旋转，则所形成的圆柱的底面积为________．
解析：当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4 cm，底面积为16π cm2；当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3 cm，底面积为9π cm2.
答案：16π cm2或9π cm2
2．如图，在圆柱中任取不重合的两条母线，如AB，CD，它们有何关系？
解：由题意得AB綉CD.
知识点二 圆锥的结构特征
圆锥及相关概念 图形及表示
定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 用表示它的轴的字母表示 图中圆锥记作：圆锥SO
相关 概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线
1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．
解析：如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝AB2，所以＝AB2，所以AB＝2.
答案：2
2．以Rt△ABC任一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体就是圆锥，这句话对吗？
答案：不对．必须以直角边所在直线为轴．若以斜边所在直线为轴，形成的是同底面的两个圆锥组成的几何体．
知识点三 圆台的结构特征
圆台及相关概念 图形及表示
定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台； 以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台 用表示它的轴的字母表示 图中圆台记作：圆台O′O
相关 概念 轴：旋转轴叫做圆台的轴 底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面叫做圆台的底面 侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面叫做圆台的侧面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆台的母线
下列命题正确的是________．(填序号)
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
③以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥．
【解析】 ①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；②它们的底面为圆面；③正确．
【答案】 ③
(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线．
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
(多选)下列说法中，正确的是( )
A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B.用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台
C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面
D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
解析：选ACD.对于A，圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个，为2rl，A正确；对于B，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台，B错误；对于C，圆台的所有平行于底面的截面都是圆面，C正确；对于D，圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形，D正确．
知识点四 球的结构特征
球及相关概念 图形及表示
定义 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 用表示球心的字母表示 图中的球记作：球O
相关 概念 球心：半圆的圆心叫做球的球心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径 直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径
1．(多选)下列说法正确的是( )
A.球的半径是球面上任意一点与球心的连线
B.球面上任意两点的连线是球的直径
C.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
D.以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球
解析：选AC.A.球的半径是球面上任意一点与球心的连线，A正确；B.只有两点的连线经过球心时才是直径，B错误；C.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，C正确；D.以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，D错误．
2．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.
解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r＝6，
其中∠ABO＝30°，所以该地球仪的半径R＝＝4(cm).
答案：4
知识点五 简单组合体的结构特征
1．概念
由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
2．构成形式
有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．
观察下列几何体的结构特点，完成以下问题．
(1)图①所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出旋转180°后能得到几何体①的几何图形；
(2)图②所示几何体结构特点是什么？试画出旋转360°后能得到几何体②的几何图形；
(3)图③所示几何体是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面数、棱数、顶点数．
【解】 (1)题图①是由圆锥和圆台组合而成的．可旋转解析图①180°得到几何体①.
(2)题图②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心而成的．可旋转解析图②360°得到几何体②.
(3)题图③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成的，且四棱锥的底面与四棱柱的底面相同．共有9个面，16条棱，9个顶点．
旋转体形状的判断方法
(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．
(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．
下列组合体是由哪些几何体组成的？
解：(1)由两个几何体组合而成，分别为球、圆柱．
(2)由三个几何体组合而成，分别为圆柱、圆台、圆柱．
(3)由三个几何体组合而成，分别为圆锥、圆柱、圆台．
考点 旋转体中的计算问题
如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．
【解】 设圆台的母线长为l cm，
由截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，
可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示，
则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.
所以＝，所以＝＝.
解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9 cm.
解决旋转体中计算问题的方法策略
(1)巧用轴截面实现空间图形平面化：旋转体中有关底面半径、母线、高以及有关球的问题的计算，可巧用轴截面求解，即将立体问题转化为平面问题．
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解即可．
一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径OB是10，水面宽AB是16.则截面水深CD是( )
A.3 B．4
C．5 D．6
解析：选B.由题意知OD⊥AB，交AB于点C，因为AB＝16，所以BC＝AB＝×16＝8，在Rt△OBC中，因为OB＝10，BC＝8，所以OC＝＝＝6，所以CD＝OD－OC＝10－6＝4.故选B.
1.下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球 D．圆台
解析：选C.圆柱的轴截面是矩形面，圆锥的轴截面是三角形面，球的轴截面是圆面，圆台的轴截面是等腰梯形面．故选C.
2．圆锥的母线长为10，底面半径为6，则其高等于( )
A.6 B．8
C．10 D．不确定
解析：选B.由圆锥的轴截面可知，圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形，所以其高为＝8.故选B.
3．(多选)下列说法，正确的是( )
A.圆柱的母线与它的轴可以不平行
B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形
C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D.圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的
解析：选BD.由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知B，D正确，A，C错误．
4.
如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？
解：画出形成的几何体如图所示．
由图可知，旋转得到的几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的．
[A 基础达标]
1．如图所示的组合体，其结构特征是( )
A.左边是三棱台，右边是圆柱
B.左边是三棱柱，右边是圆柱
C.左边是三棱台，右边是长方体
D.左边是三棱柱，右边是长方体
解析：选D.根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．
2．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面(过圆柱的轴作截面)的面积为( )
A.2π B．π
C．2 D．1
解析：选C.因为该正方形旋转一周所得圆柱的高为1，底面的半径为1，所以圆柱的轴截面的面积为1×(2×1)＝2，故选C.
3．如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )
解析：选B.这个几何体由上到下可分为3部分，分别是圆锥、圆台、圆柱，故选B.
4．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )
A.①② B．①③
C．①④ D．①⑤
解析：选D.该几何体的轴截面是①，当竖直的截面不经过轴时，截面图形为⑤，故选D.
5．(多选)下列命题中正确的是( )
A.过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆
B.球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径
C.用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面
D.球是与定点的距离等于定长的所有点的集合
解析：选BC.对于A中，当过球的直径的两个端点，可以作无数个过球心的圆，所以A错误；对于B中，根据球的定义知，过球心的截面圆为大圆，两个大圆的交线必为球的直径，所以B正确；对于C中，根据球的截面圆的性质，可得用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面，所以C正确；对于D中，根据球的定义，球是在空间中与定点的距离等于或小于定长的所有点的集合，所以D错误．故选BC.
6．观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________．(填序号)
解析：①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成．
答案：①④
7．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是____________．
解析：
如图，正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周形成的几何体是两个同底的圆锥形成的组合体．
答案：两个同底的圆锥组合体
8．一个半径为2的半球，现过半球底面的中心作一个与底面成90°的截面，则此截面的面积为________．
解析：过半球底面的中心作一个与底面成90°的截面，截面是半圆面，半径为2，所以其面积为π×22＝2π.
答案：2π
9．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．
解：(1)几何体是由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．
(2)几何体是由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．
[B 能力提升]
10．(多选)对如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是( )
A.由一个长方体割去一个四棱柱所构成的
B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成的
C.由一个长方体挖去一个四棱台所构成的
D.由一个长方体与两个四棱台组合而成的
解析：选AB.如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成，如下图所示：
11．一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为________．
解析：由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形ABCD，其中上底长为2，下底长为8，腰长为5，如图所示，作CE⊥AB于点E，则CE为圆台的高，所以高|CE|＝ ＝4.
答案：4
12．已知球O的半径为5，球内一点M到球心O的距离为4，过点M的平面截球的截面面积为S，则S的最小值为________．
解析：设球的半径为R，截面面积最小的半径为r，由题意可得r2≥R2－OM2，所以当OM垂直于截面时，截面的半径最小，即截面的面积最小，由r2＝R2－OM2＝25－16＝9，所以截面的面积的最小值为S＝πr2＝9π.
答案：9π
13．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．
解：
如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°.在Rt△SOA中，AO＝SO·tan 30°＝(cm).
SA＝＝＝(cm).
所以S△ASB＝SO·2AO＝(cm2).
所以圆锥的母线长为cm，圆锥的轴截面的面积为cm2.
[C 拓展冲刺]
14.
如图，一个圆柱的底面半径为，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的半径为( )
A.2 B．4
C. D．
解析：选A.根据题意，画图如下，则OA＝R，O′A＝r＝，OO′＝＝1，故在Rt△OO′A中，OA＝＝＝2，所以R＝2，故选A.
15．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.
(1)若OA＝1，求圆M的面积；
(2)若圆M的面积为3π，求OA.
解：(1)若OA＝1，则OM＝，
故圆M的半径r＝＝＝，
所以圆M的面积S＝πr2＝π.
(2)因为圆M的面积为3π，
所以圆M的半径r＝，
则OA2＝＋3，
所以OA2＝3，所以OA2＝4，
所以OA＝2.
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第2课时 旋转体与简单组合体
第八章 立体几何初步
01
必备知识 落实
知识点一 圆柱的结构特征
圆柱及相关概念 图形及表示
定义 以_____的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 用表示它的轴的字母表示
图中圆柱记作：圆柱O′O
矩形
圆柱及相关概念 图形及表示
相关 概念 轴：________叫做圆柱的轴 底面：_____于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面 侧面：_____于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面 母线：无论旋转到什么位置，_____于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 用表示它的轴的字母表示
图中圆柱记作：圆柱O′O
旋转轴
垂直
平行
平行
1．矩形的两相邻边长分别为3 cm和4 cm，以一边所在的直线为轴旋转，则所形成的圆柱的底面积为________________．
解析：当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4 cm，底面积为16π cm2；当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3 cm，底面积为9π cm2.
16π cm2或9π cm2
2．如图，在圆柱中任取不重合的两条母线，如AB，CD，它们有何关系？
解：由题意得AB綉CD.
知识点二 圆锥的结构特征
圆锥及相关概念 图形及表示
定义 以直角三角形的一条________所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 用表示它的轴的字母表示
图中圆锥记作：_________
直角边
圆锥SO
圆锥及相关概念 图形及表示
相关 概念 轴：________叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的_____叫做圆锥的底面 侧面：直角三角形的___边旋转而成的_____叫做圆锥的侧面 母线：无论旋转到什么位置，_____________的边都叫做圆锥侧面的母线 用表示它的轴的字母表示
图中圆锥记作：_________
圆锥SO
旋转轴
圆面
斜
曲面
不垂直于轴
2
2．以Rt△ABC任一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体就是圆锥，这句话对吗？
答案：不对．必须以直角边所在直线为轴．若以斜边所在直线为轴，形成的是同底面的两个圆锥组成的几何体．
知识点三 圆台的结构特征
圆台及相关概念 图形及表示
定义 用_____于圆锥底面的平面去截圆锥，_____与截面之间的部分叫做圆台； 以直角梯形中__________________所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台 用表示它的轴的字母表示
图中圆台记作：____________
平行
底面
垂直于底边的腰
圆台O′O
圆台及相关概念 图形及表示
相关 概念 轴：旋转轴叫做圆台的轴 底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的_____叫做圆台的底面 侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的_____叫做圆台的侧面 母线：无论旋转到什么位置，_____________的边叫做圆台的母线 用表示它的轴的字母表示
图中圆台记作：____________
圆台O′O
圆面
曲面
不垂直于轴
下列命题正确的是________．(填序号)
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
③以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥．
【解析】 ①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；②它们的底面为圆面；③正确．
③
(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线．
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
(多选)下列说法中，正确的是( )
A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B.用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台
C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面
D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
√
√
√
解析：对于A，圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个，为2rl，A正确；
对于B，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台，B错误；
对于C，圆台的所有平行于底面的截面都是圆面，C正确；
对于D，圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形，D正确．
知识点四 球的结构特征
球及相关概念 图形及表示
定义 半圆以它的_____所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 用表示球心的字母表示
图中的球记作：_____
相关 概念 球心：半圆的_____叫做球的球心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径 直径：连接球面上两点并且经过_____的线段叫做球的直径 直径
球O
圆心
球心
1．(多选)下列说法正确的是( )
A.球的半径是球面上任意一点与球心的连线
B.球面上任意两点的连线是球的直径
C.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
D.以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球
√
√
解析：A.球的半径是球面上任意一点与球心的连线，A正确；
B.只有两点的连线经过球心时才是直径，B错误；
C.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，C正确；
D.以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，D错误．
2．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.
解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，
则该小圆的半径r＝6，
知识点五 简单组合体的结构特征
1．概念
由_____________组合而成的几何体叫做简单组合体．
2．构成形式
有两种基本形式：一种是由简单几何体_____而成的；另一种是由简单几何体_____________一部分而成的．
简单几何体
拼接
截去或挖去
观察下列几何体的结构特点，完成以下问题．
(1)图①所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出旋转180°后能得到几何体①的几何图形；
【解】 题图①是由圆锥和圆台组合而成的．可旋转解析图①180°得到几何体①.
(2)图②所示几何体结构特点是什么？试画出旋转360°后能得到几何体②的几何图形；
【解】 题图②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心而成的．可旋转解析图②360°得到几何体②.
(3)图③所示几何体是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面数、棱数、顶点数．
【解】 题图③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成的，且四棱锥的底面与四棱柱的底面相同．共有9个面，16条棱，9个顶点．
旋转体形状的判断方法
(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．
(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．
下列组合体是由哪些几何体组成的？
解：(1)由两个几何体组合而成，分别为球、圆柱．
(2)由三个几何体组合而成，分别为圆柱、圆台、圆柱．
(3)由三个几何体组合而成，分别为圆锥、圆柱、圆台．
02
关键能力 提升
考点 旋转体中的计算问题
如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．
解决旋转体中计算问题的方法策略
(1)巧用轴截面实现空间图形平面化：旋转体中有关底面半径、母线、高以及有关球的问题的计算，可巧用轴截面求解，即将立体问题转化为平面问题．
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解即可．
一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径OB是10，水面宽AB是16.则截面水深CD是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
√
03
课堂巩固 自测
√
1.下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球 D．圆台
解析：圆柱的轴截面是矩形面，圆锥的轴截面是三角形面，球的轴截面是圆面，圆台的轴截面是等腰梯形面．故选C.
1
2
3
4
√
2．圆锥的母线长为10，底面半径为6，则其高等于( )
A．6 B．8
C．10 D．不确定
解析：由圆锥的轴截面可知，圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形，所以其高为 ＝8.故选B.
1
2
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√
3．(多选)下列说法，正确的是( )
A．圆柱的母线与它的轴可以不平行
B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形
C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D.圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的
解析：由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知B，D正确，A，C错误．
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√
4.如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？
解：画出形成的几何体如图所示．
由图可知，旋转得到的几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的．
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课后达标 检测
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[A 基础达标]
1．如图所示的组合体，其结构特征是( )
A.左边是三棱台，右边是圆柱
B.左边是三棱柱，右边是圆柱
C.左边是三棱台，右边是长方体
D.左边是三棱柱，右边是长方体
解析：根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．
√
12
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2．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面(过圆柱的轴作截面)的面积为( )
A．2π B．π
C．2 D．1
解析：因为该正方形旋转一周所得圆柱的高为1，底面的半径为1，所以圆柱的轴截面的面积为1×(2×1)＝2，故选C.
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3．如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )
解析：这个几何体由上到下可分为3部分，分别是圆锥、圆台、圆柱，故选B.
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√
4．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．①⑤
解析：该几何体的轴截面是①，当竖直的截面不经过轴时，截面图形为⑤，故选D.
√
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5．(多选)下列命题中正确的是( )
A.过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆
B.球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径
C.用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面
D.球是与定点的距离等于定长的所有点的集合
√
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解析：对于A中，当过球的直径的两个端点，可以作无数个过球心的圆，所以A错误；
对于B中，根据球的定义知，过球心的截面圆为大圆，两个大圆的交线必为球的直径，所以B正确；
对于C中，根据球的截面圆的性质，可得用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面，所以C正确；
对于D中，根据球的定义，球是在空间中与定点的距离等于或小于定长的所有点的集合，所以D错误．故选BC.
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6．观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________．(填序号)
解析：①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成．
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①④
7．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是_____________________．
解析：
如图，正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周形成的几何体是两个同底的圆锥形成的组合体．
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两个同底的圆锥组合体
8．一个半径为2的半球，现过半球底面的中心作一个与底面成90°的截面，则此截面的面积为________．
解析：过半球底面的中心作一个与底面成90°的截面，截面是半圆面，半径为2，所以其面积为 π×22＝2π.
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2π
9．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．
解：(1)几何体是由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．
(2)几何体是由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．
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[B 能力提升]
10．(多选)对如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是( )
A.由一个长方体割去一个四棱柱所构成的
B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成的
C.由一个长方体挖去一个四棱台所构成的
D.由一个长方体与两个四棱台组合而成的
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解析：如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成，如下图所示：
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11．一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为________．
解析：由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形AB-CD，其中上底长为2，下底长为8，腰长为5，如图所示，作CE⊥AB于点E，则CE为圆台的高，所以高|CE|＝
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12．已知球O的半径为5，球内一点M到球心O的距离为4，过点M的平面截球的截面面积为S，则S的最小值为________．
解析：设球的半径为R，截面面积最小的半径为r，由题意可得r2≥R2－OM2，所以当OM垂直于截面时，截面的半径最小，即截面的面积最小，由r2＝R2－OM2＝25－16＝9，所以截面的面积的最小值为S＝πr2＝9π.
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第2课时 旋转体与简单组合体
知识点一 圆柱的结构特征
圆柱及相关概念 图形及表示
定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 用表示它的轴的字母表示 图中圆柱记作：圆柱O′O
相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面 母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
1．矩形的两相邻边长分别为3 cm和4 cm，以一边所在的直线为轴旋转，则所形成的圆柱的底面积为________．
2．如图，在圆柱中任取不重合的两条母线，如AB，CD，它们有何关系？
知识点二 圆锥的结构特征
圆锥及相关概念 图形及表示
定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 用表示它的轴的字母表示 图中圆锥记作：圆锥SO
相关 概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线
1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．
2．以Rt△ABC任一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体就是圆锥，这句话对吗？
知识点三 圆台的结构特征
圆台及相关概念 图形及表示
定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台； 以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台 用表示它的轴的字母表示 图中圆台记作：圆台O′O
相关 概念 轴：旋转轴叫做圆台的轴 底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面叫做圆台的底面 侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面叫做圆台的侧面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆台的母线
下列命题正确的是________．(填序号)
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
③以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥．
(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线．
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
(多选)下列说法中，正确的是( )
A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B.用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台
C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面
D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
知识点四 球的结构特征
球及相关概念 图形及表示
定义 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 用表示球心的字母表示 图中的球记作：球O
相关 概念 球心：半圆的圆心叫做球的球心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径 直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径
1．(多选)下列说法正确的是( )
A.球的半径是球面上任意一点与球心的连线
B.球面上任意两点的连线是球的直径
C.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
D.以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球
2．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.
知识点五 简单组合体的结构特征
1．概念
由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
2．构成形式
有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．
观察下列几何体的结构特点，完成以下问题．
(1)图①所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出旋转180°后能得到几何体①的几何图形；
(2)图②所示几何体结构特点是什么？试画出旋转360°后能得到几何体②的几何图形；
(3)图③所示几何体是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面数、棱数、顶点数．
旋转体形状的判断方法
(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．
(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．
下列组合体是由哪些几何体组成的？
考点 旋转体中的计算问题
如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．
解决旋转体中计算问题的方法策略
(1)巧用轴截面实现空间图形平面化：旋转体中有关底面半径、母线、高以及有关球的问题的计算，可巧用轴截面求解，即将立体问题转化为平面问题．
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解即可．
一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径OB是10，水面宽AB是16.则截面水深CD是( )
A.3 B．4
C．5 D．6
1.下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球 D．圆台
2．圆锥的母线长为10，底面半径为6，则其高等于( )
A.6 B．8
C．10 D．不确定
3．(多选)下列说法，正确的是( )
A.圆柱的母线与它的轴可以不平行
B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形
C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D.圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的
4.
如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？
[A 基础达标]
1．如图所示的组合体，其结构特征是( )
A.左边是三棱台，右边是圆柱
B.左边是三棱柱，右边是圆柱
C.左边是三棱台，右边是长方体
D.左边是三棱柱，右边是长方体
2．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面(过圆柱的轴作截面)的面积为( )
A.2π B．π
C．2 D．1
3．如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )
4．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )
A.①② B．①③
C．①④ D．①⑤
5．(多选)下列命题中正确的是( )
A.过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆
B.球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径
C.用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面
D.球是与定点的距离等于定长的所有点的集合
6．观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________．(填序号)
7．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是____________．
8．一个半径为2的半球，现过半球底面的中心作一个与底面成90°的截面，则此截面的面积为________．
9．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．
[B 能力提升]
10．(多选)对如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是( )
A.由一个长方体割去一个四棱柱所构成的
B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成的
C.由一个长方体挖去一个四棱台所构成的
D.由一个长方体与两个四棱台组合而成的
11．一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为________．
12．已知球O的半径为5，球内一点M到球心O的距离为4，过点M的平面截球的截面面积为S，则S的最小值为________．
13．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．
[C 拓展冲刺]
14.
如图，一个圆柱的底面半径为，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的半径为( )
A.2 B．4
C. D．
15．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.
(1)若OA＝1，求圆M的面积；
(2)若圆M的面积为3π，求OA.
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