(共57张PPT)
8．4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8．4.1 平 面
第八章 立体几何初步
学习指导 核心素养
1.了解平面的概念，会用图形与字母表示平面． 2．了解关于平面的三个基本事实(公理)和推论． 1.数学抽象、直观想象：平面的概念、平面的表示．
2．逻辑推理：理解及应用三个基本事实及推论．
01
必备知识 落实
知识点一 平面的基本概念
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是向四周__________的．
无限延展
2．平面的画法及表示法
我们常用矩形的直观图，即_____________表示平面．
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向，如图①；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向，如图②.
图①的平面可表示为_______、_____________、_________或_________．
平行四边形
平面α
平面ABCD
平面AC
平面BD
(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．
(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
1.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( )
A．平面MN B．平面NQ
C．平面α D．平面MNPQ
解析：不能用相邻两个顶点示．
√
2．(多选)下列说法中正确的是( )
A．平面是处处平的面
B．平面是无限延展的
C．平面的形状是平行四边形
D．一个平面的厚度可以是0.001 cm
解析：平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，A，B两种说法是正确的；
C，D两种说法是错误的．
√
√
知识点二 点、线、面之间的关系及符号表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面．
∈
∈
用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
【解】 用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图1.
图1
(2)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B．
【解】 用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图2.
图2
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”．
如图所示，用符号语言可表述为( )
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
解析：由图知平面α与平面β相交于直线m，直线n在α内，直线m与n相交于A点．故A成立．
√
知识点三 平面的基本事实及推论
1.三个基本事实
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言
基本 事实1 过_____一条直线上的三个点，__________一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本 事实2 如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α _______
不在
有且只有
两个点
l α
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的__________ P∈α，且P∈β
_______，且_______
公共直线
α∩β＝l
P∈l
2.基本事实的推论
文字语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线___一点，有且只有一个平面 A l 有且只有一个平面α，使A∈α，l α
推论2 经过两条_____直线，有且只有一个平面 a∩b＝P 有且只有一个平面α，使a α，b α
推论3 经过两条_____直线，有且只有一个平面 a∥b 有且只有一个平面α，使a α，b α
外
相交
平行
1．下列说法正确的是( )
A．三点可以确定一个平面
B．空间中两条直线能确定一个平面
C．共点的三条直线确定一个平面
D．三角形和梯形都可以表示一个平面
√
解析：不共线的三点有且仅有一个平面，故A错误；
只有平行或相交的两条直线才能确定一个平面，故B错误；
当三条直线相交于一点时，可以确定三个平面，例如三棱锥的三条侧棱，故C错误；
三角形和梯形是平面图形，可以用来表示平面，故D正确．
2．两两平行的三条直线最多可以确定________个平面．
3
02
关键能力 提升
考点一 点、线共面问题
求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
【证明】 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．
方法一(纳入平面法)：
因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.
又因为l2 α，所以B∈α.
同理可证C∈α.
又因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二(辅助平面法)：
因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.
因为A∈l2，l2 α，所以A∈α.
因为A∈l2，l2 β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明点、线共面的常用方法
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．
(2)同一法：先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．
已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．
证明：如图所示．由已知a∥b，
所以过a，b有且只有一个平面α.
设a∩l＝A，b∩l＝B，
所以A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
所以l α.即过a，b，l有且只有一个平面．
考点二 点共线、线共点问题
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M.求证：点D，A，M三点共线．
【证明】 因为D1F∩CE＝M，
且D1F 平面A1D1DA，
所以M∈平面A1D1DA．
同理M∈平面ABCD，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，
所以M∈AD成立．
所以点D，A，M三点共线．
(1)证明三点共线的方法
(2)证明三线共点的步骤
已知三个平面α，β，γ两两相交，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a，b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点．
证明：因为α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a γ，b γ.
因为直线a与直线b不平行，
所以a，b必相交．
如图所示，设a∩b＝P，则P∈a，P∈B．
因为a β，b α，所以P∈β，P∈α.
又因为α∩β＝c，所以P∈c，即交线c也经过点P，
所以，a，b，c三条直线必过同一点．
03
课堂巩固 自测
√
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3
√
√
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2
3
解析：由点与平面、直线与平面、平面与平面的画法可知A，C，D对，
B选项直线应画在平行四边形里面．故选ACD．
√
2．能确定一个平面的条件是( )
A．空间三个点 B．一个点和一条直线
C．无数个点 D．两条相交直线
解析：不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．
1
2
3
3．如图所示，△ABC的三个顶点在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．
证明：因为AP∩AR＝A，所以直线AP与直线AR确定平面APR.
又因为AB∩α＝P，AC∩α＝R，
所以平面APR∩平面α＝PR.
因为B∈平面APR，C∈平面APR，
所以BC 平面APR.
因为Q∈BC，所以Q∈平面APR，
又Q∈α，
所以Q∈PR，所以P，Q，R三点共线．
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04
课后达标 检测
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[A 基础达标]
1．如果直线a 平面α，直线b 平面α,M∈a,N∈b，M∈l，N∈l，则( )
A．l α B．l α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
解析：因为M∈a，a α，所以M∈α，
又因为N∈b，b α，
所以N∈α，又M，N∈l，所以l α，
所以A正确，B错误．
l∩α＝l，所以C，D错误．
√
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2．下列命题中真命题的个数是( )
①三角形是平面图形；②四边形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：在①中，由不共线的三点确定一个平面，得三角形是一个平面图形，故①为真命题；在②③中，若这四条边不在同一平面内，例如空间四边形，则该四边形不是平面图形，所以②③为假命题；在④中，圆是平面图形，所以④为真命题；故选B．
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3．如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，A，B l，C∈β，C l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )
A．点A
B．点B
C．点C，但不过点D
D．点C和点D
解析：根据基本事实3判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D．
√
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4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面( )
A．没有其他公共点
B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点
D．有无数个公共点
解析：根据基本事实3可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．
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5．交于一点的三条直线可以确定平面的个数是( )
A．三个
B．两个
C．一个或两个
D．一个或三个
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解析：如图，a，b，c是三条不同的直线，a∩b＝P，a，b确定平面α，且点P∈c，
若c在平面α内，则直线a，b，c确定一个平面，
若c不在平面α内，则直线a，c确定一个平面，b，c确定一个平面，于是得直线a，b，c确定三个平面，所以交于一点的三条直线可以确定平面的个数是一个或三个，故选D．
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6．(多选)下列说法正确的是( )
A．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点
B．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
C．经过两条相交直线，有且只有一个平面
D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合
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解析：A．平面与平面相交于一条直线，因此它们有无限个公共点，A错误；
B．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面，B正确；
C．经过两条相交直线，有且只有一个平面，C正确；
D．不共线的三点确定一个平面，D正确．故选BCD．
7．若点Q在直线b上，b在平面α内，则Q，b，α之间的关系可记作________．
解析：因为点Q(元素)在直线b(集合)上，所以Q∈B．又因为直线b(集合)在平面α(集合)内，所以b α.所以Q∈b α.
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Q∈b α
8．设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l.
解析：因为a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
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∈
9．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．
解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．
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1或4
10．如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点．
(1)求作直线AB与平面α的交点P；
解：连接DE并延长，交AB的延长
线于点P，则点P为直线AB与平面α的交点．如图．
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(2)求证：D，E，P三点共线．
证明：因为D∈AC，E∈BC，所以DE 平面ABC，因为D∈α，E∈α，所以DE α，所以DE为平面α与平面ABC的交线，又P∈AB，AB 平面ABC，所以P∈平面ABC，且P∈α，所以P在平面α与平面ABC的交线DE上，所以D，E，P三点共线．
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[B 能力提升]
11．空间中四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线 B．必有三点不共线
C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线
解析：若AB∥CD，则AB，CD共面，但A，B，C，D任何三点都不共线，故排除A，C；
若直线l与直线外一点A在同一平面内，且B，C，D三点在直线l上，则B，C，D三点共线，所以排除D．故选B．
12．(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是( )
A．C1，M，O三点共线
B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面
D．D1，D，O，M四点共面
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解析：连接A1C1，AC(图略)，
则AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M.
所以三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，
所以A，B，C均正确，D不正确．
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13．如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求证：AA1，BB1，CC1三线共点．
证明：不妨设AB≠A1B1，则四边形AA1B1B为梯形，
所以AA1与BB1相交，设其交点为S，则S∈AA1，S∈BB1.
因为BB1 平面BCC1B1，所以S∈平面BCC1B1.
同理可证，S∈平面ACC1A1，
所以点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上，
即S∈CC1，
所以AA1，BB1，CC1三线共点．
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解析：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，延长C1M交CD的延长线于点P，延长C1N交CB的延长线于点Q，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形，故选C．
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(2)直线FH，EG，AC共点．
证明：由(1)知，EF∥GH，且EF≠GH，所以四边形EFHG是梯形．设两腰EG，FH相交于一点T.
因为EG 平面ABC，FH 平面ACD，
所以T∈平面ABC，且T∈平面ACD．又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以T∈AC，即直线EG，FH，AC相交于一点T.
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15中小学教育资源及组卷应用平台
8．4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8．4.1 平 面
学习指导 核心素养
1.了解平面的概念，会用图形与字母表示平面． 2．了解关于平面的三个基本事实(公理)和推论． 1.数学抽象、直观想象：平面的概念、平面的表示． 2．逻辑推理：理解及应用三个基本事实及推论．
知识点一 平面的基本概念
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是向四周无限延展的．
2．平面的画法及表示法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向，如图①；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向，如图②.
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．
(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．
(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
1.
如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( )
A.平面MN B．平面NQ
C.平面α D．平面MNPQ
解析：选A.不能用相邻两个顶点表示．
2．(多选)下列说法中正确的是( )
A.平面是处处平的面
B.平面是无限延展的
C.平面的形状是平行四边形
D.一个平面的厚度可以是0.001 cm
解析：选AB.平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，A，B两种说法是正确的；C，D两种说法是错误的．
知识点二 点、线、面之间的关系及符号表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面．
文字语言 符号语言 图形语言
A在l上 A∈l
A在l外 A l
A在α内 A∈α
A在α外 A α
l在α内 l α
l在α外 l α
l，m相交于A l∩m＝A
l，α相交于A l∩α＝A
α，β相交于l α∩β＝l
用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
(2)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.
【解】 (1)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图1.
图1
(2)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图2.
图2
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”．,
如图所示，用符号语言可表述为( )
A.α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n α，A m，A n
D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
解析：选A.由图知平面α与平面β相交于直线m，直线n在α内，直线m与n相交于A点．故A成立．
知识点三 平面的基本事实及推论
1.三个基本事实,
基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言
基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
2.基本事实的推论,
文字语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 A l 有且只有一个平面α，使A∈α，l α
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 a∩b＝P 有且只有一个平面α，使a α，b α
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 a∥b 有且只有一个平面α，使a α，b α
1．下列说法正确的是( )
A．三点可以确定一个平面
B．空间中两条直线能确定一个平面
C．共点的三条直线确定一个平面
D．三角形和梯形都可以表示一个平面
解析：选D.不共线的三点有且仅有一个平面，故A错误；只有平行或相交的两条直线才能确定一个平面，故B错误；当三条直线相交于一点时，可以确定三个平面，例如三棱锥的三条侧棱，故C错误；三角形和梯形是平面图形，可以用来表示平面，故D正确．
2．两两平行的三条直线最多可以确定________个平面．
答案：3
考点一 点、线共面问题
求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
【证明】
如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
方法一(纳入平面法)：
因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.
又因为l2 α，所以B∈α.
同理可证C∈α.
又因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二(辅助平面法)：
因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.
因为A∈l2，l2 α，所以A∈α.
因为A∈l2，l2 β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明点、线共面的常用方法
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．
(2)同一法：先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．
已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．
证明：如图所示．由已知a∥b，
所以过a，b有且只有一个平面α.
设a∩l＝A，b∩l＝B，
所以A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
所以l α.即过a，b，l有且只有一个平面．
考点二 点共线、线共点问题
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M.求证：点D，A，M三点共线．
【证明】 因为D1F∩CE＝M，
且D1F 平面A1D1DA，
所以M∈平面A1D1DA.
同理M∈平面ABCD，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，
所以M∈AD成立．
所以点D，A，M三点共线．
(1)证明三点共线的方法
(2)证明三线共点的步骤
已知三个平面α，β，γ两两相交，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a，b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点．
证明：因为α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a γ，b γ.
因为直线a与直线b不平行，
所以a，b必相交．
如图所示，设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.
因为a β，b α，所以P∈β，P∈α.
又因为α∩β＝c，所以P∈c，即交线c也经过点P，
所以，a，b，c三条直线必过同一点．
1．(多选)下图中图形的画法正确的是( )
A．点A在平面α内
B．直线l在平面α内
C．直线l交平面α于点P
D．三个平面两两相交
解析：选ACD.由点与平面、直线与平面、平面与平面的画法可知A，C，D对，B选项直线应画在平行四边形里面．故选ACD.
2．能确定一个平面的条件是( )
A．空间三个点 B．一个点和一条直线
C．无数个点 D．两条相交直线
解析：选D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．
3．如图所示，△ABC的三个顶点在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．
证明：因为AP∩AR＝A，所以直线AP与直线AR确定平面APR.
又因为AB∩α＝P，AC∩α＝R，
所以平面APR∩平面α＝PR.
因为B∈平面APR，C∈平面APR，
所以BC 平面APR.
因为Q∈BC，所以Q∈平面APR，
又Q∈α，
所以Q∈PR，所以P，Q，R三点共线．
[A 基础达标]
1．如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( )
A．l α B．l α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
解析：选A.因为M∈a，a α，所以M∈α，
又因为N∈b，b α，
所以N∈α，
又M，N∈l，所以l α，
所以A正确，B错误．
l∩α＝l，所以C，D错误．
2．下列命题中真命题的个数是( )
①三角形是平面图形；②四边形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.在①中，由不共线的三点确定一个平面，得三角形是一个平面图形，故①为真命题；在②③中，若这四条边不在同一平面内，例如空间四边形，则该四边形不是平面图形，所以②③为假命题；在④中，圆是平面图形，所以④为真命题；故选B.
3．如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，A，B l，C∈β，C l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )
A．点A
B．点B
C．点C，但不过点D
D．点C和点D
解析：选D.根据基本事实3判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.
4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面( )
A．没有其他公共点
B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点
D．有无数个公共点
解析：选D.根据基本事实3可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．
5．交于一点的三条直线可以确定平面的个数是( )
A．三个
B．两个
C．一个或两个
D．一个或三个
解析：选D.如图，a，b，c是三条不同的直线，a∩b＝P，a，b确定平面α，且点P∈c，
若c在平面α内，则直线a，b，c确定一个平面，
若c不在平面α内，则直线a，c确定一个平面，b，c确定一个平面，于是得直线a，b，c确定三个平面，所以交于一点的三条直线可以确定平面的个数是一个或三个，故选D.
6．(多选)下列说法正确的是( )
A．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点
B．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
C．经过两条相交直线，有且只有一个平面
D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合
解析：选BCD.A.平面与平面相交于一条直线，因此它们有无限个公共点，A错误；B.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面，B正确；C.经过两条相交直线，有且只有一个平面，C正确；D.不共线的三点确定一个平面，D正确．故选BCD.
7．若点Q在直线b上，b在平面α内，则Q，b，α之间的关系可记作________．
解析：因为点Q(元素)在直线b(集合)上，所以Q∈b.又因为直线b(集合)在平面α(集合)内，所以b α.所以Q∈b α.
答案：Q∈b α
8．设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l.
解析：因为a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
答案：∈
9．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．
解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．
答案：1或4
10．如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点．
(1)求作直线AB与平面α的交点P；
(2)求证：D，E，P三点共线．
解：(1)连接DE并延长，交AB的延长
线于点P，则点P为直线AB与平面α的交点．如图．
(2)证明：因为D∈AC，E∈BC，所以DE 平面ABC，因为D∈α，E∈α，所以DE α，所以DE为平面α与平面ABC的交线，又P∈AB，AB 平面ABC，所以P∈平面ABC，且P∈α，所以P在平面α与平面ABC的交线DE上，所以D，E，P三点共线．
[B 能力提升]
11．空间中四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线 B．必有三点不共线
C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线
解析：选B.若AB∥CD，则AB，CD共面，但A，B，C，D任何三点都不共线，故排除A，C；若直线l与直线外一点A在同一平面内，且B，C，D三点在直线l上，则B，C，D三点共线，所以排除D.故选B.
12．(多选)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是( )
A．C1，M，O三点共线
B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面
D．D1，D，O，M四点共面
解析：选ABC.连接A1C1，AC(图略)，
则AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M.
所以三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，
所以A，B，C均正确，D不正确．
13．如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求证：AA1，BB1，CC1三线共点．
证明：不妨设AB≠A1B1，则四边形AA1B1B为梯形，
所以AA1与BB1相交，设其交点为S，则S∈AA1，S∈BB1.
因为BB1 平面BCC1B1，所以S∈平面BCC1B1.
同理可证，S∈平面ACC1A1，
所以点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上，
即S∈CC1，
所以AA1，BB1，CC1三线共点．
[C 拓展冲刺]
14．在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
解析：选C.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，延长C1M交CD的延长线于点P，延长C1N交CB的延长线于点Q，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形，故选C.
15．已知空间四边形ABCD(如图所示)中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：
(1)E，F，H，G四点共面；
(2)直线FH，EG，AC共点．
证明：
(1)连接EF，GH.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF綉BD.因为G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.所以GH綉BD.
所以EF∥GH.所以E，F，H，G四点共面．
(2)由(1)知，EF∥GH，且EF≠GH，所以四边形EFHG是梯形．设两腰EG，FH相交于一点T.
因为EG 平面ABC，FH 平面ACD，
所以T∈平面ABC，且T∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以T∈AC，即直线EG，FH，AC相交于一点T.
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8．4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8．4.1 平 面
学习指导 核心素养
1.了解平面的概念，会用图形与字母表示平面． 2．了解关于平面的三个基本事实(公理)和推论． 1.数学抽象、直观想象：平面的概念、平面的表示． 2．逻辑推理：理解及应用三个基本事实及推论．
知识点一 平面的基本概念
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是向四周无限延展的．
2．平面的画法及表示法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向，如图①；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向，如图②.
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．
(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．
(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
1.
如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( )
A.平面MN B．平面NQ
C.平面α D．平面MNPQ
2．(多选)下列说法中正确的是( )
A.平面是处处平的面
B.平面是无限延展的
C.平面的形状是平行四边形
D.一个平面的厚度可以是0.001 cm
知识点二 点、线、面之间的关系及符号表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面．
文字语言 符号语言 图形语言
A在l上 A∈l
A在l外 A l
A在α内 A∈α
A在α外 A α
l在α内 l α
l在α外 l α
l，m相交于A l∩m＝A
l，α相交于A l∩α＝A
α，β相交于l α∩β＝l
用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
(2)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”．,
如图所示，用符号语言可表述为( )
A.α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n α，A m，A n
D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
知识点三 平面的基本事实及推论
1.三个基本事实,
基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言
基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
2.基本事实的推论,
文字语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 A l 有且只有一个平面α，使A∈α，l α
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 a∩b＝P 有且只有一个平面α，使a α，b α
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 a∥b 有且只有一个平面α，使a α，b α
1．下列说法正确的是( )
A．三点可以确定一个平面
B．空间中两条直线能确定一个平面
C．共点的三条直线确定一个平面
D．三角形和梯形都可以表示一个平面
2．两两平行的三条直线最多可以确定________个平面．
考点一 点、线共面问题
求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
证明点、线共面的常用方法
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．
(2)同一法：先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．
已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．
考点二 点共线、线共点问题
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M.求证：点D，A，M三点共线．
(1)证明三点共线的方法
(2)证明三线共点的步骤
已知三个平面α，β，γ两两相交，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a，b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点．
1．(多选)下图中图形的画法正确的是( )
A．点A在平面α内
B．直线l在平面α内
C．直线l交平面α于点P
D．三个平面两两相交
2．能确定一个平面的条件是( )
A．空间三个点 B．一个点和一条直线
C．无数个点 D．两条相交直线
3．如图所示，△ABC的三个顶点在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．
[A 基础达标]
1．如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( )
A．l α B．l α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
2．下列命题中真命题的个数是( )
①三角形是平面图形；②四边形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．
A．1 B．2
C．3 D．4
3．如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，A，B l，C∈β，C l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )
A．点A
B．点B
C．点C，但不过点D
D．点C和点D
4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面( )
A．没有其他公共点
B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点
D．有无数个公共点
5．交于一点的三条直线可以确定平面的个数是( )
A．三个
B．两个
C．一个或两个
D．一个或三个
6．(多选)下列说法正确的是( )
A．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点
B．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
C．经过两条相交直线，有且只有一个平面
D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合
7．若点Q在直线b上，b在平面α内，则Q，b，α之间的关系可记作________．
8．设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l.
9．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．
10．如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点．
(1)求作直线AB与平面α的交点P；
(2)求证：D，E，P三点共线．
[B 能力提升]
11．空间中四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线 B．必有三点不共线
C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线
12．(多选)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是( )
A．C1，M，O三点共线
B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面
D．D1，D，O，M四点共面
13．如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求证：AA1，BB1，CC1三线共点．
[C 拓展冲刺]
14．在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
15．已知空间四边形ABCD(如图所示)中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：
(1)E，F，H，G四点共面；
(2)直线FH，EG，AC共点．
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