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8．6 空间直线、平面的垂直
8．6.1 直线与直线垂直
学习指导 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系． 2．会求两异面直线所成的角． 1.数学抽象、直观想象：了解异面直线所成的角的概念． 2．逻辑推理：借助异面直线所成的角证明空间中两直线垂直．
知识点一 异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则θ的取值范围是(0°，90°]．
如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心．
求：(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
求两异面直线所成的角的步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
(2)证：证明作出的角就是所要求的角；
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．
[注意] 可用“一作二证三计算”来概括，同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
1．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与B1D1所成的角为______，AC与D1C1所成的角为________．
2．如图所示，在四面体ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角的大小．
知识点二 直线与直线垂直
(1)定义：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．
(2)记法：直线a与直线b垂直，记作a⊥b.
已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，O是底面ABCD的中心，求证：OD1⊥A1C1.
证明空间中两条直线垂直的方法
(1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直．
(2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等．
如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.
1．已知直线a，b，c，则( )
A．若a⊥b，c⊥b，则a∥c
B．若a⊥b，c⊥b，则a⊥c
C．若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等
D．若a与c所成的角等于c与b所成的角，则a∥b
2．在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有( )
A．2条 B．4条
C．6条 D．8条
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝，则异面直线AC1与BB1所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．如图，AB是圆O的直径，C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．
[A 基础达标]
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
2．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
3．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，则顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，则直线EF与MN所成角的大小为( )
A． B．
C． D．
5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为( )
A．60° B．30°
C．90° D．45°
6．(多选)如图，在四面体ABCD中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，截面PQMN是正方形，则下列结论正确的是( )
A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN
C．AC＝CD D．异面直线PM与BD所成的角为45°
7．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a与b所成的角为________．
8．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的度数为________．
9．在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________．
10．正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成角的余弦值．
[B 能力提升]
11．(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是( )
A．AB⊥EF B．AB与CM所成的角为60°
C．EF与MN是异面直线 D．MN∥CD
12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成的角的余弦值等于( )
A． B．
C． D．
13．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________．
14．在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若A1B⊥AD1，试求AA1的长度．
[C 拓展冲刺]
15．如图所示，圆锥的底面直径AB＝4，高OC＝2，D为底面圆周上的一点，且∠AOD＝120°，则直线AD与BC所成的角为_________________________．
16．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：A1C1⊥EF.
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8．6 空间直线、平面的垂直
8．6.1 直线与直线垂直
学习指导 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系． 2．会求两异面直线所成的角． 1.数学抽象、直观想象：了解异面直线所成的角的概念． 2．逻辑推理：借助异面直线所成的角证明空间中两直线垂直．
知识点一 异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则θ的取值范围是(0°，90°]．
如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心．
求：(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
【解】 (1)如图，因为CG∥BF，
所以∠EBF为异面直线BE与CG所成的角，
又在△BEF中，∠EBF＝45°，
所以BE与CG所成的角为45°.
(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB.又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．
所以HF∥BD.所以∠HFO为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形．
又知O为AH的中点，
所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.
求两异面直线所成的角的步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
(2)证：证明作出的角就是所要求的角；
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．
[注意] 可用“一作二证三计算”来概括，同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
1．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与B1D1所成的角为______，AC与D1C1所成的角为________．
解析：B1D1与AC是异面直线，连接BD，交AC于点O(图略)，易知BD∥B1D1，
所以∠DOC为B1D1与AC所成的角．
因为BD⊥AC，所以∠DOC＝90°，
所以B1D1与AC所成的角是90°.
因为DC∥D1C1，所以∠ACD为AC与D1C1所成的角，
又∠ACD＝45°，所以AC与D1C1所成的角是45°.
答案：90° 45°
2．如图所示，在四面体ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角的大小．
解：如图，取BD的中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别为BC，AD的中点，
所以EG∥CD，GF∥AB，且EG＝CD，GF＝AB，
所以EG＝GF，
所以∠GFE就是异面直线EF与AB所成的角．
因为AB⊥CD，所以EG⊥GF，
所以∠EGF＝90°，
所以△EFG为等腰直角三角形，
所以∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角的大小为45°.
知识点二 直线与直线垂直
(1)定义：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．
(2)记法：直线a与直线b垂直，记作a⊥b.
已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，O是底面ABCD的中心，求证：OD1⊥A1C1.
【证明】 连接AC，BD交于点O，
连接OD1，AD1，
因为A1C1∥AC，所以∠AOD1是异面直线OD1与A1C1所成的角，
因为OA＝AC＝ ＝，
AD1＝＝，
OD1＝ ＝，
所以cos ∠AOD1＝
＝＝0，所以∠AOD1＝90°.
所以异面直线OD1与A1C1所成的角为90°，
所以OD1⊥A1C1.
证明空间中两条直线垂直的方法
(1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直．
(2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等．
如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.
证明：如图，取CC′的中点F，连接EF，BF，
因为E为AC的中点，F为CC′的中点，
所以EF∥AC′且EF＝AC′，所以BE和EF所成的角∠BEF
即为异面直线BE与AC′所成角．
在正三棱柱ABC-A′B′C′中，
AC′＝2，所以EF＝.
在等边三角形ABC中，
BE＝＝，
在Rt△BCF中，BF＝＝.
在△BEF中，BE2＋EF2＝BF2，
所以BE⊥EF，即BE⊥AC′.
1．已知直线a，b，c，则( )
A．若a⊥b，c⊥b，则a∥c
B．若a⊥b，c⊥b，则a⊥c
C．若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等
D．若a与c所成的角等于c与b所成的角，则a∥b
解析：选C．由异面直线所成角的定义可知C正确．
2．在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有( )
A．2条 B．4条
C．6条 D．8条
解析：选D．在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．故选D．
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝，则异面直线AC1与BB1所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C．如图，连接A1C1，因为BB1∥AA1，
所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角．
因为tan ∠A1AC1＝＝＝，
所以∠A1AC1＝60°.故选C．
4．如图，AB是圆O的直径，C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．
解：因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC.
因为点C是弧AB的中点，
所以BC＝AC，所以∠ABC＝45°.
在△VBC中，因为D，E分别为VB，VC的中点，
所以DE∥BC，
所以∠ABC即为异面直线DE与AB所成的角．
所以异面直线DE与AB所成的角为45°.
[A 基础达标]
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
解析：选B．因为a⊥b，b∥c，所以a⊥c.
2．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选B．和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，共2条，故选B．
3．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，则顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
解析：选B．如图，易知四边形EFGH为平行四边形．因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.同理FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．因为AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，则直线EF与MN所成角的大小为( )
A． B．
C． D．
解析：选C．连接A1C1，C1B，A1B.
因为E，F，M，N分别是BC，CC1，A1D1，C1D1的中点．
所以MN∥A1C1，EF∥BC1，
所以∠A1C1B是异面直线EF与MN所成的角．
易知△A1BC1为等边三角形，所以∠A1C1B＝.
5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为( )
A．60° B．30°
C．90° D．45°
解析：选A．因为几何体是棱柱，所以BC∥B1C1，
则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角．
在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC，连接BA1(图略)，因为AB＝AC＝AA1＝1，所以BA1＝CA1＝.所以△BCA1是等边三角形，所以异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.
6．(多选)如图，在四面体ABCD中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，截面PQMN是正方形，则下列结论正确的是( )
A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN
C．AC＝CD D．异面直线PM与BD所成的角为45°
解析：选ABD． 因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，PN∥QM，又MN 平面DAC，PQ 平面DAC，所以PQ∥平面DAC，又PQ 平面BAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，所以PQ∥AC∥MN，因为AC 截面PQMN，MN 截面PQMN，所以AC∥截面PQMN，故B正确．同理可证PN∥BD∥MQ，因为PN⊥NM，所以AC⊥BD，故A正确．又∠PMQ＝45°，所以异面直线PM与BD所成的角为45°，故D正确．AC和CD不一定相等，故C错误．故选ABD．
7．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a与b所成的角为________．
解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a与b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a与b所成的角为60°.
答案：60°
8．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的度数为________．
解析：依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
答案：60°
9．在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________．
解析：如图所示，连接BC1，AD1，
因为MN∥BC1∥AD1，
所以∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1.
因为△ACD1是等边三角形，
所以∠D1AC＝60°.
即异面直线AC和MN所成的角为60°.
答案：60°
10．正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成角的余弦值．
解：连接AC，BD相交于O，连接OE，
则O为AC的中点，因为E是PC的中点，所以OE是△PAC的中位线，则OEPA，则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角，设四棱锥的棱长为1，
则OE＝PA＝，OB＝BD＝，BE＝.
则cos ∠OEB＝
＝＝.
所以异面直线BE与PA所成角的余弦值为.
[B 能力提升]
11．(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是( )
A．AB⊥EF B．AB与CM所成的角为60°
C．EF与MN是异面直线 D．MN∥CD
解析：选AC．把正方体的平面展开图还原为原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有A，C正确．
12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成的角的余弦值等于( )
A． B．
C． D．
解析：选D．如图所示，取BC的中点F，连接EF，OF，BC1.
因为E为CC1的中点，
所以EF∥BC1∥AD1，
故∠OEF(或其补角)即为异面直线OE与AD1所成的角，
不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，
则在△OEF中，EF＝，OE＝，OF＝1，
故∠OFE＝90°，故cos ∠OEF＝＝.
13．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________．
解析：如图，取AD的中点P，连接PM，PN，
则BD∥PM，AC∥PN，
所以∠MPN或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，
所以∠MPN＝90°，
PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，
所以MN＝5.
答案：5
14．在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若A1B⊥AD1，试求AA1的长度．
解：连接CD1，AC(图略)，由题意，得A1D1∥BC，A1D1＝BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1，
所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角，
因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
所以∠AD1C＝90°，
所以△AD1C是等腰直角三角形．
所以AD1＝AC.
又底面ABCD是菱形，
且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
所以AC＝2×sin 60°×2＝6，
所以AD1＝AC＝3，
所以AA1＝＝ ＝.
[C 拓展冲刺]
15．如图所示，圆锥的底面直径AB＝4，高OC＝2，D为底面圆周上的一点，且∠AOD＝120°，则直线AD与BC所成的角为_________________________．
解析：如图，延长DO交底面圆于点E，连接BE，CE，
由AB，DE均为圆的直径知AD∥BE，且AD＝BE，
所以∠CBE或其补角即为异面直线AD与BC所成的角．
在△AOD中，AD＝2OA sin 60°＝2，
在△CBE中，CB＝CE＝BE＝2，所以△CBE为正三角形．
所以∠CBE＝60°.
答案：60°
16．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：A1C1⊥EF.
解：(1)如图，连接AC，AB1.
由几何体ABCD -A1B1C1D1是正方体，知四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而AC与B1C所成的角即为A1C1与B1C所成的角．
由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°.
故A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)证明：如图，连接BD.
易知四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，
因为EF为△ABD的中位线，所以EF∥BD.
又AC⊥BD，所以EF⊥AC，所以A1C1⊥EF.
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8．6 空间直线、平面的垂直
8．6.1 直线与直线垂直
第八章 立体几何初步
学习指导 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系． 2．会求两异面直线所成的角． 1.数学抽象、直观想象：了解异面直线所成的角的概念．
2．逻辑推理：借助异面直线所成的角证明空间中两直线垂直．
01
必备知识 落实
知识点一 异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线________所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则θ的取值范围是_____________．
a′与b′
(0°，90°]
如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心．
求：(1)BE与CG所成的角；
【解】 如图，因为CG∥BF，
所以∠EBF为异面直线BE与CG所成的角，
又在△BEF中，∠EBF＝45°，
所以BE与CG所成的角为45°.
(2)FO与BD所成的角．
【解】 连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB.又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．
所以HF∥BD.所以∠HFO为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形．
又知O为AH的中点，
所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.
求两异面直线所成的角的步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
(2)证：证明作出的角就是所要求的角；
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．
[注意] 可用“一作二证三计算”来概括，同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
1．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与B1D1所成
的角为______，AC与D1C1所成的角为________．
解析：B1D1与AC是异面直线，连接BD，交AC于点O(图略)，易知BD∥B1D1，
所以∠DOC为B1D1与AC所成的角．
因为BD⊥AC，所以∠DOC＝90°，
所以B1D1与AC所成的角是90°.
因为DC∥D1C1，所以∠ACD为AC与D1C1所成的角，
又∠ACD＝45°，所以AC与D1C1所成的角是45°.
答案：90° 45°
2．如图所示，在四面体ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，
E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角的大小．
因为AB⊥CD，所以EG⊥GF，
所以∠EGF＝90°，
所以△EFG为等腰直角三角形，
所以∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角的大小为45°.
知识点二 直线与直线垂直
(1)定义：如果两条异面直线所成的角是______，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．
(2)记法：直线a与直线b垂直，记作a____b.
直角
⊥
已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，O是底面ABCD的中心，求证：OD1⊥A1C1.
证明空间中两条直线垂直的方法
(1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直．
(2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等．
如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，E为棱AC的中
点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.
02
课堂巩固 自测
1．已知直线a，b，c，则( )
A．若a⊥b，c⊥b，则a∥c
B．若a⊥b，c⊥b，则a⊥c
C．若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等
D．若a与c所成的角等于c与b所成的角，则a∥b
解析：由异面直线所成角的定义可知C正确．
√
2．在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有( )
A．2条 B．4条
C．6条 D．8条
解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．故选D．
√
√
4．如图，AB是圆O的直径，C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．
解：因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC.
因为点C是弧AB的中点，所以BC＝AC，所以∠ABC＝45°.
在△VBC中，因为D，E分别为VB，VC的中点，所以DE∥BC，
所以∠ABC即为异面直线DE与AB所成的角．
所以异面直线DE与AB所成的角为45°.
03
课后达标 检测
[A 基础达标]
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
解析：因为a⊥b，b∥c，所以a⊥c.
√
2．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，共2条，故选B．
√
3．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，则顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
解析：如图，易知四边形EFGH为平行四边形．因为E，F分别
为AB，BC的中点，所以EF∥AC.同理FG∥BD，所以∠EFG或
其补角为AC与BD所成的角．因为AC与BD所成的角为90°，所
以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．
√
√
√
6．(多选)如图，在四面体ABCD中，点P，Q，M，N分别
是棱AB，BC，CD，AD的中点，截面PQMN是正方形，则
下列结论正确的是( )
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝CD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
√
√
√
解析：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，PN∥QM，又MN 平面DAC，PQ 平面DAC，所以PQ∥平面DAC，又PQ 平面BAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，所以PQ∥AC∥MN，因为AC 截面PQMN，MN 截面PQMN，所以AC∥截面PQMN，故B正确．
同理可证PN∥BD∥MQ，因为PN⊥NM，所以AC⊥BD，故A正确．
又∠PMQ＝45°，所以异面直线PM与BD所成的角为45°，故D正确．
AC和CD不一定相等，故C错误．故选ABD．
7．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a与b所成的角为________．
解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a与b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a与b所成的角为60°.
答案：60°
8．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB，BC，
AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的度数为
________．
解析：依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补
角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
答案：60°
9．在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的
中点，则异面直线AC和MN所成的角为________．
解析：如图所示，连接BC1，AD1，
因为MN∥BC1∥AD1，
所以∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1.
因为△ACD1是等边三角形，
所以∠D1AC＝60°.
即异面直线AC和MN所成的角为60°.
答案：60°
10．正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，
求异面直线BE与PA所成角的余弦值．
[B 能力提升]
11．(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒
中有如下结论，正确的是( )
A．AB⊥EF
B．AB与CM所成的角为60°
C．EF与MN是异面直线
D．MN∥CD
解析：把正方体的平面展开图还原为原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有A，C正确．
√
√
√
13．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________．
答案：5
解：连接CD1，AC(图略)，由题意，得A1D1∥BC，A1D1＝BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1，
所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角，
答案：60°
16．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
解：如图，连接AC，AB1.
由几何体ABCD -A1B1C1D1是正方体，
知四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，
从而AC与B1C所成的角即为A1C1与B1C所成的角．
由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°.
故A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：A1C1⊥EF.
证明：如图，连接BD.
易知四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，
因为EF为△ABD的中位线，所以EF∥BD.
又AC⊥BD，所以EF⊥AC，所以A1C1⊥EF.
