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8．5.2 直线与平面平行
学习指导 核心素养
1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的关系． 2．归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理，并加以证明． 1.数学抽象、直观想象：直线与平面平行的判定及性质定理的理解． 2．逻辑推理：利用判定定理和性质定理证明空间平行问题．
知识点一 直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言 a α，b α，且a∥b a∥α
图形语言
(1)定理中的三个条件“a α，b α，a∥b”缺一不可．
(2)实质是线线平行 线面平行．
如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，D，E分别是AB，B1C的中点．
求证：DE∥平面ACC1A1.
【证明】 连接BC1，AC1，因为ABC-A1B1C1是斜三棱柱，所以四边形BCC1B1为平行四边形，由平行四边形性质得点E也是BC1的中点．
因为点D是AB的中点，所以DE∥AC1.
又DE 平面ACC1A1，AC1 平面ACC1A1.
所以DE∥平面ACC1A1.
应用判定定理证明线面平行的步骤
如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.
证明：如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
因为G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，
所以GN∥DC，GN＝DC.
因为M为平行四边形ABCD的边AB的中点，
所以AM＝DC，AM∥DC，所以AM∥GN，AM＝GN，
所以四边形AMNG为平行四边形，
所以MN∥AG.
又因为MN 平面PAD，AG 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
知识点二 直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
图形语言
(1)定理中的三个条件“a∥α，a β，α∩β＝b”缺一不可．
(2)实质是线面平行 线线平行．
如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形．
【证明】 因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，AB 平面ABC，所以AB∥MN，同理AB∥PQ，
所以MN∥PQ，同理MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形．
利用线面平行的性质定理解题的步骤
如图所示，过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：BB1∥EE1.
证明：因为BB1∥CC1，BB1 平面CDD1C1，CC1 平面CDD1C1，
所以BB1∥平面CDD1C1.
又BB1 平面BEE1B1，
且平面BEE1B1∩平面CDD1C1＝EE1，
所以BB1∥EE1.
考点 线面平行的判定与性质的综合应用
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．
【解】 若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF，如图所示．
因为BF∥平面AA1C1C，
BF 平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB 平面FBMN，
平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，
所以四边形BFNM是平行四边形，
所以MN∥BF，MN＝BF＝1.
而EC∥FB，EC＝2FB＝2，
所以MN∥EC，MN＝EC＝1，
故MN是△ACE的中位线．
所以M是AC的中点时，MB∥平面AEF.
关于线面平行关系的综合应用
判定和性质之间的推理关系是由线线平行 线面平行 线线平行得来的，既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空间和平面之间的相互转化．
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，点E是棱AD的中点．点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF.求实数λ的值．
解：如图，连接AC，设AC∩BE＝G，连接FG，则平面SAC∩平面EFB＝FG.
因为SA∥平面BEF，SA 平面SAC，平面SAC∩平面EFB＝FG，所以SA∥FG，
所以＝，
因为AE∥BC，
所以△GEA∽△GBC，
又因为E为AD中点，
所以＝＝，所以＝＝，
即SF＝SC，所以λ＝.
1．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A．m∥α，m∥n n∥α B．m∥α，n∥α m∥n
C．m∥α，m β，α∩β＝n m∥n D．m∥α，n α m∥n
解析：选C． A中，n还有可能在平面α内；B中，m，n可能相交、平行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确；D中，m，n可能异面．
2．如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A．EF与BC相交 B．EF∥BC
C．EF与BC异面 D．以上均有可能
解析：选B．因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，所以EF∥BC.
3．已知l，m是两条不同的直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．
解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l α”．
答案：l α
4．如图，在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，求证：MN∥平面ADE.
证明：因为M，N分别是BF，BC的中点，所以MN∥CF. 又因为四边形CDEF为矩形，
所以CF∥DE.所以MN∥DE.
又MN 平面ADE，DE 平面ADE，
所以MN∥平面ADE.
[A 基础达标]
1．若l∥平面α，m α，则l与m的关系是( )
A．l∥m B．l与m异面
C．l∩m≠ D．l∩m＝
解析：选D． l与m可以异面或平行，即l∩m＝ .
2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行 B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点
解析：选A．由直线l∥平面α，过l作平面β且α∩β＝a，则l∥a，同理有l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，即交线均平行．故选A．
3．棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不相交
解析：选A．因为棱柱的侧棱是互相平行的，所以由直线与平面平行的判定定理可知，侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面平行．故选A．
4．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．直线AC在平面DEF内 D．不能确定
解析：选A．因为AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，所以EF∥AC.又EF 平面DEF，AC 平面DEF，所以AC∥平面DEF.
5．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是 ( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
解析：选D．由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
6．(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系可能是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．共面
解析：选AB．因为AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，所以CD∥平面α，所以直线CD与平面α内的直线没有公共点，直线CD与平面α内的直线的位置关系可能平行，也可能异面，故选AB．
7．如果直线m∥直线n，且m∥平面α，那么n与α的位置关系是________．
解析：由题意知，直线m∥直线n，且m∥平面α，
当n不在平面α内时，平面α内存在直线m′∥m，
则m′∥n，符合线面平行的判定定理，所以n∥α；
当n在平面α内时，也符合条件，所以n与α的位置关系为n∥α或n在平面α内．
答案：n∥α或n α
8．如图，E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过点E，F，G的截面平行的棱是________．
解析：因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD，又BD 平面EFG，EF 平面EFG，所以BD∥平面EFG.同理可得AC∥平面EFG.
很明显，CB，CD，AD，AB均与平面EFG相交．
答案：BD，AC
9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线DM与平面A1ACC1的位置关系是________，直线DM与平面BCC1B1的位置关系是________．
解析：因为M是A1D1的中点，所以直线DM与直线AA1相交，所以DM与平面A1ACC1有一个公共点，所以DM与平面A1ACC1相交．取B1C1中点M1，连接MM1，M1C(图略).因为MM1∥C1D1，C1D1∥CD，所以MM1∥CD.因为MM1＝C1D1，C1D1＝CD，所以MM1＝CD. 所以四边形DMM1C为平行四边形，所以DM∥CM1，又DM 平面BCC1B1，CM1 平面BCC1B1，所以DM∥平面BCC1B1.
答案：相交 平行
10．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.
证明：如图，连接AC1交A1C于点F，连接DF，则F为AC1的中点．
又D是AB的中点，则DF∥BC1.
因为DF 平面A1CD，BC1 平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
[B 能力提升]
11．(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列说法中正确的是( )
A．OM∥PD B．OM∥平面PCD
C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA
解析：选ABC．矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又OM 平面PCD，且OM 平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC均相交．
12．如图，直线a∥平面α，A是平面α的另一侧的点，点B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________．
解析：因为a∥α，α∩平面ABD＝EG，a 平面ABD，所以a∥EG，即BD∥EG，所以＝＝，则EG＝＝＝.
答案：
13．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1＝8，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝8. 点P在棱AA1上，且AP＝2.若EF∥平面PBD，则CF＝________．
解析：连接AC，交BD于点O，连接PO(图略).因为EF∥平面PBD，EF 平面EACF，平面EACF∩平面PBD＝PO，所以EF∥PO.在PA1上截取PQ＝AP＝2，连接QC，则QC∥PO，所以EF∥QC，所以易知四边形EFCQ为平行四边形，则CF＝EQ.又AE＋CF＝8，AE＋A1E＝8，所以A1E＝CF＝EQ＝(8-AQ)＝2，故CF＝2.
答案：2
14．如图，在四面体ABCD中，已知△ABD是边长为2的等边三角形，△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中点，G为线段BD的中点，F为线段BD上的点．若AG∥平面CEF，求线段CF的长．
解：因为AG∥平面CEF，AG 平面ABD，平面CEF∩平面ABD＝EF，
所以AG∥EF.
又因为E为线段AB的中点，所以F为线段BG的中点，
因为G为线段BD的中点，且BD＝2，所以GF＝.
连接CG(图略)，因为△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，所以CG＝BD＝1.
在Rt△CGF中，CF＝＝.
[C 拓展冲刺]
15．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件________时，A1P∥平面BCD.(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)
解析：如图，取CC1中点P，连接A1P.
因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，点P为CC1中点，所以A1D綉CP，所以四边形A1DCP是平行四边形，所以A1P∥CD.
因为A1P 平面BCD，CD 平面BCD，
所以A1P∥平面BCD.
答案：P为CC1中点
16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，点M在棱PD上．
(1)求证：CD∥平面PAB；
(2)若PB∥平面MAC，求的值．
解：(1)证明：因为CD∥AB，CD 平面PAB，AB 平面PAB，所以CD∥平面PAB.
(2)连接BD交AC于点O，连接MO.
因为PB∥平面MAC，且PB 平面PBD，平面PBD∩平面MAC＝MO，
所以PB∥MO，
所以△DOM∽△DBP，
所以＝.
因为CD∥AB，易得△COD∽△AOB，
则＝＝2，所以＝2.
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8．5.2 直线与平面平行
学习指导 核心素养
1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的关系． 2．归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理，并加以证明． 1.数学抽象、直观想象：直线与平面平行的判定及性质定理的理解． 2．逻辑推理：利用判定定理和性质定理证明空间平行问题．
知识点一 直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言 a α，b α，且a∥b a∥α
图形语言
(1)定理中的三个条件“a α，b α，a∥b”缺一不可．
(2)实质是线线平行 线面平行．
如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，D，E分别是AB，B1C的中点．
求证：DE∥平面ACC1A1.
应用判定定理证明线面平行的步骤
如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.
知识点二 直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
图形语言
(1)定理中的三个条件“a∥α，a β，α∩β＝b”缺一不可．
(2)实质是线面平行 线线平行．
如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形．
利用线面平行的性质定理解题的步骤
如图所示，过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：BB1∥EE1.
考点 线面平行的判定与性质的综合应用
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．
关于线面平行关系的综合应用
判定和性质之间的推理关系是由线线平行 线面平行 线线平行得来的，既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空间和平面之间的相互转化．
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，点E是棱AD的中点．点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF.求实数λ的值．
1．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A．m∥α，m∥n n∥α B．m∥α，n∥α m∥n
C．m∥α，m β，α∩β＝n m∥n D．m∥α，n α m∥n
2．如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A．EF与BC相交 B．EF∥BC
C．EF与BC异面 D．以上均有可能
3．已知l，m是两条不同的直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．
4．如图，在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，求证：MN∥平面ADE.
[A 基础达标]
1．若l∥平面α，m α，则l与m的关系是( )
A．l∥m B．l与m异面
C．l∩m≠ D．l∩m＝
2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行 B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点
3．棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不相交
4．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．直线AC在平面DEF内 D．不能确定
5．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是 ( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
6．(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系可能是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．共面
7．如果直线m∥直线n，且m∥平面α，那么n与α的位置关系是________．
8．如图，E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过点E，F，G的截面平行的棱是________．
9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线DM与平面A1ACC1的位置关系是________，直线DM与平面BCC1B1的位置关系是________．
10．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.
[B 能力提升]
11．(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列说法中正确的是( )
A．OM∥PD B．OM∥平面PCD
C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA
12．如图，直线a∥平面α，A是平面α的另一侧的点，点B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________．
13．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1＝8，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝8. 点P在棱AA1上，且AP＝2.若EF∥平面PBD，则CF＝________．
14．如图，在四面体ABCD中，已知△ABD是边长为2的等边三角形，△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中点，G为线段BD的中点，F为线段BD上的点．若AG∥平面CEF，求线段CF的长．
[C 拓展冲刺]
15．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件________时，A1P∥平面BCD.(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)
16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，点M在棱PD上．
(1)求证：CD∥平面PAB；
(2)若PB∥平面MAC，求的值．
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8．5 空间直线、平面的平行
8.5.2 直线与平面平行
第八章 立体几何初步
学习指导 核心素养
1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的关系． 2．归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理，并加以证明． 1.数学抽象、直观想象：直线与平面平行的判定及性质定理的理解．
2．逻辑推理：利用判定定理和性质定理证明空间平行问题．
01
必备知识 落实
知识点一 直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果平面____一条直线与此平面____的一条直线______，那么该直线与此平面平行
符号语言 ____________________ a∥α
图形语言
外
内
平行
a α，b α，且a∥b
(1)定理中的三个条件“a α，b α，a∥b”缺一不可．
(2)实质是线线平行 线面平行．
如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，D，E分别是AB，B1C的中点．
求证：DE∥平面ACC1A1.
【证明】 连接BC1，AC1，因为ABC-A1B1C1是斜三棱柱，
所以四边形BCC1B1为平行四边形，由平行四边形性质得
点E也是BC1的中点．
因为点D是AB的中点，所以DE∥AC1.
又DE 平面ACC1A1，AC1 平面ACC1A1.
所以DE∥平面ACC1A1.
应用判定定理证明线面平行的步骤
如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面
ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．
求证：MN∥平面PAD.
所以四边形AMNG为平行四边形，
所以MN∥AG.
又因为MN 平面PAD，AG 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
知识点二 直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面______，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与______平行
符号语言 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
图形语言
平行
交线
(1)定理中的三个条件“a∥α，a β，α∩β＝b”缺一不可．
(2)实质是线面平行 线线平行．
如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形．
【证明】 因为AB∥平面MNPQ，
平面ABC∩平面MNPQ＝MN，AB 平面ABC，
所以AB∥MN，同理AB∥PQ，
所以MN∥PQ，同理MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形．
利用线面平行的性质定理解题的步骤
如图所示，过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：BB1∥EE1.
证明：因为BB1∥CC1，BB1 平面CDD1C1，CC1 平面CDD1C1，
所以BB1∥平面CDD1C1.
又BB1 平面BEE1B1，
且平面BEE1B1∩平面CDD1C1＝EE1，
所以BB1∥EE1.
02
关键能力 提升
考点 线面平行的判定与性质的综合应用
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．
【解】 若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF，如图所示．
因为BF∥平面AA1C1C，
BF 平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，
所以BF∥MN.
关于线面平行关系的综合应用
判定和性质之间的推理关系是由线线平行 线面平行 线线平行得来的，既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空间和平面之间的相互转化．
03
课堂巩固 自测
1．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A．m∥α，m∥n n∥α B．m∥α，n∥α m∥n
C．m∥α，m β，α∩β＝n m∥n D．m∥α，n α m∥n
解析：A中，n还有可能在平面α内；
B中，m，n可能相交、平行、异面；
由线面平行的性质定理可得C正确；
D中，m，n可能异面．
√
2．如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，
且EF∥平面ABC，则( )
A．EF与BC相交 B．EF∥BC
C．EF与BC异面 D．以上均有可能
解析：因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，所以EF∥BC.
√
3．已知l，m是两条不同的直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．
解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l α”．
答案：l α
4．如图，在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，
M，N分别是BF，BC的中点，求证：MN∥平面ADE.
证明：因为M，N分别是BF，BC的中点，所以MN∥CF. 又因为四边形CDEF为矩形，
所以CF∥DE.所以MN∥DE.
又MN 平面ADE，DE 平面ADE，
所以MN∥平面ADE.
04
课后达标 检测
[A 基础达标]
1．若l∥平面α，m α，则l与m的关系是( )
A．l∥m B．l与m异面
C．l∩m≠ D．l∩m＝
解析：l与m可以异面或平行，即l∩m＝ .
√
2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行 B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点
解析：由直线l∥平面α，过l作平面β且α∩β＝a，则l∥a，同理有l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，即交线均平行．故选A．
√
3．棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不相交
解析：因为棱柱的侧棱是互相平行的，所以由直线与平面平行的判定定理可知，侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面平行．故选A．
√
4．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．直线AC在平面DEF内 D．不能确定
解析：因为AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，所以EF∥AC.又EF 平面DEF，AC 平面DEF，所以AC∥平面DEF.
√
5．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是 ( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
解析：由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
√
6．(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系可能是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．共面
解析：因为AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，所以CD∥平面α，所以直线CD与平面α内的直线没有公共点，直线CD与平面α内的直线的位置关系可能平行，也可能异面，故选AB．
√
√
7．如果直线m∥直线n，且m∥平面α，那么n与α的位置关系是________．
解析：由题意知，直线m∥直线n，且m∥平面α，
当n不在平面α内时，平面α内存在直线m′∥m，
则m′∥n，符合线面平行的判定定理，所以n∥α；
当n在平面α内时，也符合条件，所以n与α的位置关系为n∥α或n在平面α内．
答案：n∥α或n α
8．如图，E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中
点，则此四面体中与过点E，F，G的截面平行的棱是_____．
解析：因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD，
又BD 平面EFG，EF 平面EFG，所以BD∥平面EFG.同理可得AC∥平面EFG.
很明显，CB，CD，AD，AB均与平面EFG相交．
答案：BD，AC
9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则
直线DM与平面A1ACC1的位置关系是________，直线DM与平
面BCC1B1的位置关系是________．
解析：因为M是A1D1的中点，所以直线DM与直线AA1相交，所以DM与平面A1ACC1有一个公共点，所以DM与平面A1ACC1相交．取B1C1中点M1，连接MM1，M1C(图略).因为MM1∥C1D1，C1D1∥CD，所以MM1∥CD.因为MM1＝C1D1，C1D1＝CD，所以MM1＝CD. 所以四边形DMM1C为平行四边形，所以DM∥CM1，又DM 平面BCC1B1，CM1 平面BCC1B1，所以DM∥平面BCC1B1.
答案：相交 平行
10．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点．
证明：BC1∥平面A1CD.
证明：如图，连接AC1交A1C于点F，连接DF，
则F为AC1的中点．
又D是AB的中点，则DF∥BC1.
因为DF 平面A1CD，BC1 平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
[B 能力提升]
11．(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列说法中正确的是( )
A．OM∥PD B．OM∥平面PCD
C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA
√
√
√
解析：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又OM 平面PCD，且OM 平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC均相交．
12．如图，直线a∥平面α，A是平面α的另一侧的点，点B，C，
D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G，若BD＝4，
CF＝4，AF＝5，则EG＝________．
13．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1＝8，E，F分别
是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝8. 点P在棱AA1上，
且AP＝2.若EF∥平面PBD，则CF＝________．
答案：2
14．如图，在四面体ABCD中，已知△ABD是边长为2的等
边三角形，△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，
E为线段AB的中点，G为线段BD的中点，F为线段BD上的点．
若AG∥平面CEF，求线段CF的长．
[C 拓展冲刺]
15．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，点P在
侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件________时，A1P∥
平面BCD.(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)
解析：如图，取CC1中点P，连接A1P.
因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，
点P为CC1中点，所以A1D綉CP，
所以四边形A1DCP是平行四边形，所以A1P∥CD.
因为A1P 平面BCD，CD 平面BCD，
所以A1P∥平面BCD.
答案：P为CC1中点
16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，
AB∥CD，AB＝4，CD＝2，点M在棱PD上．
(1)求证：CD∥平面PAB；
证明：因为CD∥AB，CD 平面PAB，AB 平面PAB，
所以CD∥平面PAB.
