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8．5 空间直线、平面的平行
8.5.3 平面与平面平行
第2课时 平面与平面平行的性质
第八章 立体几何初步
01
必备知识 落实
知识点 平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线______
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ______
图形语言
平行
a∥b
(1)该定理可简记：若面面平行，则线线平行．
(2)定理中有两个条件：①两个平行平面；②第三个平面和这两个平面相交，这两个条件缺一不可．
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯
形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
【证明】 因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，
BE 平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，
BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D，
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.
平面与平面平行的性质定理的解题步骤
1．若平面α∥平面β，l α，则l与β的位置关系是( )
A．l与β相交 B．l与β平行
C．l在β内 D．无法判定
解析：因为α∥β，l α，利用面面平行的定义及性质可得l∥β.故选B．
√
2．如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，
PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交
点，连接NF，求证：NF∥CM.
证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.
02
关键能力 提升
考点一 平行关系中的有关计算
如图，已知平面α∥β，P α，且P β，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
(变条件)将本例改为：若点P位于平面 α，β之间(如图)，其他条件不变，试求BD的长．
与平行的性质有关的计算的三个关键点
(1)根据已知的面面平行关系推出线线平行关系．
(2)在三角形内利用三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系．
(3)利用所得关系计算求值．
考点二 平行关系的综合问题
如图所示，在四棱锥C-ABED中，四边形ABED是正方
形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥平面ABC.
证明：由四边形ABED为正方形可知，连接AE必与BD相交于中点F(图略)，故GF∥AC.因为GF 平面ABC，AC 平面ABC，所以GF∥平面ABC.
(2)线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，请找出点H并证明；若不存在，请说明理由．
【解】 线段BC上存在一点H满足题意，且点H是BC的中点．
证明如下：取BC中点的H，连接GH，FH(图略)，由点G，H分别为CE，CB的中点，可得GH∥EB∥AD.
因为AD 平面ACD，GH 平面ACD，所以GH∥平面ACD.
因为GF∥AC，AC 平面ACD，GF 平面ACD.
所以GF∥平面ACD.
又GF∩GH＝G，GF，
GH 平面GFH，所以平面GFH∥平面ACD.
三种平行关系的转化
要灵活运用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中 ，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？并证明你的结论．
解：当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
证明如下：如图所示，取BB1的中点F，AB的中点E，连接EF，FD，DE.
因为E，F分别为AB，BB1的中点，
所以EF∥AB1.
因为AB1 平面AB1C1，
EF 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1.
又在 CBB1C1中，因为D，F分别为CC1，BB1的中点，所以DF∥B1C1.
因为B1C1 平面AB1C1，DF 平面AB1C1，
所以DF∥平面AB1C1.
因为EF∩FD＝F，EF，FD 平面EFD，
所以平面EFD∥平面AB1C1.
因为DE 平面EFD，所以DE∥平面AB1C1.
03
课堂巩固 自测
1．已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，则直线m与n的关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
解析：因为α∥β，所以α与β无公共点，
又m α，n β，
所以m与n无公共点，所以m与n平行或异面．
√
2．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为( )
A．梯形 B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．不确定
解析：由长方体的性质各对面平行及面面平行的性质定理，易知HG∥EF，EH∥FG，
所以四边形EFGH为平行四边形．故选B．
√
3．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面
AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：N为AC的中点．
04
课后达标 检测
[A 基础达标]
1．若平面α∥平面β，直线a α，点M∈β，过点M的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线 D．有且只有一条与a平行的直线
解析：由于α∥β，a α，M∈β，过点M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．
√
2．平面α∥平面β，点A，C在平面α内，点B，D在平面β内，若AB＝CD，则AB，CD的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
解析：可将AB与CD想象为同高圆台的母线，显然相交、平行、异面都有可能．故选D．
√
3．在如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面
ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上均有可能
解析：因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE.又因为A1B1∥AB，所以DE∥AB.
√
4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，
且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝
A1F，则AF的长为( )
A．1 B．1.5
C．2 D．3
解析：平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，所以A1F∥BE，又A1E∥FB，
所以四边形A1FBE为平行四边形，
所以FB＝A1E＝3-1＝2，所以AF＝1.
√
5．如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行
平面相交，则两个平行平面内以交点为顶点的两个三角形
是( )
A．相似但不全等的三角形 B．全等三角形
C．面积相等的不全等三角形 D．以上结论都不对
解析：由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，又因AA′∥CC′，则四边形ACC′A′为平行四边形，所以AC＝A′C′.同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，所以△ABC≌△A′B′C′.
√
6．如图，在多面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，
EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则( )
A．BF∥平面ACGD
B．CF∥平面ABED
C．BC∥FG
D．平面ABED∥平面CGF
√
解析：如图所示，取DG的中点M，连接AM，FM，则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形，所以DE∥FM，且DE＝FM.因为平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，所以AB∥DE，所以AB∥FM，又AB＝DE，所以AB＝FM，所以四边形ABFM是平行四边形，所以BF∥AM，
又BF 平面ACGD，AM 平面ACGD，
所以BF∥平面ACGD，故选A．
7．直线m，n及平面α，β，γ有下列关系：①α∩β＝m；②m∥n；③α∥γ；④β∩γ＝n.
其中一些关系作为条件，另一些关系作为结论，组成一个正确的推理应是________.
解析：因为α∥γ，且α∩β＝m，β∩γ＝n，
由面面平行的性质定理可得m∥n.
答案：①③④ ②
8．已知α∥β，AC α，BD β，AB＝6且AB∥CD，则CD＝________．
解析：如图，因为AB∥CD，
所以A，B，C，D四点共面，
因为α∥β，且α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，
所以AC∥BD，又AB∥CD，
所以四边形ABDC为平行四边形，
所以AB＝CD＝6.
答案：6
9．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，
且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行
四边形，则四边形ABCD的形状一定是__________________．
解析：由于平面ABCD∥平面α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，
平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，
所以AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，
又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD，同理可证AD∥BC，
所以四边形ABCD是平行四边形．
答案：平行四边形
10．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面
CDD1C1，且AF∥EC1，试判断四边形AEC1F的形状．
解：因为AF∥EC1，则AF，EC1确定一个平面AEC1F，
平面AEC1F∩平面CDD1C1＝C1F，平面AEC1F∩平面ABB1A1＝AE，
又平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以AE∥C1F，
所以四边形AEC1F是平行四边形．
[B 能力提升]
11．如图所示，在棱锥A-BCD中，截面EFG平行于底面，
且AE∶EB＝1∶2，若△EFG的周长是9，则△BCD的周
长为________．
答案：27
12．如图，过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点B1，D1与棱AB的中点P的平面与底面ABCD所在平面的交线记为l，则l与B1D1的位置关系为________．
解析：如图所示，连接D1P，B1P，在正方体ABCD-A1B1C1D1
中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1
＝B1D1，平面B1D1P∩平面ABCD＝l，所以l∥B1D1.
答案：平行
解：如图，设N为A1B1的中点，连接MN，AN，AC，CM，
则四边形MNAC为所求的平面图形．
因为M，N，E，F均为所在棱的中点，所以MN∥EF，
又EF 平面DEF，MN 平面DEF，
所以MN∥平面DEF，
又AN∥DE，AN 平面DEF，DE 平面DEF，
所以AN∥平面DEF，
[C 拓展冲刺]
14．在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是该正方
体表面及其内部的一动点，且BM∥平面AD1C，则动点M的
轨迹所形成区域的面积是______________________________．
15．在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，
且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l.
(1)证明：l∥CD；
证明：因为四边形ABCD为菱形，
所以AB∥CD.
又AB 平面PCD，CD 平面PCD，
所以AB∥平面PCD.
又AB 平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l.
所以AB∥l，所以l∥CD.
(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
连接BM，BF，BD.设BD∩AC＝O，连接OE.
因为四边形ABCD是菱形，所以O为BD的中点．
所以BM∥OE.
又MF∩MB＝M，CE∩OE＝E，MF，MB 平面BFM，CE，OE 平面AEC，所以平面BFM∥平面AEC.
又BF 平面BFM.
所以BF∥平面AEC.中小学教育资源及组卷应用平台
第2课时 平面与平面平行的性质
知识点 平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
图形语言
(1)该定理可简记：若面面平行，则线线平行．
(2)定理中有两个条件：①两个平行平面；②第三个平面和这两个平面相交，这两个条件缺一不可．
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
平面与平面平行的性质定理的解题步骤
1．若平面α∥平面β，l α，则l与β的位置关系是( )
A．l与β相交 B．l与β平行
C．l在β内 D．无法判定
2．如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
考点一 平行关系中的有关计算
如图，已知平面α∥β，P α，且P β，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
(变条件)将本例改为：若点P位于平面 α，β之间(如图)，其他条件不变，试求BD的长．
与平行的性质有关的计算的三个关键点
(1)根据已知的面面平行关系推出线线平行关系．
(2)在三角形内利用三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系．
(3)利用所得关系计算求值．
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则＝________．
考点二 平行关系的综合问题
如图所示，在四棱锥C-ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥平面ABC.
(2)线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，请找出点H并证明；若不存在，请说明理由．
三种平行关系的转化
要灵活运用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中 ，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？并证明你的结论．
1．已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，则直线m与n的关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
2．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为( )
A．梯形 B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．不确定
3．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：N为AC的中点．
[A 基础达标]
1．若平面α∥平面β，直线a α，点M∈β，过点M的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线 D．有且只有一条与a平行的直线
2．平面α∥平面β，点A，C在平面α内，点B，D在平面β内，若AB＝CD，则AB，CD的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
3．在如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上均有可能
4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为( )
A．1 B．1.5
C．2 D．3
5．如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，则两个平行平面内以交点为顶点的两个三角形是( )
A．相似但不全等的三角形 B．全等三角形
C．面积相等的不全等三角形 D．以上结论都不对
6．如图，在多面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则( )
A．BF∥平面ACGD B．CF∥平面ABED
C．BC∥FG D．平面ABED∥平面CGF
7．直线m，n及平面α，β，γ有下列关系：①α∩β＝m；②m∥n；③α∥γ；④β∩γ＝n.
其中一些关系作为条件，另一些关系作为结论，组成一个正确的推理应是________.
8．已知α∥β，AC α，BD β，AB＝6且AB∥CD，则CD＝________．
9．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是_____________________________________________________．
10．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥EC1，试判断四边形AEC1F的形状．
[B 能力提升]
11．如图所示，在棱锥A-BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶EB＝1∶2，若△EFG的周长是9，则△BCD的周长为________．
12．如图，过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点B1，D1与棱AB的中点P的平面与底面ABCD所在平面的交线记为l，则l与B1D1的位置关系为________．
13．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个平面图形．在图中，画出这个平面图形，并求这个平面图形的面积(不必说明画法与理由).
[C 拓展冲刺]
14．在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且BM∥平面AD1C，则动点M的轨迹所形成区域的面积是_____________________________________________________．
15．在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l.
(1)证明：l∥CD；
(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
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第2课时 平面与平面平行的性质
知识点 平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
图形语言
(1)该定理可简记：若面面平行，则线线平行．
(2)定理中有两个条件：①两个平行平面；②第三个平面和这两个平面相交，这两个条件缺一不可．
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
【证明】 因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，
BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，
BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D，
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
平面与平面平行的性质定理的解题步骤
1．若平面α∥平面β，l α，则l与β的位置关系是( )
A．l与β相交 B．l与β平行
C．l在β内 D．无法判定
解析：选B．因为α∥β，l α，利用面面平行的定义及性质可得l∥β.故选B．
2．如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
考点一 平行关系中的有关计算
如图，已知平面α∥β，P α，且P β，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
【解】 因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，
所以AB∥CD，所以＝，即＝，解得BD＝，故BD的长为.
(变条件)将本例改为：若点P位于平面 α，β之间(如图)，其他条件不变，试求BD的长．
解：与本例同理，可证得AB∥CD.
所以＝，即＝，解得BD＝24，
故BD长为24.
与平行的性质有关的计算的三个关键点
(1)根据已知的面面平行关系推出线线平行关系．
(2)在三角形内利用三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系．
(3)利用所得关系计算求值．
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则＝________．
解析：由题意得平面MNE∥平面ACB1，因为平面BB1C1C∩平面MEN＝EN，平面BB1C1C∩平面ACB1＝B1C，则由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，同理可得EM∥B1A. 又因为E为BB1的中点，所以M，N分别为BA，BC的中点，所以MN＝AC，即＝.
答案：
考点二 平行关系的综合问题
如图所示，在四棱锥C-ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥平面ABC.
(2)线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，请找出点H并证明；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)证明：由四边形ABED为正方形可知，连接AE必与BD相交于中点F(图略)，故GF∥AC.因为GF 平面ABC，AC 平面ABC，所以GF∥平面ABC.
(2)线段BC上存在一点H满足题意，且点H是BC的中点．
证明如下：取BC中点的H，连接GH，FH(图略)，由点G，H分别为CE，CB的中点，可得GH∥EB∥AD.
因为AD 平面ACD，GH 平面ACD，
所以GH∥平面ACD.
因为GF∥AC，AC 平面ACD，GF 平面ACD.
所以GF∥平面ACD.
又GF∩GH＝G，GF，GH 平面GFH，
所以平面GFH∥平面ACD.
三种平行关系的转化
要灵活运用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中 ，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？并证明你的结论．
解：当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
证明如下：如图所示，取BB1的中点F，AB的中点E，连接EF，FD，DE.
因为E，F分别为AB，BB1的中点，
所以EF∥AB1.
因为AB1 平面AB1C1，
EF 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1.
又在 CBB1C1中，因为D，F分别为CC1，BB1的中点，所以DF∥B1C1.
因为B1C1 平面AB1C1，DF 平面AB1C1，
所以DF∥平面AB1C1.
因为EF∩FD＝F，EF，FD 平面EFD，
所以平面EFD∥平面AB1C1.
因为DE 平面EFD，所以DE∥平面AB1C1.
1．已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，则直线m与n的关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
解析：选D．因为α∥β，所以α与β无公共点，
又m α，n β，
所以m与n无公共点，所以m与n平行或异面．
2．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为( )
A．梯形 B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．不确定
解析：选B．由长方体的性质各对面平行及面面平行的性质定理，易知HG∥EF，EH∥FG，
所以四边形EFGH为平行四边形．故选B．
3．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：N为AC的中点．
证明：因为平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面ACC1A1∩平面BC1N＝C1N，
所以C1N∥AM.又AC∥A1C1，
所以四边形ANC1M为平行四边形．
所以AN＝C1M＝A1C1＝AC.
所以N为AC的中点．
[A 基础达标]
1．若平面α∥平面β，直线a α，点M∈β，过点M的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线 D．有且只有一条与a平行的直线
解析：选D． 由于α∥β，a α，M∈β，过点M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．
2．平面α∥平面β，点A，C在平面α内，点B，D在平面β内，若AB＝CD，则AB，CD的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
解析：选D．可将AB与CD想象为同高圆台的母线，显然相交、平行、异面都有可能．故选D．
3．在如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上均有可能
解析：选B．因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE.又因为A1B1∥AB，所以DE∥AB.
4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为( )
A．1 B．1.5
C．2 D．3
解析：选A．平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，
所以A1F∥BE，又A1E∥FB，
所以四边形A1FBE为平行四边形，
所以FB＝A1E＝3－1＝2，
所以AF＝1.
5．如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，则两个平行平面内以交点为顶点的两个三角形是( )
A．相似但不全等的三角形 B．全等三角形
C．面积相等的不全等三角形 D．以上结论都不对
解析：选B．由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，又因AA′∥CC′，则四边形ACC′A′为平行四边形，所以AC＝A′C′.同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，所以△ABC≌△A′B′C′.
6．如图，在多面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则( )
A．BF∥平面ACGD B．CF∥平面ABED
C．BC∥FG D．平面ABED∥平面CGF
解析：选A．如图所示，取DG的中点M，连接AM，FM，则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形，所以DE∥FM，且DE＝FM.因为平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，所以AB∥DE，所以AB∥FM，又AB＝DE，所以AB＝FM，所以四边形ABFM是平行四边形，所以BF∥AM，
又BF 平面ACGD，AM 平面ACGD，
所以BF∥平面ACGD，故选A．
7．直线m，n及平面α，β，γ有下列关系：①α∩β＝m；②m∥n；③α∥γ；④β∩γ＝n.
其中一些关系作为条件，另一些关系作为结论，组成一个正确的推理应是________.
解析：因为α∥γ，且α∩β＝m，β∩γ＝n，
由面面平行的性质定理可得m∥n.
答案：①③④ ②
8．已知α∥β，AC α，BD β，AB＝6且AB∥CD，则CD＝________．
解析：如图，因为AB∥CD，
所以A，B，C，D四点共面，
因为α∥β，且α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，
所以AC∥BD，又AB∥CD，
所以四边形ABDC为平行四边形，
所以AB＝CD＝6.
答案：6
9．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是_____________________________________________________．
解析：由于平面ABCD∥平面α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，
平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，
所以AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，
又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD，同理可证AD∥BC，
所以四边形ABCD是平行四边形．
答案：平行四边形
10．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥EC1，试判断四边形AEC1F的形状．
解：因为AF∥EC1，则AF，EC1确定一个平面AEC1F，
平面AEC1F∩平面CDD1C1＝C1F，平面AEC1F∩平面ABB1A1＝AE，
又平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以AE∥C1F，
所以四边形AEC1F是平行四边形．
[B 能力提升]
11．如图所示，在棱锥A-BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶EB＝1∶2，若△EFG的周长是9，则△BCD的周长为________．
解析：因为平面EFG∥平面BCD，平面EFG∩平面ABC＝EG，
平面BCD∩平面ABC＝BC，所以EG∥BC，
所以＝＝，同理＝＝，
所以△EFG与△BDC的周长之比为1∶3，
而△EFG的周长是9，故△BCD的周长为9×3＝27.
答案：27
12．如图，过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点B1，D1与棱AB的中点P的平面与底面ABCD所在平面的交线记为l，则l与B1D1的位置关系为________．
解析：如图所示，连接D1P，B1P，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，平面B1D1P∩平面ABCD＝l，所以l∥B1D1.
答案：平行
13．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个平面图形．在图中，画出这个平面图形，并求这个平面图形的面积(不必说明画法与理由).
解：如图，设N为A1B1的中点，连接MN，AN，AC，CM，
则四边形MNAC为所求的平面图形．
因为M，N，E，F均为所在棱的中点，所以MN∥EF，
又EF 平面DEF，MN 平面DEF，
所以MN∥平面DEF，
又AN∥DE，AN 平面DEF，DE 平面DEF，
所以AN∥平面DEF，
又MN∩AN＝N，MN，AN 平面MNAC，
所以平面MNAC∥平面DEF.
易知MN∥AC，四边形MNAC为梯形，
且MN＝AC＝2，
过点M作MP⊥AC于点P，
可得MC＝＝2，PC＝＝，
所以MP＝＝，
所以S梯形MNAC＝×(2＋4)×＝6.
[C 拓展冲刺]
14．在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且BM∥平面AD1C，则动点M的轨迹所形成区域的面积是_____________________________________________________．
解析：如图，边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点M满足BM∥平面AD1C，由面面平行的性质定理可得，当BM始终在一个与平面AD1C平行的平面内时，满足题意，
过B作与平面AD1C平行的平面，
连接A1B，BC1，A1C1，平面A1BC1∥平面AD1C，
所以S△A1BC1＝×2××2＝2.
答案：2
15．在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l.
(1)证明：l∥CD；
(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，
所以AB∥CD.
又AB 平面PCD，CD 平面PCD，
所以AB∥平面PCD.
又AB 平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l.
所以AB∥l，所以l∥CD.
(2)存在．当F是PC的中点时，BF∥平面AEC.
证明如下：如图，取PC的中点F，PE的中点M，连接FM.
所以FM∥CE.
由M为PE的中点，PE∶ED＝2∶1，得EM＝PE＝ED，所以E是MD的中点．
连接BM，BF，BD.设BD∩AC＝O，连接OE.
因为四边形ABCD是菱形，所以O为BD的中点．
所以BM∥OE.
又MF∩MB＝M，CE∩OE＝E，MF，MB 平面BFM，CE，OE 平面AEC，所以平面BFM∥平面AEC.
又BF 平面BFM.
所以BF∥平面AEC.
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