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8．2 立体图形的直观图
学习指导 核心素养
能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图． 1.数学抽象：斜二测画法的概念及步骤． 2．直观想象：利用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．
知识点一 斜二测画法
1．直观图的概念
把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．
2．斜二测画法的步骤
斜二测画法中，“斜”是指把直角坐标系xOy变为斜坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)；“二测”是指画直观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半．
画水平放置的直角梯形(如图所示)的直观图．
【解】 (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．
(2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.
(3)擦去辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
关于斜二测画法作图
(1)首先在原图中建立直角坐标系，一般采用对称建系，或尽可能将图形中的边、顶点落在坐标轴上．
(2)建立斜二测坐标系，先作坐标轴上的点、与坐标轴平行的线段，原则是“横不变、纵减半”．
(3)对于不与坐标轴平行的线段，可通过在原图中作辅助线的方法确定在直观图中的位置．
用斜二测画法画边长为4 cm 的水平放置的正三角形(如图所示)的直观图．
解：(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA＝ cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．
知识点二 空间几何体直观图的画法
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变．
画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图．
【解】 (1)画轴，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，
使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图①.
(2)画底面．以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB＝1.2 cm，EF＝0.6 cm.
(3)画顶点．在z轴上截取OP，使OP＝1.5 cm.
(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.
空间几何体的直观图的画法
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出．
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向．
(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．
用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD A′B′C′D′的直观图．
解：(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．
考点 直观图的还原与计算
如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________，其面积为________．
【解析】
如图，在原图形OABC中，
应有OD＝2O′D′＝2×2
＝4(cm)，
CD＝C′D′＝2 cm，
所以OC＝＝＝6(cm)，
所以OA＝OC＝BC＝AB，
故四边形OABC是菱形．
S四边形OABC＝OA×OD＝6×4＝24(cm2).
【答案】 菱形 24 cm2
(1)直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
(2)直观图与原图形面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为( )
A．a2 B．a2
C.a2 D．a2
解析：选D.如图①②所示，分别为正三角形ABC的实际图形和直观图．
由②可知，B′C′＝BC＝a，O′A′＝OA＝a，在图②中作A′D′⊥B′C′于点D′，则A′D′＝O′A′＝a.所以S△A′B′C′＝B′C′·A′D′＝×a×a＝a2.
1.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成( )
A．平行于z轴且大小为10 cm
B.平行于z轴且大小为5 cm
C.与z轴成45°且大小为10 cm
D.与z轴成45°且大小为5 cm
解析：选A.平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．
2．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴，y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是( )
A.等腰三角形 B．钝角三角形
C.等腰直角三角形 D．直角三角形
解析：选D.因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x′O′y′＝45°，A′B′＝A′C′，且A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形．
3．如图，在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标中原四边形OABC为__________(填形状)，面积为____________cm2.
解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，且OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2).
答案：矩形 8
4.
如图所示，在△ABC中，AC＝12 cm，AC边上的高BD＝12 cm.画出水平放置的△ABC的直观图．
解：(1)以D为原点，AC所在直线为x轴，
DB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①，
(2)画出对应的x′，y′轴，使其∠x′D′y′＝45°，
在x′轴上取点A′，C′，使D′A′＝DA，D′C′＝DC，
在y′轴上取点B′，使D′B′＝DB，
连接A′B′，C′B′，
则△A′B′C′即为△ABC的直观图，如图②.
[A 基础达标]
1．(多选)利用斜二测画法画平面图形的直观图时，下列说法正确的是( )
A．三角形的直观图是三角形
B.平行四边形的直观图是平行四边形
C.正方形的直观图是正方形
D.菱形的直观图是菱形
解析：选AB.根据斜二测画法的规则，线段的平行性不变，相交的线段仍然相交，所以A、B正确，相等的线段在直观图中不一定相等，所以C、D错误．
2．水平放置的平面四边形ABCD的斜二测直观图为一个边长为4，其中一个夹角为45°的菱形，则四边形ABCD的实际周长为( )
A.16 B．20
C．24 D．28
解析：选C.根据斜二测画法可知，平面四边形ABCD是一个长为8，宽为4的矩形，所以四边形ABCD的实际周长为4＋8＋4＋8＝24.故选C.
3.
如图所示为水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，点B′到x′轴的距离为( )
A. B．
C．1 D．
解析：选B.因为BC垂直于x轴，所以在直观图中B′C′的长度是1，且与x′轴的夹角是45°.所以B′到x′轴的距离是.
4.
利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形(如图所示)，则原图形的形状是( )
解析：选A.直观图中正方形的对角线为，原图形的高为2，只有A项满足条件，故A正确．
5．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴，y轴，则在直观图中∠A′等于( )
A.45° B．135°
C.90° D．45°或135°
解析：选D.因∠A的两边分别平行于x轴，y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.
6．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A.2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
解析：选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点之间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm，故选D.
7．在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为__________．
解析：由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4，2).
答案：(4，2)
8．给出下列说法：
①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；
②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；
③不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；
④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．
其中说法正确的是________．(填序号)
解析：对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上或与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则；对于②，水平放置的正三角形的直观图可能是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于③，只要坐标系选取的恰当，不等边三角形的水平放置的直观图可以是等边三角形．④正确．
答案：④
9．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的长度为________．
解析：在直观图中，A′C′＝3，B′C′＝2，所以在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，C为直角，所以AB＝＝5，AB边上的中线的长度为AB＝.
答案：
10.
用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图．
解：(1)画x′轴，y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上取点H，使O′H＝3，作HA′∥y′轴，并取A′H＝1(A′在x′轴下方)，在y′轴正半轴上取点C′，使O′C′＝1，在x′轴正半轴上取点B′，使O′B′＝4，顺次连接O′，A′，B′，C′，如图①所示．
(3)擦去作为辅助线的坐标轴、线段A′H、点H，便得到四边形OABC的直观图O′A′B′C′，如图②所示．
[B 能力提升]
11．下列选项中的△ABC均是水平放置的边长为1的正三角形，在斜二测画法下，其直观图不是全等三角形的一组是( )
解析：选C.C中，前者在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB不变，高变为原来的，后者在斜二测画法下所得的直观图中，高OC不变，底边AB变为原来的，故C中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等．
12．一个菱形的边长为4 cm，一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为( )
A.8 cm2 B．4 cm2
C.2 cm2 D． cm2
解析：选C.由条件可知，较长的对角线的长度是＝4 cm，较短的对角线的长度是＝4 cm，则菱形直观图的面积S＝×4×4×＝2 (cm2)，故选C.
13.
(多选)水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一个( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.三边互不相等的三角形
D.面积为的三角形
解析：选AD.由题中图形知，在原△ABC中，AO⊥BC.因为A′O′＝，所以AO＝.因为B′O′＝C′O′＝1，所以BC＝2，AB＝AC＝2，所以△ABC为等边三角形．所以△ABC的面积为×2×＝.故选AD.
14．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图．
解：(1)如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的两底面．以O为中点，在x轴上取线段AB，使AB＝3 cm，利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点．这个椭圆就是圆柱的下底面．在z轴上截取OO′，使OO′＝3 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，类似下底面的作法作出圆柱的上底面．
(3)画圆锥的顶点．在z轴上画出点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
(4)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.
[C 拓展冲刺]
15．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长为________cm，宽为________cm，建筑物的高为________cm.
解析：由比例可知长方体的长、宽、高分别为4 cm，1 cm，2 cm，四棱锥的高为1.6 cm，所以长方体的直观图的长、宽、高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，四棱锥的直观图的高为1.6 cm.所以直观图中建筑物的高为2＋1.6＝3.6(cm).
答案：4 0.5 3.6
16．如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．
解：画出平面直角坐标系xOy，使点A与原点O重合，在x轴上取点C，使AC＝，再在y轴上取点D，使AD＝2，取AC的中点E，连接DE并延长至点B，使DE＝EB，连接DC，CB，BA，则四边形ABCD为正方形A′B′C′D′的原图形，如图所示．
易知四边形ABCD为平行四边形．
因为AD＝2，AC＝，
所以S ABCD＝2×＝2，即原图形的面积为2.
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8．2 立体图形的直观图
学习指导 核心素养
能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图． 1.数学抽象：斜二测画法的概念及步骤． 2．直观想象：利用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．
知识点一 斜二测画法
1．直观图的概念
把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．
2．斜二测画法的步骤
斜二测画法中，“斜”是指把直角坐标系xOy变为斜坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)；“二测”是指画直观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半．
画水平放置的直角梯形(如图所示)的直观图．
关于斜二测画法作图
(1)首先在原图中建立直角坐标系，一般采用对称建系，或尽可能将图形中的边、顶点落在坐标轴上．
(2)建立斜二测坐标系，先作坐标轴上的点、与坐标轴平行的线段，原则是“横不变、纵减半”．
(3)对于不与坐标轴平行的线段，可通过在原图中作辅助线的方法确定在直观图中的位置．
用斜二测画法画边长为4 cm 的水平放置的正三角形(如图所示)的直观图．
知识点二 空间几何体直观图的画法
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变．
画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图．
空间几何体的直观图的画法
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出．
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向．
(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．
用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD A′B′C′D′的直观图．
考点 直观图的还原与计算
如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________，其面积为________．
(1)直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
(2)直观图与原图形面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为( )
A．a2 B．a2
C.a2 D．a2
1.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成( )
A．平行于z轴且大小为10 cm
B.平行于z轴且大小为5 cm
C.与z轴成45°且大小为10 cm
D.与z轴成45°且大小为5 cm
2．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴，y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是( )
A.等腰三角形 B．钝角三角形
C.等腰直角三角形 D．直角三角形
3．如图，在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标中原四边形OABC为__________(填形状)，面积为____________cm2.
4.
如图所示，在△ABC中，AC＝12 cm，AC边上的高BD＝12 cm.画出水平放置的△ABC的直观图．
[A 基础达标]
1．(多选)利用斜二测画法画平面图形的直观图时，下列说法正确的是( )
A．三角形的直观图是三角形
B.平行四边形的直观图是平行四边形
C.正方形的直观图是正方形
D.菱形的直观图是菱形
2．水平放置的平面四边形ABCD的斜二测直观图为一个边长为4，其中一个夹角为45°的菱形，则四边形ABCD的实际周长为( )
A.16 B．20
C．24 D．28
3.
如图所示为水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，点B′到x′轴的距离为( )
A. B．
C．1 D．
4.
利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形(如图所示)，则原图形的形状是( )
5．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴，y轴，则在直观图中∠A′等于( )
A.45° B．135°
C.90° D．45°或135°
6．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A.2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
7．在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为__________．
8．给出下列说法：
①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；
②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；
③不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；
④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．
其中说法正确的是________．(填序号)
9．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的长度为________．
10.
用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图．
[B 能力提升]
11．下列选项中的△ABC均是水平放置的边长为1的正三角形，在斜二测画法下，其直观图不是全等三角形的一组是( )
12．一个菱形的边长为4 cm，一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为( )
A.8 cm2 B．4 cm2
C.2 cm2 D． cm2
13.
(多选)水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一个( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.三边互不相等的三角形
D.面积为的三角形
14．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图．
[C 拓展冲刺]
15．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长为________cm，宽为________cm，建筑物的高为________cm.
16．如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．
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8．2 立体图形的直观图
第八章 立体几何初步
学习指导l 核心素养
能用斜二测画法画出简单空间图形 (长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图． 1.数学抽象：斜二测画法的概念及步骤．
2．直观想象：利用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．
01
必备知识 落实
知识点一 斜二测画法
1．直观图的概念
把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．
2．斜二测画法的步骤
斜二测画法中，“斜”是指把直角坐标系xOy变为斜坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)；“二测”是指画直观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半．
画水平放置的直角梯形(如图所示)的直观图．
【解】 (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．
(2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝ OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.
(3)擦去辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
关于斜二测画法作图
(1)首先在原图中建立直角坐标系，一般采用对称建系，或尽可能将图形中的边、顶点落在坐标轴上．
(2)建立斜二测坐标系，先作坐标轴上的点、与坐标轴平行的线段，原则是“横不变、纵减半”．
(3)对于不与坐标轴平行的线段，可通过在原图中作辅助线的方法确定在直观图中的位置．
用斜二测画法画边长为4 cm 的水平放置的正三角形
(如图所示)的直观图．
解：(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
知识点二 空间几何体直观图的画法
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都_____的z轴，并且使平行于z轴的线段的________和_____都不变．
垂直
平行性
长度
画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图．
【解】 (1)画轴，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，
使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图①.
(2)画底面．以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB＝1.2 cm，EF＝0.6 cm.
(3)画顶点．在z轴上截取OP，使OP＝1.5 cm.
(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.
空间几何体的直观图的画法
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出．
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向．
(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．
用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图．
解：(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．
02
关键能力 提升
考点 直观图的还原与计算
如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________，其面积为________．
菱形
(1)直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
√
03
课堂巩固 自测
√
1.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成( )
A.平行于z轴且大小为10 cm
B.平行于z轴且大小为5 cm
C.与z轴成45°且大小为10 cm
D.与z轴成45°且大小为5 cm
解析：平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．
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2．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴，y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是( )
A．等腰三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
解析：因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x′O′y′＝45°，A′B′＝A′C′，且A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形．
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3．如图，在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标中原四边形OABC为__________(填形状)，面积为____________cm2.
解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，且OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2).
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矩形
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4.如图所示，在△ABC中，AC＝12 cm，AC边上的高BD＝12 cm.画出水平放置的△ABC的直观图．
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解：(1)以D为原点，AC所在直线为x轴，
DB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①，
(2)画出对应的x′，y′轴，使其∠x′D′y′＝45°，
在x′轴上取点A′，C′，使D′A′＝DA，D′C′＝DC，
在y′轴上取点B′，使D′B′＝ DB，
连接A′B′，C′B′，
则△A′B′C′即为△ABC的直观图，如图②.
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04
课后达标 检测
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[A 基础达标]
1．(多选)利用斜二测画法画平面图形的直观图时,下列说法正确的是( )
A.三角形的直观图是三角形
B.平行四边形的直观图是平行四边形
C.正方形的直观图是正方形
D.菱形的直观图是菱形
解析：根据斜二测画法的规则，线段的平行性不变，相交的线段仍然相交，所以A、B正确,
相等的线段在直观图中不一定相等，所以C、D错误．
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2．水平放置的平面四边形ABCD的斜二测直观图为一个边长为4，其中一个夹角为45°的菱形，则四边形ABCD的实际周长为( )
A．16 B．20
C．24 D．28
解析：根据斜二测画法可知，平面四边形ABCD是一个长为8，宽为4的矩形，所以四边形ABCD的实际周长为4＋8＋4＋8＝24.故选C.
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4.利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形(如图所示)，则原图形的形状是( )
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5．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴，y轴，则在直观图中∠A′等于( )
A．45° B．135°
C． 90° D．45°或135°
解析：因∠A的两边分别平行于x轴，y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.
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6．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
解析：圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点之间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm，故选D.
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7．在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为__________．
解析：由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4，2).
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(4，2)
8．给出下列说法：
①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；
②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；
③不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；
④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．
其中说法正确的是________．(填序号)
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④
解析：对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上或与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则；对于②，水平放置的正三角形的直观图可能是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于③，只要坐标系选取的恰当，不等边三角形的水平放置的直观图可以是等边三角形．④正确．
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10.用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图．
解：(1)画x′轴，y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上取点H，使O′H＝3，作HA′∥y′轴，并取A′H＝1(A′在x′轴下方)，在y′轴正半轴上取点C′，使O′C′＝1，在x′轴正半轴上取点B′，使O′B′＝4，顺次连接O′，A′，B′，C′，如图①所示．
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(3)擦去作为辅助线的坐标轴、线段A′H、点H，便得到四边形OABC的直观图O′A′B′C′，如图②所示．
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[B 能力提升]
11．下列选项中的△ABC均是水平放置的边长为1的正三角形，在斜二测画法下，其直观图不是全等三角形的一组是( )
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14．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图．
解：(1)如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的两底面．以O为中点，在x轴上取线段AB，使AB＝3 cm，利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点．这个椭圆就是圆柱的下底面．在z轴上截取OO′，使OO′＝3 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，类似下底面的作法作出圆柱的上底面．
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(3)画圆锥的顶点．在z轴上画出点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
(4)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.
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[C 拓展冲刺]
15．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长为________cm，宽为________cm，建筑物的高为________cm.
解析：由比例可知长方体的长、宽、高分别为4 cm，1 cm，2 cm，四棱锥的高为1.6 cm，所以长方体的直观图的长、宽、高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，四棱锥的直观图的高为1.6 cm.所以直观图中建筑物的高为2＋1.6＝3.6(cm).
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3.6
16．如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．
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