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8．5.3 平面与平面平行
学习指导 核心素养
1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观图感知，了解空间中平面与平面的平行关系． 2．归纳出平面与平面平行的判定定理并加以证明． 1.数学抽象、直观想象：平面与平面平行的判定定理的理解． 2．逻辑推理：利用面面平行的判定定理及性质定理证明平行关系．
第1课时 平面与平面平行的判定
知识点 平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
图形语言
(1)该定理简记为“线面平行，则面面平行”．
(2)定理中“两条直线相交”是必不可少的．
已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( )
A．平面α内有一条直线与平面β平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
【解析】 选项A，C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面(不重合)的位置关系只有相交与平行两种，又因为两个平面不相交，所以这两个平面必定平行．故选D．
【答案】 D
(1)在判定两个平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．
(2)借助于常见几何体(如正方体)进行分析．
设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加的条件是( )
A．n是直线且n α，n∥β
B．n，m是异面直线且n∥β
C．n，m是相交直线且n α，n∥β
D．n，m是平行直线且n α，n∥β
解析：选C．要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，n，m是相交直线且n α，n∥β，m α，m∥β，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C．
考点 平面与平面平行的判定
如图，在三棱锥P-ABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，证明：平面GFE∥平面PCB.
【证明】 因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，
所以EF∥BC，GF∥CP.
因为EF，GF 平面PCB，BC，CP 平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.
又EF∩GF＝F，EF，GF 平面GFE，
所以平面GFE∥平面PCB.
如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，P，Q分别是CC1，C1D1的中点，求证：平面AD1C∥平面BPQ.
【证明】 因为D1QCD，
ABCD，所以D1QAB，
所以四边形D1QBA为平行四边形，
所以D1A∥QB.
因为Q，P分别为C1D1，CC1的中点，
所以QP∥D1C.
因为D1C∩D1A＝D1，QP∩QB＝Q，
所以平面AD1C∥平面BPQ.
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化法：转化为线面平行，平面α内的两条相交直线分别与平面β内的两条相交直线平行，则α∥β.
(4)利用平面平行的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，E，F，G，H分别是BC，CC1，B1C1，BB1的中点．求证：平面A1GH∥平面AEF.
证明：连接BC1(图略)，
因为E，F，G，H分别是BC，CC1，B1C1，BB1的中点，
所以GH∥BC1，EF∥BC1，所以GH∥EF，
又EF 平面AEF，GH 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因为G，E分别为B1C1，BC的中点，所以A1G∥AE，
又AE 平面AEF，A1G 平面AEF，
所以A1G∥平面AEF.
因为A1G∩GH＝G，且A1G，GH 平面A1GH，
所以平面A1GH∥平面AEF.
1．已知α，β是两个不重合的平面，直线a α，命题p：a∥β，命题q：α∥β，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B．a α，a∥β，α，β可以相交，不平行；由面面平行的定义可知，若α∥β且a α，则a∥β.故p是q的必要不充分条件．故选B．
2．在长方体ABCD-A′B′C′D′中，下列结论正确的是( )
A．平面ABCD∥平面ABB′A′ B．平面ABCD∥平面ADD′A′
C．平面ABCD∥平面CDD′C′ D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′
解析：选D．由长方体的模型知平面ABCD∥平面A′B′C′D′.故选D．
3．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O为BD的中点，P是DD1的中点，Q是CC1的中点，求证：平面D1BQ∥平面PAO.
证明：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，由Q为CC1的中点，P为DD1的中点，易得QB∥PA.
因为QB 平面PAO，PA 平面PAO，所以QB∥平面PAO.
因为P，O分别为DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，
又D1B 平面PAO，PO 平面PAO，
所以D1B∥平面PAO.因为D1B∩QB＝B，且D1B，QB 平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.
[A 基础达标]
1．下列命题中正确的是( )
A．一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
解析：选B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，故选B．
2．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：
① α∥β； ② α∥β；
③ a∥α； ④ a∥β.
其中正确的是( )
A．①②③ B．①④
C．② D．①③④
解析：选C．①α与β有可能相交；②正确；③有可能a α；④有可能a β.故选C．
3．经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作( )
A．0个 B．1个
C．0个或1个 D．1个或2个
解析：选C．连接平面外的两点的直线，当该直线与平面平行时，过该直线的平行平面有1个，当该直线与平面相交时，过该直线的平行平面有0个．
4．如图，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不确定
解析：选A．因为E1和F1分别是A1B1和C1D1的中点，所以A1D1∥E1F1.又因为A1D1 平面BCF1E1，E1F1 平面BCF1E1，所以A1D1∥平面BCF1E1.又因为E1和E分别是A1B1和AB的中点，所以A1E1∥BE，且A1E1＝BE，所以四边形A1EBE1是平行四边形，所以A1E∥BE1.又因为A1E 平面BCF1E1，BE1 平面BCF1E1，所以A1E∥平面BCF1E1.因为A1E 平面EFD1A1，A1D1 平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
5．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1 B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1 D．平面E1HG1与平面EH1G
解析：选A．如图，因为EG∥E1G1，EG 平面E1FG1，E1G1 平面E1FG1，
所以EG∥平面E1FG1.
又G1F∥H1E，
同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E，EG 平面EGH1，
所以平面E1FG1∥平面EGH1.
6．(多选)如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中( )
A．平面EFGH∥平面ABCD B．BC∥平面PAD
C．AB∥平面PCD D．平面PAD∥平面PAB
解析：选ABC．把平面展开图还原为四棱锥如图所示，因为E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，所以EH∥FG，所以E，F，G，H在同一平面．
因为EH∥AB，又EH 平面ABCD，AB 平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.
同理可证EF∥平面ABCD，
又EF∩EH＝E，EF，EH 平面EFGH，
所以平面EFGH∥平面ABCD，故选项A正确；因为AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD，同理BC∥平面PAD，故选项B，C正确；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交，故选项D错误．
7．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________．(填“平行”或“相交”)
解析：若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾．故α∥β.
答案：平行
8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为________．
解析：因为AB1∥C1D，AD1∥BC1，AB1 平面AB1D1，AD1 平面AB1D1，AB1∩AD1＝A，C1D 平面BC1D，BC1 平面BC1D，C1D∩BC1＝C1，由面面平行的判定定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D.
答案：平行
9．如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，BDEF是矩形，求证：平面BCF∥平面AED.
证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BC∥AD.因为BC 平面ADE，AD 平面ADE，所以BC∥平面ADE.又因为四边形BDEF是矩形，所以BF∥DE.因为BF 平面ADE，DE 平面ADE，所以BF∥平面ADE.因为BC 平面BCF，BF 平面BCF，BC∩BF＝B，所以平面BCF∥平面AED.
[B 能力提升]
10．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1的中点，过点A1作与截面PBC1平行的截面，所得截面的面积是________．
解析：如图，取AB，C1D1的中点E，F，连接A1E，A1F，EF，则平面A1EF∥平面PBC1.
在△A1EF中，
A1F＝A1E＝，EF＝2，
S△A1EF＝×2×＝，
连接EC，CF，平面A1EF即为平面A1ECF，
从而所得截面面积为2S△A1EF＝2.
答案：2
11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上，且BP＝BD1.
则以下四个说法：
①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；
③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.
其中说法正确的是________．(填序号)
解析：①中，由题意得MN∥AC，连接AM，CN(图略)，得AM，CN交于点P，即MN 平面APC，所以MN∥平面APC是错误的；
②中，将平面APC延展，可知AN在平面APC上，
因为AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC是正确的；
③中，由①得A，P，M三点共线是正确的；
④中，直线AP延长到M，则M既在平面MNQ内，又在平面APC内，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．
答案：②③
12．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：如图所示，连接SB，SD.
因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD.
又因为SD 平面BDD1B1，FG 平面BDD1B1，
所以FG∥平面BDD1B1.
同理可证EG∥平面BDD1B1，
又因为EG，FG 平面EFG，EG∩FG＝G，
所以平面EFG∥平面BDD1B1.
[C 拓展冲刺]
13．在三棱台A1B1C1-ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是( )
A．△A1B1C1边界的一部分 B．一个点
C．线段的一部分 D．圆的一部分
解析：选C．如图，过D作DE∥A1C1交B1C1于点E，连接BE，因为BD∥AA1，BD 平面A1ACC1，AA1 平面A1ACC1，
所以BD∥平面A1ACC1，
同理DE∥平面A1ACC1，
又BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，
所以平面BDE∥平面A1ACC1，所以M∈DE(M不与D重合，否则没有平面BDM)，故选C．
14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．
(1)求证：EF∥面BCC1B1；
(2)在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1，证明你的结论．
解：(1)证明：因为E，F分别为线段AC1，A1C1的中点，所以EF∥A1A.
因为B1B∥A1A，所以EF∥B1B.
又因为EF 平面BCC1B1，B1B 平面BCC1B1，
所以EF∥平面BCC1B1.
(2)存在．理由如下：取BC1中点为G，连接GE，GF，又因为E为AC1的中点，所以GE∥AB.
因为EG 平面A1B1BA，AB 平面A1B1BA，
所以EG∥平面ABB1A1.
同理可证：EF∥平面ABB1A1.
又因为EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，所以平面EFG∥平面ABB1A1.
所以在线段BC1上存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1.
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8．5 空间直线、平面的平行
8.5.3 平面与平面平行
第八章 立体几何初步
学习指导 核心素养
1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观图感知，了解空间中平面与平面的平行关系． 2．归纳出平面与平面平行的判定定理并加以证明． 1.数学抽象、直观想象：平面与平面平行的判定定理的理解．
2．逻辑推理：利用面面平行的判定定理及性质定理证明平行关系．
第1课时 平面与平面平行的判定
01
必备知识 落实
知识点 平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的两条__________与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 __________________________________ β∥α
图形语言
相交直线
a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α
(1)该定理简记为“线面平行，则面面平行”．
(2)定理中“两条直线相交”是必不可少的．
已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( )
A．平面α内有一条直线与平面β平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
√
【解析】 选项A，C不正确，因为两个平面可能相交；
选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；
选项D正确，因为两个平面(不重合)的位置关系只有相交与平行两种，又因为两个平面不相交，所以这两个平面必定平行．故选D．
(1)在判定两个平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．
(2)借助于常见几何体(如正方体)进行分析．
设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加的条件是( )
A．n是直线且n α，n∥β
B．n，m是异面直线且n∥β
C．n，m是相交直线且n α，n∥β
D．n，m是平行直线且n α，n∥β
解析：要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，n，m是相交直线且n α，n∥β，m α，m∥β，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C．
√
02
关键能力 提升
考点 平面与平面平行的判定
如图，在三棱锥P-ABC中，E，F，G分别是AB，
AC，AP的中点，证明：平面GFE∥平面PCB.
【证明】 因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，
所以EF∥BC，GF∥CP.
因为EF，GF 平面PCB，BC，CP 平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.
又EF∩GF＝F，EF，GF 平面GFE，
所以平面GFE∥平面PCB.
如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD
是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，P，Q分别是CC1，C1D1的中点，
求证：平面AD1C∥平面BPQ.
因为Q，P分别为C1D1，CC1的中点，
所以QP∥D1C.
因为D1C∩D1A＝D1，QP∩QB＝Q，
所以平面AD1C∥平面BPQ.
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化法：转化为线面平行，平面α内的两条相交直线分别与平面β内的两条相交直线平行，则α∥β.
(4)利用平面平行的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，
E，F，G，H分别是BC，CC1，B1C1，BB1的中点．
求证：平面A1GH∥平面AEF.
证明：连接BC1(图略)，
因为E，F，G，H分别是BC，CC1，B1C1，BB1的中点，
所以GH∥BC1，EF∥BC1，所以GH∥EF，
又EF 平面AEF，GH 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因为G，E分别为B1C1，BC的中点，所以A1G∥AE，
又AE 平面AEF，A1G 平面AEF，
所以A1G∥平面AEF.
因为A1G∩GH＝G，且A1G，GH 平面A1GH，
所以平面A1GH∥平面AEF.
03
课堂巩固 自测
1．已知α，β是两个不重合的平面，直线a α，命题p：a∥β，命题q：α∥β，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：a α，a∥β，α，β可以相交，不平行；由面面平行的定义可知，若α∥β且a α，则a∥β.故p是q的必要不充分条件．故选B．
√
2．在长方体ABCD-A′B′C′D′中，下列结论正确的是( )
A．平面ABCD∥平面ABB′A′ B．平面ABCD∥平面ADD′A′
C．平面ABCD∥平面CDD′C′ D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′
解析：由长方体的模型知平面ABCD∥平面A′B′C′D′.故选D．
√
3．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O为BD的中点，P是DD1的中点，Q是CC1的中点，求证：平面D1BQ∥平面PAO.
证明：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，由Q为CC1的中点，
P为DD1的中点，易得QB∥PA.
因为QB 平面PAO，PA 平面PAO，所以QB∥平面PAO.
因为P，O分别为DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，
又D1B 平面PAO，PO 平面PAO，
所以D1B∥平面PAO.因为D1B∩QB＝B，且D1B，QB 平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.
04
课后达标 检测
[A 基础达标]
1．下列命题中正确的是( )
A．一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
解析：如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，故选B．
√
2．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：
① α∥β； ② α∥β；
③ a∥α； ④ a∥β.
其中正确的是( )
A．①②③ B．①④
C．② D．①③④
α∥c
β∥c
α∥c
a∥c
α∥γ
β∥γ
a∥γ
β∥γ
√
解析：①α与β有可能相交；
②正确；
③有可能a α；
④有可能a β.故选C．
3．经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作( )
A．0个 B．1个
C．0个或1个 D．1个或2个
解析：连接平面外的两点的直线，当该直线与平面平行时，过该直线的平行平面有1个，当该直线与平面相交时，过该直线的平行平面有0个．
√
4．如图，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1
的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面
BCF1E1的位置关系是( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不确定
√
解析：因为E1和F1分别是A1B1和C1D1的中点，所以A1D1∥E1F1.又因为A1D1 平面BCF1E1，E1F1 平面BCF1E1，所以A1D1∥平面BCF1E1.又因为E1和E分别是A1B1和AB的中点，所以A1E1∥BE，且A1E1＝BE，所以四边形A1EBE1是平行四边形，所以A1E∥BE1.又因为A1E 平面BCF1E1，BE1 平面BCF1E1，所以A1E∥平面BCF1E1.因为A1E 平面EFD1A1，A1D1 平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
5．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1 B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1 D．平面E1HG1与平面EH1G
解析：如图，因为EG∥E1G1，EG 平面E1FG1，E1G1 平面E1FG1，
所以EG∥平面E1FG1.
又G1F∥H1E，
同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E，EG 平面EGH1，
所以平面E1FG1∥平面EGH1.
√
6．(多选)如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为
正方形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，
则在原四棱锥中( )
A．平面EFGH∥平面ABCD B．BC∥平面PAD
C．AB∥平面PCD D．平面PAD∥平面PAB
√
√
√
解析：把平面展开图还原为四棱锥如图所示，因为E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，所以EH∥FG，所以E，F，G，H在同一平面．
因为EH∥AB，又EH 平面ABCD，AB 平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.
同理可证EF∥平面ABCD，
又EF∩EH＝E，EF，EH 平面EFGH，
所以平面EFGH∥平面ABCD，故选项A正确；
因为AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD，同理BC∥平面PAD，故选项B，C正确；
平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交，故选项D错误．
7．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________．(填“平行”或“相交”)
解析：若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾．故α∥β.
答案：平行
8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为________．
解析：因为AB1∥C1D，AD1∥BC1，AB1 平面AB1D1，AD1 平面AB1D1，AB1∩AD1＝A，C1D 平面BC1D，BC1 平面BC1D，C1D∩BC1＝C1，由面面平行的判定定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D.
答案：平行
9．如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，BDEF是矩
形，求证：平面BCF∥平面AED.
证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BC∥AD.因为BC 平面ADE，AD 平面ADE，所以BC∥平面ADE.又因为四边形BDEF是矩形，所以BF∥DE.因为BF 平面ADE，DE 平面ADE，所以BF∥平面ADE.因为BC 平面BCF，BF 平面BCF，BC∩BF＝B，所以平面BCF∥平面AED.
[B 能力提升]
10．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1的中点，过点A1作与截面PBC1平行的截面，所得截面的面积是________．
解析：①中，由题意得MN∥AC，连接AM，CN(图略)，得AM，CN交于点P，即MN 平面APC，所以MN∥平面APC是错误的；
②中，将平面APC延展，可知AN在平面APC上，
因为AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC是正确的；
③中，由①得A，P，M三点共线是正确的；
④中，直线AP延长到M，则M既在平面MNQ内，又在平面APC内，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．
答案：②③
12．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的
中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．
求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：如图所示，连接SB，SD.
因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD.
又因为SD 平面BDD1B1，FG 平面BDD1B1，
所以FG∥平面BDD1B1.
同理可证EG∥平面BDD1B1，
又因为EG，FG 平面EFG，EG∩FG＝G，
所以平面EFG∥平面BDD1B1.
[C 拓展冲刺]
13．在三棱台A1B1C1-ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是( )
A．△A1B1C1边界的一部分 B．一个点
C．线段的一部分 D．圆的一部分
√
解析：如图，过D作DE∥A1C1交B1C1于点E，连接BE，因为BD∥AA1，BD 平面A1ACC1，AA1 平面A1ACC1，
所以BD∥平面A1ACC1，
同理DE∥平面A1ACC1，
又BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，
所以平面BDE∥平面A1ACC1，所以M∈DE(M不与D重合，否则没有平面BDM)，故选C．
14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为线段
AC1，A1C1的中点．
(1)求证：EF∥面BCC1B1；
证明：因为E，F分别为线段AC1，A1C1的中点，
所以EF∥A1A.
因为B1B∥A1A，所以EF∥B1B.
又因为EF 平面BCC1B1，B1B 平面BCC1B1，
所以EF∥平面BCC1B1.
(2)在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1，证明你的结论．
解：存在．理由如下：取BC1中点为G，连接GE，GF，
又因为E为AC1的中点，所以GE∥AB.
因为EG 平面A1B1BA，AB 平面A1B1BA，
所以EG∥平面ABB1A1.
同理可证：EF∥平面ABB1A1.
又因为EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，所以平面EFG∥平面ABB1A1.
所以在线段BC1上存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1.中小学教育资源及组卷应用平台
8．5.3 平面与平面平行
学习指导 核心素养
1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观图感知，了解空间中平面与平面的平行关系． 2．归纳出平面与平面平行的判定定理并加以证明． 1.数学抽象、直观想象：平面与平面平行的判定定理的理解． 2．逻辑推理：利用面面平行的判定定理及性质定理证明平行关系．
第1课时 平面与平面平行的判定
知识点 平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
图形语言
(1)该定理简记为“线面平行，则面面平行”．
(2)定理中“两条直线相交”是必不可少的．
已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( )
A．平面α内有一条直线与平面β平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
(1)在判定两个平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．
(2)借助于常见几何体(如正方体)进行分析．
设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加的条件是( )
A．n是直线且n α，n∥β
B．n，m是异面直线且n∥β
C．n，m是相交直线且n α，n∥β
D．n，m是平行直线且n α，n∥β
考点 平面与平面平行的判定
如图，在三棱锥P-ABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，证明：平面GFE∥平面PCB.
如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，P，Q分别是CC1，C1D1的中点，求证：平面AD1C∥平面BPQ.
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化法：转化为线面平行，平面α内的两条相交直线分别与平面β内的两条相交直线平行，则α∥β.
(4)利用平面平行的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，E，F，G，H分别是BC，CC1，B1C1，BB1的中点．求证：平面A1GH∥平面AEF.
1．已知α，β是两个不重合的平面，直线a α，命题p：a∥β，命题q：α∥β，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．在长方体ABCD-A′B′C′D′中，下列结论正确的是( )
A．平面ABCD∥平面ABB′A′ B．平面ABCD∥平面ADD′A′
C．平面ABCD∥平面CDD′C′ D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′
3．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O为BD的中点，P是DD1的中点，Q是CC1的中点，求证：平面D1BQ∥平面PAO.
[A 基础达标]
1．下列命题中正确的是( )
A．一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
2．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：
① α∥β； ② α∥β；
③ a∥α； ④ a∥β.
其中正确的是( )
A．①②③ B．①④
C．② D．①③④
3．经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作( )
A．0个 B．1个
C．0个或1个 D．1个或2个
4．如图，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不确定
5．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1 B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1 D．平面E1HG1与平面EH1G
6．(多选)如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中( )
A．平面EFGH∥平面ABCD B．BC∥平面PAD
C．AB∥平面PCD D．平面PAD∥平面PAB
7．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________．(填“平行”或“相交”)
8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为________．
9．如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，BDEF是矩形，求证：平面BCF∥平面AED.
[B 能力提升]
10．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1的中点，过点A1作与截面PBC1平行的截面，所得截面的面积是________．
11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上，且BP＝BD1.
则以下四个说法：
①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；
③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.
其中说法正确的是________．(填序号)
12．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
[C 拓展冲刺]
13．在三棱台A1B1C1-ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是( )
A．△A1B1C1边界的一部分 B．一个点
C．线段的一部分 D．圆的一部分
14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．
(1)求证：EF∥面BCC1B1；
(2)在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1，证明你的结论．
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