(共50张PPT)
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
第八章 立体几何初步
学习指导 核心素养
借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 1.数学抽象：空间中直线、平面位置关系的定义．
2.直观想象：用图形语言表示直线、平面的位置关系．
01
必备知识 落实
知识点一 空间中直线与直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：把不同在__________平面内的两条直线叫做异面直线．
(2)画法：(通常用平面衬托)
任何一个
异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
平行
异面
相交
异面
【解析】 经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行．点A1，B，B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．直线D1D与直线D1C相交于点D1.
判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；
(2)排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交)；
(3)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线和这
个平面内不经过此点的直线是异面直线．如图，A α，B∈α，l α，B l 直线AB与l是异面直线．
若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行、相交或异面
解析：可借助长方体来判断．如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面．
√
知识点二 空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有________公共点 有且只有_____公共点 _____公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
无数个
一个
没有
下列命题中，真命题的个数为( )
①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；
②若直线在平面外，则直线与平面平行；
③若直线经过平面外的两点，则直线与平面平行；
④若直线既不在这个平面内又不与这个平面相交，则直线与平面平行．
A．1 B．2
C．3 D．4
√
【解析】 ①符合线面平行的定义，故①为真命题；直线在平面外等价于直线与平面平行或相交，故②为假命题；③为假命题，例如：过平面外两个点A、B的直线(如图)与平面相交；由②的分析知④为真命题．
直线与平面位置关系的判断
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．
1．若直线上有一点在平面外，则下列说法正确的是( )
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数个点都在平面外
C．直线上有无数个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
解析：直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数个点都在平面外．
√
2．在如图所示的正方体ABCD-A′B′C′D′中，
(1)与AB所在直线平行的平面有________个；
解析：与AB所在直线平行的平面有平面A′B′C′D′和平面DCC′D′；
(2)与A′B所在直线平行的平面有________个．
解析：与A′B所在直线平行的平面只有平面DCC′D′.
2
1
知识点三 空间中平面与平面的位置关系
位置关系 两个平面平行 两个平面相交
公共点 _____公共点 有_____个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
没有
无数
α，β是两个不重合的平面，下面说法中正确的是( )
A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β
B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β
C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β
D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
【解析】 A，B都不能保证α，β无公共点，如图①所示；
C中当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图②所示；
只有D说明α，β一定无公共点，即α∥β.
√
两个平面的位置关系的两种判断方法
(1)定义法：仔细分析题目条件，将自然语言转化为图形语言，通过图形借助定义确定两平面的位置关系．
(2)借助几何模型判断：线、面之间的位置关系在长方体(或正方体)中都能体现，所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系．
1．如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．无法确定
解析：根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系，如图所示．
√
2．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC与其余的面之间有什么位置关系？
解：因为几何体ABC-A1B1C1为三棱柱，
所以平面ABC与平面A1B1C1平行．
因为平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，
所以平面ABC与平面ABB1A1相交．
同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．
02
课堂巩固 自测
√
1.异面直线是指( )
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
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解析：对于A，空间中两条不相交的直线有两种可能，
一个是平行(共面)，另一个是异面，所以A应排除；
对于B，分别位于两个不同平面内的两条直线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，所以B应排除；
对于C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，所以C应排除；只有D符合定义．
√
2．若直线l∥平面α，直线a α，则( )
A．l∥a
B．l与a异面
C．l与a相交
D．l与a没有公共点
解析：若直线l∥平面α，直线a α，则l∥a或l与a异面，故l与a没有公共点，故选D．
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3．(多选)两平面α，β平行，a α，则下列四个命题正确的是( )
A．a与β内的所有直线平行
B．a与β内无数条直线平行
C．a与β至少有一个公共点
D．a与β没有公共点
解析：a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面，A错误，B正确；
根据定义，a与β没有公共点，C错误，D正确．
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4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？
解：因为B1∈平面A1B1C1D1，D1∈平面A1B1C1D1，
所以B1D1 平面A1B1C1D1.
因为B1∈平面BB1C1C，D1 平面BB1C1C，
所以直线B1D1∩平面BB1C1C＝B1.
同理直线B1D1与平面AA1B1B、平面AA1D1D、平面CC1D1D都相交．在平行四边形B1BDD1中，B1D1∥BD，B1D1与BD无公共点，所以B1D1与平面ABCD无公共点，所以B1D1∥平面ABCD．
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03
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[A 基础达标]
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线不相交
解析：直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点，故与α内任意一条直线不相交．
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2．正方体的六个面中相互平行的平面有( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
解析：由正方体模型可知，六个面中共有3对相对的面互相平行．故选B．
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3．已知直线a，b，c，若a，b异面，b∥c，则a，c的位置关系是( )
A．异面 B．相交
C．平行或异面 D．相交或异面
解析：如图所示的正方体：AB和DD1是异面直线，
DD1∥BB1，AB∩BB1＝B；
AB和DD1是异面直线，DD1∥CC1，AB与CC1是异面直线．
所以两直线a与b是异面直线，b∥c，则a，c的位置关系是相交或异面．故选D．
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4．“直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若直线l与平面α没有公共点，那直线l与平面α只能平行，故充分条件成立；若直线l与平面α平行，则直线l与平面α没有公共点，故必要性也成立，所以“直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的充要条件．故选C．
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5．(多选)下列结论正确的是( )
A．直线a∥平面α，直线b α，则a∥b
B．若a α，b α，则a，b无公共点
C．若a α，则a∥α或a与α相交
D．若a∩α＝A，则a α
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解析：对A，a和b可以异面，故A错误；
对B，b α，则b和α可以相交，故b和a可以相交，故B错误；
对C，直线在平面外，则直线和平面相交或平行，故C正确；
对D，a∩α＝A说明直线和平面只有一个交点，故D正确，故选CD．
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6．(多选)下列命题中的真命题是( )
A．若直线a不在平面α内，则a∥α
B．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
C．若l∥α，则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点
D．平行于同一平面的两直线可以相交
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解析：A中，直线a也可能与平面α相交，故A是假命题；
B中，直线l与平面α相交时，l上也有无数个点不在平面α内，故B是假命题；
C中，l∥α时，l与α没有公共点，所以l与α内任何一条直线都没有公共点，故C是真命题；
D中，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，且A1C1与B1D1相交，故D是真命题．
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7．若点A∈α，B α，C α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．
解析：因为点A∈α，B α，C α，
所以平面ABC与平面α有公共点，且不重合，
所以平面ABC与平面α的位置关系是相交．
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相交
8．已知A，B，C，D是空间四个点，且直线AB与CD是两条异面直线，则直线AC与BD的位置关系是________．(填“平行”或“异面”)
解析：因为AB，CD是两条异面直线，由异面直线定义可知直线AC与BD必不相交也不平行，一定异面．
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异面
9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中判断下列位置关系：
(1)AD1所在直线与平面B1BCC1的位置关系是________；
解析：AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点，所以平行．
(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．
解析：平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．
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平行
相交
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．
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证明：如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，因为BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，B1D 平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1，H，O三点共线．
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[B 能力提升]
11．(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论正确的是( )
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线AM与DD1是异面直线
解析：直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故A,B错误；
C，D正确．故选CD．
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12．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有________个．
解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共由8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．
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13．在四棱锥P-ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
解析：以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．
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14．如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与β的位置关系并证明你的结论．
解：a∥b，a∥β.证明如下：
由α∩γ＝a知a α且a γ，
由β∩γ＝b知b β且b γ，
因为α∥β，a α，b β，
所以a，b无公共点．
又因为a γ且b γ，所以a∥B．
因为α∥β，所以α与β无公共点．
又a α，所以a与β无公共点，所以a∥β.
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[C 拓展冲刺]
15．如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中( )
A．AB∥CD B．AD∥EF
C．CD∥GH D．AB∥GH
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解析：把正方体的展开图还原成正方体，
得到如图所示的正方体，
由正方体性质得，
AB与CD相交，AD与EF异面，CD与GH平行，AB与GH异面．
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16．如图(1)(2)所示，ABCD-A1B1C1D1是正方体，在图(1)中，E，F分别是D1C1，B1B的中点．试分别画出图(1)(2)中有阴影的平面与平面ABCD的交线．
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解：如图①所示，过点E作EN∥ BB1交CD于点N，连接NB并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则AM即为阴影的平面与平面ABCD的交线．
如图②所示，延长DC，过点C1作C1P∥A1B交DC的延长线于点P，连接BP，则BP即为阴影的平面与平面ABCD的交线．
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16中小学教育资源及组卷应用平台
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
学习指导 核心素养
借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 1.数学抽象：空间中直线、平面位置关系的定义． 2.直观想象：用图形语言表示直线、平面的位置关系．
知识点一 空间中直线与直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
(2)画法：(通常用平面衬托)
2.空间两条直线的位置关系
异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．
如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；
(2)排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交)；
(3)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线和这
个平面内不经过此点的直线是异面直线．如图，A α，B∈α，l α，B l 直线AB与l是异面直线．
若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行、相交或异面
知识点二 空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
下列命题中，真命题的个数为( )
①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；
②若直线在平面外，则直线与平面平行；
③若直线经过平面外的两点，则直线与平面平行；
④若直线既不在这个平面内又不与这个平面相交，则直线与平面平行．
A．1 B．2
C．3 D．4
直线与平面位置关系的判断
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．
1．若直线上有一点在平面外，则下列说法正确的是( )
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数个点都在平面外
C．直线上有无数个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
2．在如图所示的正方体ABCD A′B′C′D′中，
(1)与AB所在直线平行的平面有________个；
(2)与A′B所在直线平行的平面有________个．
知识点三 空间中平面与平面的位置关系
位置关系 两个平面平行 两个平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
α，β是两个不重合的平面，下面说法中正确的是( )
A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β
B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β
C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β
D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
两个平面的位置关系的两种判断方法
(1)定义法：仔细分析题目条件，将自然语言转化为图形语言，通过图形借助定义确定两平面的位置关系．
(2)借助几何模型判断：线、面之间的位置关系在长方体(或正方体)中都能体现，所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系．
1．如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．无法确定
2．如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC与其余的面之间有什么位置关系？
1.异面直线是指( )
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
2．若直线l∥平面α，直线a α，则( )
A．l∥a
B．l与a异面
C．l与a相交
D．l与a没有公共点
3．(多选)两平面α，β平行，a α，则下列四个命题正确的是( )
A．a与β内的所有直线平行
B．a与β内无数条直线平行
C．a与β至少有一个公共点
D．a与β没有公共点
4．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？
[A 基础达标]
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线不相交
2．正方体的六个面中相互平行的平面有( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
3．已知直线a，b，c，若a，b异面，b∥c，则a，c的位置关系是( )
A．异面 B．相交
C．平行或异面 D．相交或异面
4．“直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(多选)下列结论正确的是( )
A．直线a∥平面α，直线b α，则a∥b
B．若a α，b α，则a，b无公共点
C．若a α，则a∥α或a与α相交
D．若a∩α＝A，则a α
6．(多选)下列命题中的真命题是( )
A．若直线a不在平面α内，则a∥α
B．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
C．若l∥α，则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点
D．平行于同一平面的两直线可以相交
7．若点A∈α，B α，C α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．
8．已知A，B，C，D是空间四个点，且直线AB与CD是两条异面直线，则直线AC与BD的位置关系是________．(填“平行”或“异面”)
9.
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中判断下列位置关系：
(1)AD1所在直线与平面B1BCC1的位置关系是________；
(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．
10．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．
[B 能力提升]
11．(多选)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论正确的是( )
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线AM与DD1是异面直线
12．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有________个．
13．在四棱锥P ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
14．如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与β的位置关系并证明你的结论．
[C 拓展冲刺]
15．如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中( )
A．AB∥CD B．AD∥EF
C．CD∥GH D．AB∥GH
16．如图(1)(2)所示，ABCD A1B1C1D1是正方体，在图(1)中，E，F分别是D1C1，B1B的中点．试分别画出图(1)(2)中有阴影的平面与平面ABCD的交线．
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8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
学习指导 核心素养
借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 1.数学抽象：空间中直线、平面位置关系的定义． 2.直观想象：用图形语言表示直线、平面的位置关系．
知识点一 空间中直线与直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
(2)画法：(通常用平面衬托)
2.空间两条直线的位置关系
异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．
如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
【解析】 经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行．点A1，B，B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．直线D1D与直线D1C相交于点D1.
【答案】 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；
(2)排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交)；
(3)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线和这
个平面内不经过此点的直线是异面直线．如图，A α，B∈α，l α，B l 直线AB与l是异面直线．
若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行、相交或异面
解析：选D.可借助长方体来判断．如图，在长方体ABCD A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面．
知识点二 空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
下列命题中，真命题的个数为( )
①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；
②若直线在平面外，则直线与平面平行；
③若直线经过平面外的两点，则直线与平面平行；
④若直线既不在这个平面内又不与这个平面相交，则直线与平面平行．
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】
①符合线面平行的定义，故①为真命题；直线在平面外等价于直线与平面平行或相交，故②为假命题；③为假命题，例如：过平面外两个点A、B的直线(如图)与平面相交；由②的分析知④为真命题．
【答案】 B
直线与平面位置关系的判断
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．
1．若直线上有一点在平面外，则下列说法正确的是( )
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数个点都在平面外
C．直线上有无数个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
解析：选B.直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数个点都在平面外．
2．在如图所示的正方体ABCD A′B′C′D′中，
(1)与AB所在直线平行的平面有________个；
(2)与A′B所在直线平行的平面有________个．
解析：(1)与AB所在直线平行的平面有平面A′B′C′D′和平面DCC′D′；
(2)与A′B所在直线平行的平面只有平面DCC′D′.
答案：(1)2 (2)1
知识点三 空间中平面与平面的位置关系
位置关系 两个平面平行 两个平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
α，β是两个不重合的平面，下面说法中正确的是( )
A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β
B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β
C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β
D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
【解析】 A，B都不能保证α，β无公共点，如图①所示；C中当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图②所示；只有D说明α，β一定无公共点，即α∥β.
【答案】 D
两个平面的位置关系的两种判断方法
(1)定义法：仔细分析题目条件，将自然语言转化为图形语言，通过图形借助定义确定两平面的位置关系．
(2)借助几何模型判断：线、面之间的位置关系在长方体(或正方体)中都能体现，所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系．
1．如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．无法确定
解析：选C.根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系，如图所示．
2．如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC与其余的面之间有什么位置关系？
解：因为几何体ABC A1B1C1为三棱柱，
所以平面ABC与平面A1B1C1平行．
因为平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，
所以平面ABC与平面ABB1A1相交．
同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．
1.异面直线是指( )
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
解析：选D.对于A，空间中两条不相交的直线有两种可能，一个是平行(共面)，另一个是异面，所以A应排除；对于B，分别位于两个不同平面内的两条直线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，所以B应排除；对于C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，所以C应排除；只有D符合定义．
2．若直线l∥平面α，直线a α，则( )
A．l∥a
B．l与a异面
C．l与a相交
D．l与a没有公共点
解析：选D.若直线l∥平面α，直线a α，则l∥a或l与a异面，故l与a没有公共点，故选D.
3．(多选)两平面α，β平行，a α，则下列四个命题正确的是( )
A．a与β内的所有直线平行
B．a与β内无数条直线平行
C．a与β至少有一个公共点
D．a与β没有公共点
解析：选BD.a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面，A错误，B正确；根据定义，a与β没有公共点，C错误，D正确．
4．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？
解：因为B1∈平面A1B1C1D1，D1∈平面A1B1C1D1，
所以B1D1 平面A1B1C1D1.
因为B1∈平面BB1C1C，D1 平面BB1C1C，
所以直线B1D1∩平面BB1C1C＝B1.
同理直线B1D1与平面AA1B1B、平面AA1D1D、平面CC1D1D都相交．在平行四边形B1BDD1中，B1D1∥BD，B1D1与BD无公共点，所以B1D1与平面ABCD无公共点，所以B1D1∥平面ABCD.
[A 基础达标]
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线不相交
解析：选D.直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点，故与α内任意一条直线不相交．
2．正方体的六个面中相互平行的平面有( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
解析：选B.由正方体模型可知，六个面中共有3对相对的面互相平行．故选B.
3．已知直线a，b，c，若a，b异面，b∥c，则a，c的位置关系是( )
A．异面 B．相交
C．平行或异面 D．相交或异面
解析：选D.如图所示的正方体：AB和DD1是异面直线，DD1∥BB1，AB∩BB1＝B；
AB和DD1是异面直线，DD1∥CC1，AB与CC1是异面直线．
所以两直线a与b是异面直线，b∥c，则a，c的位置关系是相交或异面．故选D.
4．“直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.若直线l与平面α没有公共点，那直线l与平面α只能平行，故充分条件成立；若直线l与平面α平行，则直线l与平面α没有公共点，故必要性也成立，所以“直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的充要条件．故选C.
5．(多选)下列结论正确的是( )
A．直线a∥平面α，直线b α，则a∥b
B．若a α，b α，则a，b无公共点
C．若a α，则a∥α或a与α相交
D．若a∩α＝A，则a α
解析：选CD.对A，a和b可以异面，故A错误；对B，b α，则b和α可以相交，故b和a可以相交，故B错误；对C，直线在平面外，则直线和平面相交或平行，故C正确；对D，a∩α＝A说明直线和平面只有一个交点，故D正确，故选CD.
6．(多选)下列命题中的真命题是( )
A．若直线a不在平面α内，则a∥α
B．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
C．若l∥α，则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点
D．平行于同一平面的两直线可以相交
解析：选CD.A中，直线a也可能与平面α相交，故A是假命题；B中，直线l与平面α相交时，l上也有无数个点不在平面α内，故B是假命题；C中，l∥α时，l与α没有公共点，所以l与α内任何一条直线都没有公共点，故C是真命题；D中，在长方体ABCD A1B1C1D1中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，且A1C1与B1D1相交，故D是真命题．
7．若点A∈α，B α，C α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．
解析：因为点A∈α，B α，C α，
所以平面ABC与平面α有公共点，且不重合，
所以平面ABC与平面α的位置关系是相交．
答案：相交
8．已知A，B，C，D是空间四个点，且直线AB与CD是两条异面直线，则直线AC与BD的位置关系是________．(填“平行”或“异面”)
解析：因为AB，CD是两条异面直线，由异面直线定义可知直线AC与BD必不相交也不平行，一定异面．
答案：异面
9.
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中判断下列位置关系：
(1)AD1所在直线与平面B1BCC1的位置关系是________；
(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．
解析：(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点，所以平行．
(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．
答案：(1)平行 (2)相交
10．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．
证明：如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，因为BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，B1D 平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1，H，O三点共线．
[B 能力提升]
11．(多选)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论正确的是( )
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线AM与DD1是异面直线
解析：选CD.直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故A，B错误；C，D正确．故选CD.
12．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有________个．
解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共由8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．
答案：4 6
13．在四棱锥P ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
解析：以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．
答案：8
14．如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与β的位置关系并证明你的结论．
解：a∥b，a∥β.证明如下：
由α∩γ＝a知a α且a γ，
由β∩γ＝b知b β且b γ，
因为α∥β，a α，b β，
所以a，b无公共点．
又因为a γ且b γ，所以a∥b.
因为α∥β，所以α与β无公共点．
又a α，所以a与β无公共点，所以a∥β.
[C 拓展冲刺]
15．如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中( )
A．AB∥CD B．AD∥EF
C．CD∥GH D．AB∥GH
解析：选C.
把正方体的展开图还原成正方体，
得到如图所示的正方体，
由正方体性质得，
AB与CD相交，AD与EF异面，CD与GH平行，AB与GH异面．
16．如图(1)(2)所示，ABCD A1B1C1D1是正方体，在图(1)中，E，F分别是D1C1，B1B的中点．试分别画出图(1)(2)中有阴影的平面与平面ABCD的交线．
解：如图①所示，过点E作EN∥ BB1交CD于点N，连接NB并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则AM即为阴影的平面与平面ABCD的交线．
如图②所示，延长DC，过点C1作C1P∥A1B交DC的延长线于点P，连接BP，则BP即为阴影的平面与平面ABCD的交线．
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