(共45张PPT)
8．5 空间直线、平面的平行
8．5.1 直线与直线平行
第八章 立体几何初步
学习指导 核心素养
1.了解基本事实． 2.理解等角定理，并会用其解决有关问题． 1.数学抽象：基本事实4和等角定理的理解．
2.直观想象、逻辑推理：应用基本事实4和等角定理证明两直线的平行．
01
必备知识 落实
知识点一 基本事实4
(1)内容：平行于同一条直线的两条直线______．这一性质通常叫做平行线的______性．
(2)符号表示： a∥c.
a∥b
b∥c
平行
传递
如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为
空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的
中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形．
证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．
(2)利用基本事实4，即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b.
如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：四边形MNA1C1是梯形．
知识点二 等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角______或______．
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
相等
互补
空间角相等的证明方法
(1)等角定理是较常用的方法，等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能．
(2)转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，P分别
为A1C1，AC和AB的中点．求证：∠PNA1＝∠BCM.
证明：因为P，N分别为AB，AC的中点，
所以PN∥BC，①
又因为M，N分别为A1C1，AC的中点，
所以A1M綉NC，所以四边形A1NCM为平行四边形，于是A1N∥MC，②
由①②及∠PNA1与∠BCM对应边方向相同，得∠PNA1＝∠BCM.
02
课堂巩固 自测
1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )
A．60° B．120°
C．30° D．60°或120°
解析：根据等角定理可知，β＝60°或120°.故选D．
√
2．如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，
SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
解析：在△MPN中，因为H，G分别为MP，MN的中点，所以HG∥PN，
同理EF∥PN，所以HG∥EF.
√
3．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )
A．全等 B．不相似
C．仅有一个角相等 D．相似
解析：由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D．
√
4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AD的中点，
N是B1C1的中点，求证：CM∥A1N.
03
课后达标 检测
[A 基础达标]
1．两等角的一组对应边平行，则( )
A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边不可能垂直 D．以上都不对
解析：另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．
√
2．已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
解析：因为a∥b，b∥c，所以a∥c.又c∥d，所以a∥d.故选A．
√
3．在三棱锥P-ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：由题意可知DE∥PB，EF∥BC，所以∠DEF＝∠PBC＝90°.
√
4．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行 D．OB与O1B1不一定平行
解析：OB与O1B1不一定平行，如图所示，OA∥O1A1，∠AOB＝∠A1O1B1.
√
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D，平面CC1D1D的中心，G，H分别是边AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1
的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，
所以EF∥GH.故选C．
√
6．(多选)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图)，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立的是( )
A．l与AD平行 B．l与AD相交
C．l与AC平行 D．l与BD平行
√
√
解析：假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，
知l∥B1C1，
这与l与B1C1不平行矛盾，
所以l与AD不平行．
又l在上底面中，AD在下底面中，
故l与AD无公共点，故l与AD不相交．
C，D可以成立．
7．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上
的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是____．
解析：在△ABC中，因为AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC.
又因为BC∥B1C1，所以EF∥B1C1.
答案：平行
8．已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
③若a 平面α，b 平面β，则a，b一定是异面直线；
④若a，b与c成等角，则a∥b.
其中正确的是________．(填序号)
解析：由基本事实4知①正确；
当a与b相交，b与c相交时，a与c可能相交、平行或异面，故②不正确；
当a 平面α，b 平面β时，a与b可能平行、相交或异面，故③不正确；
当a，b与c成等角时，a与b可能相交、平行，也可能异面，故④不正确．
答案：①
9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1是正
方形ABCD和A1B1C1D1的对角线．
(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；
解析：B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同．
答案：∠D1B1C1
(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．
解析：B1D1∥DB且方向相反，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．
答案：∠B1D1A1
10．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，
BC的中点，点E1，F1分别是棱A1D1，C1D1的中点．
求证：EE1∥FF1.
[B 能力提升]
11．(多选)(2022·山东滕州高二期中)如图，在四面体ABCD
中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中
点，则下列说法中正确的是( )
A．M，N，P，Q四点共面 B．∠QME＝∠DBC
C．△BCD∽△MEQ D．四边形MNPQ为梯形
√
√
√
解析：对于A选项，由基本事实4易得MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A正确；
对于B选项，根据等角定理，得∠QME＝∠DBC，故B正确；
对于C选项，由等角定理，知∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C正确；
12．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，
AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是________．
解析：因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，
AB∥CD，所以∠A1AB与∠D1DC相等．又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等．
答案：∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B
13．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，
BC，CD，DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH
的周长为________．
答案：6
14．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的
中点．求证：
(1)D1E∥BF；
证明：如图，取BB1的中点M，连接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，EM＝A1B1，
因为A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EM∥C1D1，EM＝C1D1，
所以四边形EMC1D1为平行四边形，所以D1E∥MC1.
在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，MB＝C1F.
所以四边形MBFC1为平行四边形，所以BF∥MC1，所以D1E∥BF.
(2)∠B1BF＝∠A1ED1.
证明：因为D1E∥BF，BB1∥EA1，
又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，所以∠B1BF＝∠A1ED1.
16．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．
解：如图所示，在面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，
交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．
理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，
所以EF∥BC.中小学教育资源及组卷应用平台
8．5 空间直线、平面的平行
8．5.1 直线与直线平行
学习指导 核心素养
1.了解基本事实． 2.理解等角定理，并会用其解决有关问题． 1.数学抽象：基本事实4和等角定理的理解． 2.直观想象、逻辑推理：应用基本事实4和等角定理证明两直线的平行．
知识点一 基本事实4
(1)内容：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质通常叫做平行线的传递性．
(2)符号表示： a∥c.
如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形．
【证明】 (1)因为在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四边形EFGH是平行四边形．
(2)因为在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EH＝BD.
由(1)知EF＝AC，又AC＝BD，
所以EH＝EF.
又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形．
证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．
(2)利用基本事实4，即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b.
如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：四边形MNA1C1是梯形．
证明：如图，连接AC，在△ACD中，
因为M，N分别是CD，AD的中点，
所以MN是△ACD的中位线，
所以MN∥AC，且MN＝AC.
由正方体的性质，得
AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
所以MN∥A1C1，
且MN＝A1C1，即MN≠A1C1，
所以四边形MNA1C1是梯形．
知识点二 等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
如图所示，点A1，B1，C1分别是不共面的三条射线OA，OB，OC上的点，且＝＝.求证：△A1B1C1∽△ABC.
【证明】 在△OAB中，因为＝，所以A1B1∥AB.同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.所以△A1B1C1∽△ABC.
空间角相等的证明方法
(1)等角定理是较常用的方法，等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能．
(2)转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点．求证：∠PNA1＝∠BCM.
证明：因为P，N分别为AB，AC的中点，
所以PN∥BC，①
又因为M，N分别为A1C1，AC的中点，
所以A1M綉NC，所以四边形A1NCM为平行四边形，于是A1N∥MC，②
由①②及∠PNA1与∠BCM对应边方向相同，得∠PNA1＝∠BCM.
1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )
A．60° B．120°
C．30° D．60°或120°
解析：选D．根据等角定理可知，β＝60°或120°.故选D．
2．如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
解析：选A．在△MPN中，因为H，G分别为MP，MN的中点，所以HG∥PN，
同理EF∥PN，所以HG∥EF.
3．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )
A．全等 B．不相似
C．仅有一个角相等 D．相似
解析：选D． 由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D．
4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AD的中点，N是B1C1的中点，求证：CM∥A1N.
证明：取A1D1的中点P，连接C1P，MP(图略)，则A1P＝A1D1.又N为B1C1的中点，B1C1綉A1D1，
所以C1N綉PA1，所以四边形PA1NC1为平行四边形，所以A1N∥C1P.
又由PM綉DD1綉CC1，得四边形PMCC1为平行四边形，所以C1P∥CM.所以CM∥A1N.
[A 基础达标]
1．两等角的一组对应边平行，则( )
A．另一组对应边平行
B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边不可能垂直
D．以上都不对
解析：选D．另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．
2．已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
解析：选A． 因为a∥b，b∥c，所以a∥c.又c∥d，所以a∥d.故选A．
3．在三棱锥P-ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选D．由题意可知DE∥PB，EF∥BC，所以∠DEF＝∠PBC＝90°.
4．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行 D．OB与O1B1不一定平行
解析：选D．OB与O1B1不一定平行，如图所示，OA∥O1A1，∠AOB＝∠A1O1B1.
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D，平面CC1D1D的中心，G，H分别是边AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：选C．如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.故选C．
6．(多选)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图)，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立的是( )
A．l与AD平行 B．l与AD相交
C．l与AC平行 D．l与BD平行
解析：选CD． 假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，
知l∥B1C1，
这与l与B1C1不平行矛盾，
所以l与AD不平行．
又l在上底面中，AD在下底面中，
故l与AD无公共点，故l与AD不相交．
C，D可以成立．
7．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．
解析：在△ABC中，因为AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC.
又因为BC∥B1C1，所以EF∥B1C1.
答案：平行
8．已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
③若a 平面α，b 平面β，则a，b一定是异面直线；
④若a，b与c成等角，则a∥b.
其中正确的是________．(填序号)
解析：由基本事实4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可能相交、平行或异面，故②不正确；当a 平面α，b 平面β时，a与b可能平行、相交或异面，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可能相交、平行，也可能异面，故④不正确．
答案：①
9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线．
(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；
(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．
解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同．
(2)B1D1∥DB且方向相反，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．
答案：(1)∠D1B1C1 (2)∠B1D1A1
10．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，点E1，F1分别是棱A1D1，C1D1的中点．
求证：EE1∥FF1.
证明：连接EF，E1F1，A1C1，AC，
由长方体ABCD-A1B1C1D1知，
AC綉A1C1，
因为点E，F分别是棱AB，BC的中点，所以由三角形中位线定理得：
EF綉AC，
同理E1F1綉A1C1，
所以EF綉E1F1，则四边形EFF1E1为平行四边形，
故EE1∥FF1.
[B 能力提升]
11．(多选)(2022·山东滕州高二期中)如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是( )
A．M，N，P，Q四点共面 B．∠QME＝∠DBC
C．△BCD∽△MEQ D．四边形MNPQ为梯形
解析：选ABC．对于A选项，由基本事实4易得MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B选项，根据等角定理，得∠QME＝∠DBC，故B正确；对于C选项，由等角定理，知∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C正确；由三角形中位线的性质知MQ∥BD，MQ＝BD，NP∥BD，NP＝BD，所以MQ綉NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D不正确．故选ABC．
12．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是________．
解析：因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥CD，所以∠A1AB与∠D1DC相等．又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等．
答案：∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B
13．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为________．
解析：因为E，H分别是空间四边形ABCD中的边AB，DA的中点，所以EH∥BD，且EH＝BD，同理FG∥BD，且FG＝BD.所以EH＝FG＝BD＝1，同理EF＝GH＝AC＝2，所以四边形EFGH的周长为6.
答案：6
14．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．求证：
(1)D1E∥BF；
(2)∠B1BF＝∠A1ED1.
证明：(1)如图，取BB1的中点M，连接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，EM＝A1B1，
因为A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EM∥C1D1，EM＝C1D1，
所以四边形EMC1D1为平行四边形，所以D1E∥MC1.
在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，MB＝C1F.
所以四边形MBFC1为平行四边形，所以BF∥MC1，所以D1E∥BF.
(2)因为D1E∥BF，BB1∥EA1，
又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，所以∠B1BF＝∠A1ED1.
[C 拓展冲刺]
15．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________．
解析：如题图，＝＝＝，
可证AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.
由等角定理得∠CAB＝∠C′A′B′，
∠ACB＝∠A′C′B′，所以△ABC∽△A′B′C′，
所以＝，所以＝×＝.
答案：
16．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．
解：如图所示，在面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，
交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．
理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，
所以EF∥BC.
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8．5 空间直线、平面的平行
8．5.1 直线与直线平行
学习指导 核心素养
1.了解基本事实． 2.理解等角定理，并会用其解决有关问题． 1.数学抽象：基本事实4和等角定理的理解． 2.直观想象、逻辑推理：应用基本事实4和等角定理证明两直线的平行．
知识点一 基本事实4
(1)内容：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质通常叫做平行线的传递性．
(2)符号表示： a∥c.
如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形．
证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．
(2)利用基本事实4，即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b.
如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：四边形MNA1C1是梯形．
知识点二 等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
如图所示，点A1，B1，C1分别是不共面的三条射线OA，OB，OC上的点，且＝＝.求证：△A1B1C1∽△ABC.
空间角相等的证明方法
(1)等角定理是较常用的方法，等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能．
(2)转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点．求证：∠PNA1＝∠BCM.
1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )
A．60° B．120°
C．30° D．60°或120°
2．如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
3．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )
A．全等 B．不相似
C．仅有一个角相等 D．相似
4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AD的中点，N是B1C1的中点，求证：CM∥A1N.
[A 基础达标]
1．两等角的一组对应边平行，则( )
A．另一组对应边平行
B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边不可能垂直
D．以上都不对
2．已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
3．在三棱锥P-ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行 D．OB与O1B1不一定平行
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D，平面CC1D1D的中心，G，H分别是边AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
6．(多选)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图)，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立的是( )
A．l与AD平行 B．l与AD相交
C．l与AC平行 D．l与BD平行
7．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．
8．已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
③若a 平面α，b 平面β，则a，b一定是异面直线；
④若a，b与c成等角，则a∥b.
其中正确的是________．(填序号)
9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线．
(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；
(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．
10．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，点E1，F1分别是棱A1D1，C1D1的中点．
求证：EE1∥FF1.
[B 能力提升]
11．(多选)(2022·山东滕州高二期中)如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是( )
A．M，N，P，Q四点共面 B．∠QME＝∠DBC
C．△BCD∽△MEQ D．四边形MNPQ为梯形
12．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是________．
13．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为________．
14．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．求证：
(1)D1E∥BF；
(2)∠B1BF＝∠A1ED1.
[C 拓展冲刺]
15．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________．
16．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．
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