(共55张PPT)
8．3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第八章 立体几何初步
学习指导 核心素养
1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式． 2．能用表面积和体积公式解决简单的实际问题． 直观想象、数学运算：利用公式计算圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积．
01
必备知识 落实
知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱 底面积：S底＝______
侧面积：S侧＝2πrl
表面积：S＝___________________
圆锥 底面积：S底＝______
侧面积：S侧＝πrl
表面积：S＝_________________
πr2
2πr(r＋l)
πr2
πr(r＋l)
圆台 上底面面积：S上底＝________
下底面面积：S下底＝______
侧面积：S侧＝______________
表面积：S＝______________________
πr′2
πr2
πl(r＋r′)
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
(1)若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为( )
A．40π B．36π
C．26π D．20π
【解析】 圆锥的母线l＝ ＝5，所以圆锥的表面积为π×42＋π×4×5＝36π.故选B．
√
(2)若圆台的上、下底面半径分别为2，6，且侧面面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为________，表面积为________．
【解析】 设圆台的母线长为l，则由题意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62，所以8πl＝40π，所以l＝5，
所以该圆台的母线长为5.
圆台的表面积为
S＝π×(2＋6)×5＋π×22＋π×62
＝40π＋4π＋36π＝80π.
5
80π
圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
(1)得到空间几何体的展开图；
(2)依次求出各个平面图形的面积；
(3)将各平面图形的面积相加．
√
知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积
V圆柱＝________(r是底面半径，h是高)，
V圆锥＝_____________(r是底面半径，h是高)，
V圆台＝_______________________(r′，r分别是上、下底面半径，h是高).
πr2h
√
圆柱、圆锥、圆台的体积求法
(1)直接法：根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求出；
(2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积；
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，先求再去．
如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )
A．5π B．6π
C．20π D．10π
解析：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
√
知识点三 球的表面积和体积
表面积：S球＝________．
体积：V球＝__________．
4πR2
√
(1)球的表面积和体积的求解关键
因为球的表面积和体积都与球的半径有关，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键．
(2)球的截面问题的解题技巧
①有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
②解题时要注意借助球半径R、截面圆半径r、球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
√
02
课堂巩固 自测
√
1.已知圆柱的底面半径r＝1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为( )
A．6π B．8π
C．9π D．10π
解析：因为圆柱的表面积为2πr2＋2πrl，r＝1，l＝2，所以圆柱的表面积为6π.故选A．
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3．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：设圆台的高为h，由题意知V＝ π(12＋1×2＋22)h＝7π，故h＝3.
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2．已知圆柱OO′的母线长l＝4 cm，表面积为42π cm2，则圆柱OO′的底面半径r＝( )
A．3 cm B．4 cm
C．5 cm D．6 cm
解析：圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面面积之和为2×πr2＝2πr2(cm2)，所以2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，所以圆柱的底面半径为3 cm.
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6．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________.
解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝πr2＝π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝2S底＋S侧＝6π.
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7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．
解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr，解得r＝1，即圆锥的底面直径为2.
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8.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的铁球(球的
半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的铁球(如图所
示)，则铁球的半径是________cm.
解析：设铁球的半径为r cm，由题意得πr2×8＝πr2×6r－ πr3×3，解得r＝4.
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9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
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[B 能力提升]
10．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子可以看成是由底面半径为1 cm和底面半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为( )
A．29 cm B．30 cm
C．32 cm D．48 cm
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解析：在题图(2)和题图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h cm，则有π×12×(h－20)＝π×32×(h－28)，解得h＝29.
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12．(多选)如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，过点C作CD⊥AB，垂足为D，下列说法正确的是( )
A．以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧
面积为15 π
B．以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π
C．以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π
D．以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π
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[C 拓展冲刺]
14．(多选)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 (细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部容器后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则以下结论正确的是( )
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15.如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C．
(1)求球冠所在球的半径R(结果用h，r表示)；
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15中小学教育资源及组卷应用平台
8．3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
学习指导 核心素养
1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式． 2．能用表面积和体积公式解决简单的实际问题． 直观想象、数学运算：利用公式计算圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积．
知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l)
圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l)
圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
侧面积公式间的关系
S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl.
(1)若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为( )
A．40π B．36π
C．26π D．20π
(2)若圆台的上、下底面半径分别为2，6，且侧面面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为________，表面积为________．
【解析】 (1)圆锥的母线l＝＝5，所以圆锥的表面积为π×42＋π×4×5＝36π.故选B.
(2)设圆台的母线长为l，则由题意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62，所以8πl＝40π，所以l＝5，
所以该圆台的母线长为5.
圆台的表面积为
S＝π×(2＋6)×5＋π×22＋π×62
＝40π＋4π＋36π＝80π.
【答案】 (1)B (2)5 80π
圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
(1)得到空间几何体的展开图；
(2)依次求出各个平面图形的面积；
(3)将各平面图形的面积相加．
若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则这个圆柱的侧面积为( )
A.9π B．12π
C.π D．π
解析：选A.由于圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则h＝2r＝3，所以圆柱的侧面积为2πr·h＝9π.
知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积
V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)，
V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)，
V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高).
体积公式间的关系
V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.
(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是( )
A. B．
C.64π D．128π
(2)已知一圆台上底面的半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆锥的高为6，则此圆台的体积为__________．
【解析】 (1)作圆锥的轴截面，如图所示，
由题意知，在Rt△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.
设圆锥的高为h，底面半径为r，
则h＝r，PB＝r.
由S侧＝π·r·PB＝16π，
得πr2＝16π，所以r＝4.则h＝4.
故圆锥的体积V圆锥＝πr2h＝.
(2)作出圆台的轴截面，如图，
设圆台的高为h，则＝，解得h＝2，所以圆台的体积V＝π(22＋2×3＋32)×2＝π.
【答案】 (1)A (2)π
圆柱、圆锥、圆台的体积求法
(1)直接法：根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求出；
(2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积；
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，先求再去．
如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )
A.5π B．6π
C.20π D．10π
解析：选D.
用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
知识点三 球的表面积和体积
表面积：S球＝4πR2．
体积：V球＝πR3．
用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( )
A. B．
C．8π D．
【解析】 设球的半径为R，则截面圆的半径为，所以截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π，所以R2＝2，所以球的表面积S＝4πR2＝8π.故选C.
【答案】 C
(1)球的表面积和体积的求解关键
因为球的表面积和体积都与球的半径有关，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键．
(2)球的截面问题的解题技巧
①有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
②解题时要注意借助球半径R、截面圆半径r、球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
1．球的体积是，则此球的表面积是( )
A.12π B．16π
C. D．
解析：选B.设球的半径为R，所以πR3＝π，所以R＝2，所以S球＝4πR2＝16π.
2．两个球的半径相差 1，表面积之差为 28π，则它们的体积之和为________．
解析：设大、小两球半径分别为 R，r，
则
所以
所以体积之和为 πR3＋πr3＝.
答案：
1.已知圆柱的底面半径r＝1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为( )
A．6π B．8π
C．9π D．10π
解析：选A.因为圆柱的表面积为2πr2＋2πrl，r＝1，l＝2，所以圆柱的表面积为6π.故选A.
2．若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积扩大为原来的( )
A.8倍 B．4倍
C.2倍 D．2倍
解析：选C.球的大圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的倍，所以球的体积扩大为原来的2倍．
3．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( )
A.3 B．4
C.5 D．6
解析：选A.设圆台的高为h，由题意知V＝π(12＋1×2＋22)h＝7π，故h＝3.
4．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．
解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，
则2πr＝l，得l＝6r.
又S圆锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝，
圆锥的高h＝＝5，
V＝πr2h＝π××5＝π.
[A 基础达标]
1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )
A． B．1
C.2 D．3
解析：选D.设球的半径为R，则4πR2＝πR3，所以R＝3.
2．已知圆柱OO′的母线长l＝4 cm，表面积为42π cm2，则圆柱OO′的底面半径r＝( )
A.3 cm B．4 cm
C.5 cm D．6 cm
解析：选A.圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面面积之和为2×πr2＝2πr2(cm2)，所以2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，所以圆柱的底面半径为3 cm.
3．若圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则其体积是( )
A.24π B．24
C.3π D．3
解析：选C.设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，由底面周长为2πr＝6π，得r＝3，所以h＝＝.由圆锥的体积公式可得V＝πr2h＝3π.
4．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A. B．
C.2π D．4π
解析：选B.
绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V＝2××2π×＝.
5．(多选)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的( )
A.母线长是20
B.表面积是1 100π
C.高是10
D.轴截面为等腰梯形
解析：选ABD.圆台的轴截面是等腰梯形，D正确；设圆台母线长为l，又圆台侧面展开图圆心角是180°，即π，所以l＝＝20，A正确；表面积为S＝π×102＋π×202＋π(10＋20)×20＝1 100π，B正确；高h＝＝10，C错误，故选ABD.
6．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________.
解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝πr2＝π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝2S底＋S侧＝6π.
答案：6π
7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．
解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr，解得r＝1，即圆锥的底面直径为2.
答案：2
8.
圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的铁球(如图所示)，则铁球的半径是________cm.
解析：设铁球的半径为r cm，由题意得πr2×8＝πr2×6r－πr3×3，解得r＝4.
答案：4
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，
该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
[B 能力提升]
10．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子可以看成是由底面半径为1 cm和底面半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为( )
A.29 cm B．30 cm
C.32 cm D．48 cm
解析：选A.在题图(2)和题图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h cm，则有π×12×(h－20)＝π×32×(h－28)，解得h＝29.
11．(2022·高考全国卷甲)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝( )
A. B．2
C. D．
解析：选C.因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合＝2可知，甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1.由勾股定理得，h1＝＝，h2＝＝2，所以＝＝＝.故选C.
12．(多选)
如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，过点C作CD⊥AB，垂足为D，下列说法正确的是( )
A.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15 π
B.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π
C.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π
D.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π
解析：选AD.以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，所以侧面积为π×3×5＝15π，体积为×π×32×4＝12π，所以A正确，B错误；以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为π×4×5＝20π，体积为×π×42×3＝16π，所以C错误，D正确．故选AD.
13．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该四棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积．
解：如图，设球心为O，球的半径为r，EF为正四棱锥的高，
则在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，
解得r＝，
所以该球的表面积为4πr2＝4π×＝π.
[C 拓展冲刺]
14．(多选)
沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部容器后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则以下结论正确的是( )
A.沙漏中的细沙体积为 cm3
B.沙漏的体积是128 π cm3
C.细沙全部漏入下部容器后形成的锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D.该沙漏的一个沙时大约是1 565秒(π≈3.14)
解析：选AC.根据圆锥的截面图可知，细沙在上部容器时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径r＝×4＝(cm)，所以沙漏中细沙的体积V＝×πr2×＝××＝(cm3)，A正确；
沙漏的体积V＝2××π×42×8＝π(cm3)，B错误；
设细沙流入下部容器后的高度为h1，
根据细沙体积不变可知＝×π×42×h1＝h1，所以h1≈2.4 cm，C正确；
因为细沙的体积为cm3，沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，所以一个沙时为≈1 985(秒)，D错误．故选AC.
15.
如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C.
(1)求球冠所在球的半径R(结果用h，r表示)；
(2)已知球冠表面积公式为S＝2πRh，当S＝65 000π，C＝500π时，求的值及球冠所在球的表面积．
解：
(1)如图，点O是球冠所在球面的球心，点O1是球冠底面圆圆心，点A是球冠底面圆周上的一点，线段O1B是球冠的高，依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B＝h，OO1＝R－h，O1A＝r，
在Rt△OO1A中，OA2＝OO＋O1A2，
即R2＝(R－h)2＋r2，
整理化简得R＝，
所以球冠所在球的半径R＝.
(2)因球冠底面圆周长C＝500π，则r＝＝250，
又球冠表面积公式为S＝2πRh，且S＝65 000π，
则h＝＝，
由(1)知R＝，
即65 000＝＋2502，
解得R＝650，
于是得＝＝，球O的表面积为4πR2＝4π×6502＝1 690 000π，所以的值是，球冠所在球的表面积是1 690 000π.
与球相关的“切”“接”问题
类型一 几何体的外接球
(1)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．
(2)一个圆台的轴截面的面积为6，上、下底面的半径分别为1，2，则该几何体外接球的体积为________．
【解析】 (1)依题意得，长方体的体对角线长为＝，
记长方体的外接球的半径为R，
则有R＝，因此球O的表面积为4πR2＝14π.
(2)设圆台的高为h，由轴截面的面积为6，
得＝6，解得h＝2，
设该圆台外接球的半径为R，
由题意得 ＋＝2，
解得R＝，
所以该几何体外接球的体积为
πR3＝π×＝π.
【答案】 (1)14π (2)π
处理球的“接”问题的策略
把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
类型二 几何体的内切球
(1)如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为________．
(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积为________．
【解析】
(1)画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°，所以∠CPB＝30°，又∠PCB＝90°，所以CB＝PC＝r，PB＝2r，所以圆锥的侧面积S1＝π×r×2r＝6πr2，球的表面积S2＝4πr2，所以S1∶S2＝3∶2.
(2)设球的半径为R，由R3＝，得R＝1.因为球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，所以正三棱柱的高等于球的直径2，正三棱柱的底面三角形的内切圆的半径等于球的半径1.设正三棱柱的底面三角形的边长为a，则a×sin ×＝1，所以a＝2，所以这个正三棱柱的体积V＝×(2)2×2＝6.
【答案】 (1)3∶2 (2)6
(1)处理球的“切”问题的策略，解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．
(2)解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：
1．已知正方体的内切球的体积是π，则正方体的棱长为( )
A．2 B．
C． D．
解析：选A.设正方体的棱长为a，其内切球的半径为R，则a＝2R，又πR3＝π，所以R3＝2，所以R＝，所以a＝2.
2．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为( )
A． B．
C． D．
解析：选B.
如图，O为外接球球心，母线BB1长度为2，底面半径r＝O2B＝1，易得外接球半径R＝OB＝＝，所以外接球体积V＝π()3＝.故选B.
3．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
解析：设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，所以＝＝.
答案：
4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．
解析：
由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a.
如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，
易知 AP＝×a＝a，OP＝a，
所以球的半径 R＝ OA 满足R2＝＋＝a2，
故 S球＝4πR2＝πa2.
答案：πa2
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8．3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
学习指导 核心素养
1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式． 2．能用表面积和体积公式解决简单的实际问题． 直观想象、数学运算：利用公式计算圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积．
知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l)
圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l)
圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
侧面积公式间的关系
S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl.
(1)若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为( )
A．40π B．36π
C．26π D．20π
(2)若圆台的上、下底面半径分别为2，6，且侧面面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为________，表面积为________．
圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
(1)得到空间几何体的展开图；
(2)依次求出各个平面图形的面积；
(3)将各平面图形的面积相加．
若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则这个圆柱的侧面积为( )
A.9π B．12π
C.π D．π
知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积
V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)，
V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)，
V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高).
体积公式间的关系
V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.
(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是( )
A. B．
C.64π D．128π
(2)已知一圆台上底面的半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆锥的高为6，则此圆台的体积为__________．
圆柱、圆锥、圆台的体积求法
(1)直接法：根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求出；
(2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积；
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，先求再去．
如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )
A.5π B．6π
C.20π D．10π
知识点三 球的表面积和体积
表面积：S球＝4πR2．
体积：V球＝πR3．
用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( )
A. B．
C．8π D．
(1)球的表面积和体积的求解关键
因为球的表面积和体积都与球的半径有关，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键．
(2)球的截面问题的解题技巧
①有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
②解题时要注意借助球半径R、截面圆半径r、球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
1．球的体积是，则此球的表面积是( )
A.12π B．16π
C. D．
2．两个球的半径相差 1，表面积之差为 28π，则它们的体积之和为________．
1.已知圆柱的底面半径r＝1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为( )
A．6π B．8π
C．9π D．10π
2．若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积扩大为原来的( )
A.8倍 B．4倍
C.2倍 D．2倍
3．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( )
A.3 B．4
C.5 D．6
4．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．
[A 基础达标]
1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )
A． B．1
C.2 D．3
2．已知圆柱OO′的母线长l＝4 cm，表面积为42π cm2，则圆柱OO′的底面半径r＝( )
A.3 cm B．4 cm
C.5 cm D．6 cm
3．若圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则其体积是( )
A.24π B．24
C.3π D．3
4．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A. B．
C.2π D．4π
5．(多选)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的( )
A.母线长是20
B.表面积是1 100π
C.高是10
D.轴截面为等腰梯形
6．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________.
7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．
8.
圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的铁球(如图所示)，则铁球的半径是________cm.
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
[B 能力提升]
10．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子可以看成是由底面半径为1 cm和底面半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为( )
A.29 cm B．30 cm
C.32 cm D．48 cm
11．(2022·高考全国卷甲)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝( )
A. B．2
C. D．
12．(多选)
如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，过点C作CD⊥AB，垂足为D，下列说法正确的是( )
A.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15 π
B.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π
C.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π
D.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π
13．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该四棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积．
[C 拓展冲刺]
14．(多选)
沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部容器后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则以下结论正确的是( )
A.沙漏中的细沙体积为 cm3
B.沙漏的体积是128 π cm3
C.细沙全部漏入下部容器后形成的锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D.该沙漏的一个沙时大约是1 565秒(π≈3.14)
15.
如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C.
(1)求球冠所在球的半径R(结果用h，r表示)；
(2)已知球冠表面积公式为S＝2πRh，当S＝65 000π，C＝500π时，求的值及球冠所在球的表面积．
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