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8．3 简单几何体的表面积与体积
8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
学习指导 核心素养
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式． 2．能用公式解决简单的实际问题． 数学运算：利用公式计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积．
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
已知正四棱台(上、下底面是正方形，上底面的中心在下底面的射影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．
【解】
如图，在正四棱台ABCD A1B1C1D1中，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12.连接OE，O1E1，E1E，
则OE＝AB＝×12＝6，
O1E1＝A1B1＝×6＝3.
过点E1作E1H⊥OE，垂足为H，
则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，
HE＝OE－OH＝6－3＝3.
在Rt△E1HE中，
E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17，
所以E1E＝3.
所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E
＝2×(6＋12)×3＝108.
(1)多面体的侧面积
①棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长．
②棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼接而成的，则侧面积为各个三角形面积的和．
③棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的和．
(2)多面体的表面积
①棱柱的表面积S表＝S侧＋2S底．
②棱锥的表面积S表＝S侧＋S底．
③棱台的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底．
1．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的底面边长为8，高为5，则该直四棱柱的侧面积为________．
解析：直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.
答案：160
2．已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积．
解：因为四棱锥S ABCD的各棱长均为5，所以各侧面都是全等的正三角形．
设E为AB的中点，连接SE(图略)，则SE⊥AB，所以S侧＝4S△SAB＝4×AB×SE＝2×5×＝25，S表＝S侧＋S底＝25＋25＝25(＋1).
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高
棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥的高
棱台 V棱台＝h(S′＋＋S) S′，S分别为棱台的上、下底面面积， h为棱台的高
如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．
(1)求三棱锥A A1BD的体积；
(2)求剩余部分的体积．
【解】 (1)因为V三棱锥A A1BD＝V三棱锥A1 ABD＝·S△ABD·A1A＝×·AB·AD·A1A＝a3.
(2)剩余部分的体积V＝V正方体ABCD A1B1C1D1－V三棱锥A1 ABD＝a3－a3＝a3.
求几何体体积的常用方法
1．若棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为( )
A．26 B．28
C．30 D．32
解析：选B.所求棱台的体积V＝×(4＋16＋)×3＝28.
2．一个正四棱锥的底面边长为3 cm，侧棱长为5 cm，则它的体积为________ cm3，表面积为________cm2.
解析：
如图，因为正四棱锥P ABCD的底面边长为3 cm，
所以S正方形ABCD＝18 cm2.
连接AC，BD，交于点O，连接PO，则PO⊥底面ABCD，OC＝AC＝×3×＝3(cm)，
又棱长PC＝5 cm，所以OP＝＝4(cm)，
所以V四棱锥P ABCD＝×18×4＝24(cm3).
取BC边的中点E，连接PE，则PE为等腰三角形PBC的高，在Rt△PBE中，PE＝＝＝(cm).
S侧＝4××3×＝6(cm2).
S表＝18＋6(cm2).
答案：24 18＋6
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( )
A．27 cm3 B．60 cm3
C.64 cm3 D．125 cm3
解析：选B.V长方体＝3×4×5＝60(cm3).
2．已知高为3的三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1 ABC的体积为( )
A. B．
C. D．
解析：选D.因为S△ABC＝×1×1×＝，
所以V三棱锥B1 ABC＝·S△ABC·AA1＝××3＝.
3．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm，求它的深度为________ cm.
解析：设油槽的上、下底面面积分别为S′，S.
由V＝(S＋＋S′)h，得h＝＝＝75(cm).
答案：75
4．若一个正六棱柱的底面边长为a，侧面对角线的长为2a，则它的表面积为________．
解析：正六棱柱的底面边长为a，所以正六棱柱的底面面积为S底＝，又侧面对角线的长为2a，所以侧棱长为a，则该正六棱柱的表面积为S表＝2S底＋S侧＝2×＋6a×a＝9a2.
答案：9a2
[A 基础达标]
1．正三棱锥的所有棱长均为a，则该三棱锥的表面积为( )
A．3a2 B．2a2
C.a2 D．4a2
解析：选C.S＝4××a×a＝a2.故选C.
2．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，四棱锥S ABCD的体积占正方体体积的( )
A. B．
C. D．不确定
解析：选B.令正方体棱长为a，则V正方体＝a3，
V四棱锥S ABCD＝×a2×a＝a3，
所以V四棱锥S ABCD＝V正方体．
3．一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为( )
A. B．2
C． D．3
解析：选B.设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为S，故二者的体积之比为＝＝＝2.
4．正四棱台上、下底面边长分别为2 cm，4 cm，侧棱长2 cm，则棱台的侧面积为( )
A.6 cm2 B．24 cm2
C.3 cm2 D．12 cm2
解析：选D.设a＝2 cm，b＝4 cm，l＝2 cm，可得正四棱台的斜高为h′＝＝＝(cm)，所以棱台的侧面积为S＝(4a＋4b)h′＝2×(2＋4)×＝12(cm2).故选D.
5.
已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC水平放置的直观图(斜二测画法)为△A′B′C′，其中O′A′＝O′B′＝O′C′＝1，则此三棱柱的表面积为( )
A.4＋4 B．8＋4
C.8＋4 D．8＋8
解析：选C.由斜二测画法的“三变”“三不变”可得底面平面图如图所示，其中OA＝2OB＝2OC＝2，所以AB＝AC＝，所以此三棱柱的表面积为S＝2××2×2＋(2＋2)×2＝8＋4.故选C.
6．(2022·高考全国卷乙)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A. B．
C. D．
解析：选C.不妨设四棱锥的底面是正方形，边长为a，底面正方形外接圆的半径为r，则r＝a，四棱锥的高h＝，所以四棱锥的体积V＝a2＝≤＝＝，当且仅当＝1－，即a2＝时等号成立，此时四棱锥的高h＝＝＝，故选C.
7．已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于________．
解析：因为直棱柱的底面周长为12，高为4，所以这个棱柱的侧面积为12×4＝48.
答案：48
8．如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为，则该正方体的边长为_________．
解析：设正方体边长为a，
则×a2×a＝，解得a＝2.
答案：2
9．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为________m3，侧面积为________m2.
解析：设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，
则2ah＝1，a＝1，解得a＝，h＝.
所以六棱柱的体积V＝××6×＝(m3)，
S侧＝6××＝3(m2).
答案： 3
10．在长方体ABCD A1B1C1D1中，截下一个三棱锥C A1DD1，求三棱锥C A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．
解：设矩形ADD1A1的面积为S，AB＝h，
所以V长方体ABCD A1B1C1D1＝V长方体ADD1A1－BCC1B1＝Sh，而三棱锥C A1DD1的底面积为S，高为h，
故三棱锥C A1DD1的体积为
V三棱锥C A1DD1＝×S×h＝Sh，
余下部分体积为Sh－Sh＝Sh.
所以三棱锥C A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
[B 能力提升]
11．(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两几何体的说法正确的是( )
A.侧面积之比为1∶4
B.侧面积之比为1∶8
C.体积之比为1∶27
D.体积之比为1∶26
解析：选BD.依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.
12．(多选)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是( )
A.正三棱锥高为3
B.正三棱锥的斜高为
C.正三棱锥的体积为
D.正三棱锥的侧面积为
解析：选ABD.如图，设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又PF＝＝，EF＝×＝，故PE＝＝3，故A，B正确．而正三棱锥的体积为×3××9＝，侧面积为3××3×＝，故C错误，D正确．故选ABD.
13.
有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为________．
解析：易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1，所以S表＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36.
所以该几何体的表面积为36.
答案：36
14．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积．
解：在四棱台ABCD A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F(图略)，在Rt△B1FB中，BF＝×(8－4)＝2，B1B＝8，故B1F＝＝2，所以S梯形BB1C1C＝×(8＋4)×2＝12，故四棱台的侧面积S侧＝4×12＝48，所以四棱台的表面积S表＝48＋4×4＋8×8＝80＋48.
[C 拓展冲刺]
15．现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图①，底面处于水平状态).将容器放倒(如图②，一个侧面处于水平状态).这时水面所在的平面EE1F1F与各棱的交点分别为其所在棱的中点，则图①中水面的高度为( )
A. B．2
C. D．
解析：选D.设正三棱柱的底面积为S，因为E，F，F1，E1分别为其所在棱的中点，所以＝，即S△AFE＝S，所以S四边形BCFE＝S，所以V四棱柱BCFE B1C1F1E1＝S×3＝S，所以图①中水面的高度为.故选D.
16．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍．若AB＝6 m，PO1＝2 m，求仓库的容积．
解：由PO1＝2 m，得OO1＝8 m，
则VP A1B1C1D1＝S四边形A1B1C1D1×PO1
＝×62×2＝24(m3)，
VABCD A1B1C1D1＝S四边形ABCD×OO1
＝62×8＝288(m3)，
V＝VP A1B1C1D1＋VABCD A1B1C1D1＝312 (m3)，
故仓库的容积为312 m3.
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8．3 简单几何体的表面积与体积
8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
学习指导 核心素养
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式． 2．能用公式解决简单的实际问题． 数学运算：利用公式计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积．
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
已知正四棱台(上、下底面是正方形，上底面的中心在下底面的射影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．
(1)多面体的侧面积
①棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长．
②棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼接而成的，则侧面积为各个三角形面积的和．
③棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的和．
(2)多面体的表面积
①棱柱的表面积S表＝S侧＋2S底．
②棱锥的表面积S表＝S侧＋S底．
③棱台的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底．
1．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的底面边长为8，高为5，则该直四棱柱的侧面积为________．
解析：直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.
答案：160
2．已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积．
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高
棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥的高
棱台 V棱台＝h(S′＋＋S) S′，S分别为棱台的上、下底面面积， h为棱台的高
如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．
(1)求三棱锥A A1BD的体积；
(2)求剩余部分的体积．
求几何体体积的常用方法
1．若棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为( )
A．26 B．28
C．30 D．32
2．一个正四棱锥的底面边长为3 cm，侧棱长为5 cm，则它的体积为________ cm3，表面积为________cm2.
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( )
A．27 cm3 B．60 cm3
C.64 cm3 D．125 cm3
2．已知高为3的三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1 ABC的体积为( )
A. B．
C. D．
3．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm，求它的深度为________ cm.
4．若一个正六棱柱的底面边长为a，侧面对角线的长为2a，则它的表面积为________．
[A 基础达标]
1．正三棱锥的所有棱长均为a，则该三棱锥的表面积为( )
A．3a2 B．2a2
C.a2 D．4a2
2．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，四棱锥S ABCD的体积占正方体体积的( )
A. B．
C. D．不确定
3．一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为( )
A. B．2
C． D．3
4．正四棱台上、下底面边长分别为2 cm，4 cm，侧棱长2 cm，则棱台的侧面积为( )
A.6 cm2 B．24 cm2
C.3 cm2 D．12 cm2
5.
已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC水平放置的直观图(斜二测画法)为△A′B′C′，其中O′A′＝O′B′＝O′C′＝1，则此三棱柱的表面积为( )
A.4＋4 B．8＋4
C.8＋4 D．8＋8
6．(2022·高考全国卷乙)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A. B．
C. D．
7．已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于________．
8．如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为，则该正方体的边长为_________．
9．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为________m3，侧面积为________m2.
10．在长方体ABCD A1B1C1D1中，截下一个三棱锥C A1DD1，求三棱锥C A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．
[B 能力提升]
11．(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两几何体的说法正确的是( )
A.侧面积之比为1∶4
B.侧面积之比为1∶8
C.体积之比为1∶27
D.体积之比为1∶26
12．(多选)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是( )
A.正三棱锥高为3
B.正三棱锥的斜高为
C.正三棱锥的体积为
D.正三棱锥的侧面积为
13.
有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为________．
14．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积．
[C 拓展冲刺]
15．现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图①，底面处于水平状态).将容器放倒(如图②，一个侧面处于水平状态).这时水面所在的平面EE1F1F与各棱的交点分别为其所在棱的中点，则图①中水面的高度为( )
A. B．2
C. D．
16．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍．若AB＝6 m，PO1＝2 m，求仓库的容积．
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8．3 简单几何体的表面积与体积
8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
第八章 立体几何初步
学习指导 核心素养
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式． 2．能用公式解决简单的实际问题． 数学运算：利用公式计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积．
01
必备知识 落实
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体________的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的________的面积的和．
各个面
各个面
已知正四棱台(上、下底面是正方形，上底面的中心在下底面的射影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．
【解】 如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12.连接OE，O1E1，E1E，
(1)多面体的侧面积
①棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长．
②棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼接而成的，则侧面积为各个三角形面积的和．
③棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的和．
(2)多面体的表面积
①棱柱的表面积S表＝S侧＋2S底．
②棱锥的表面积S表＝S侧＋S底．
③棱台的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底．
1．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的底面边长为8，高为5，则该直四棱柱的侧面积为________．
解析：直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.
160
2．已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S-ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积．
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
底面积
高
底面积
高
上、下底面
高
如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．
求几何体体积的常用方法
1．若棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为( )
A．26 B．28
C．30 D．32
√
24
02
课堂巩固 自测
√
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( )
A．27 cm3 B．60 cm3
C．64 cm3 D．125 cm3
解析：V长方体＝3×4×5＝60(cm3).
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课后达标 检测
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7．已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于________．
解析：因为直棱柱的底面周长为12，高为4，所以这个棱柱的侧面积为12×4＝48.
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10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，截下一个三棱锥C-A1DD1，求三棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．
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[B 能力提升]
11．(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两几何体的说法正确的是( )
A．侧面积之比为1∶4
B．侧面积之比为1∶8
C．体积之比为1∶27
D．体积之比为1∶26
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解析：依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.
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13.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为________．
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14．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积．
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16．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍．若AB＝6 m，PO1＝2 m，求仓库的容积．
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