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8．6.2 直线与平面垂直
学习指导 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系． 2．归纳出直线与平面垂直的判定定理及性质定理，并会用定理证明相关问题． 3．了解直线与平面所成的角、直线与平面、平面与平面间的距离． 1.数学抽象、直观想象：直线与平面垂直的定义． 2．逻辑推理：利用直线与平面垂直的判定定理及性质定理推断线面关系． 3．数学运算：计算直线与平面所成的角、直线与平面、平面与平面间的距离．
第1课时 直线与平面垂直(一)
知识点一 直线与平面垂直
定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关 概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示 及画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
直线与平面垂直的定义中，强调“任意一条”，而不是“存在一条”．
下列说法正确的有________．(填序号)
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．
对线面垂直定义的理解
(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任意一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．
(2)由定义可得“线面垂直 线线垂直”，即：若a⊥α，b α，则a⊥b.
直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
知识点二 直线与平面垂直的判定定理
文字 语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
图形 语言
符号 语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
该判定定理中，强调“两条相交直线”而不是“两条平行直线”．
如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
(1)线线垂直和线面垂直的相互转化
(2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理．
③如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．求证：AN⊥平面PBM.
知识点三 直线和平面所成的角
(1)有关概念
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的交点A叫做斜足
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
(2)直线与平面所成的角
定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角
规定 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°
范围 直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．
求直线与平面所成的角的步骤
如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB＝1，AA′＝2，求直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值．
1．已知直线l，m和平面α，m α，则“l⊥m”是“l⊥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C B．平面A1DCB1
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
3．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号)
4．如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且PA＝PC，PB＝PD.若O是AC与BD的交点．求证：PO⊥平面ABCD.
[A 基础达标]
1．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角为( )
A．40° B．50°
C．90° D．150°
2．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，b α，c α B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α
3．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直相交
C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
5．如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
6．(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是( )
A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC
7．设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA，PB，PC的关系是________．
8．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有__________________；
(2)与AP垂直的直线有__________________．
9．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________．
10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA＝PC，判断直线AC与平面PBD是否垂直，并说明理由．
[B 能力提升]
11．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
12．已知过平面α外一点A的斜线l与平面α所成角为，斜线l交平面α于点B，若点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所形成的图形面积是( )
A．3π B．2π
C．π D．
13．(多选)如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是( )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
14．如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.
(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求AE与平面BDE所成角的大小．
[C 拓展冲刺]
15．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件______时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
16．如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC.点P在圆O所在平面上的射影为点D，PD＝DB.
(1)求证：CD⊥平面PAB；
(2)求直线PC与平面PAB所成的角．
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8．6.2 直线与平面垂直
学习指导 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系． 2．归纳出直线与平面垂直的判定定理及性质定理，并会用定理证明相关问题． 3．了解直线与平面所成的角、直线与平面、平面与平面间的距离． 1.数学抽象、直观想象：直线与平面垂直的定义． 2．逻辑推理：利用直线与平面垂直的判定定理及性质定理推断线面关系． 3．数学运算：计算直线与平面所成的角、直线与平面、平面与平面间的距离．
第1课时 直线与平面垂直(一)
知识点一 直线与平面垂直
定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关 概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示 及画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
直线与平面垂直的定义中，强调“任意一条”，而不是“存在一条”．
下列说法正确的有________．(填序号)
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．
【解析】 因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确. 由线面垂直的定义可得，②正确．因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确．如图，l与α不垂直，但a α，l⊥a，故④不正确．
【答案】 ②
对线面垂直定义的理解
(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任意一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．
(2)由定义可得“线面垂直 线线垂直”，即：若a⊥α，b α，则a⊥b.
直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
解析：选A．因为l⊥α，所以l垂直于平面α内的每一条直线，又m α，所以l⊥m，
所以直线l与m不可能平行．
知识点二 直线与平面垂直的判定定理
文字 语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
图形 语言
符号 语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
该判定定理中，强调“两条相交直线”而不是“两条平行直线”．
如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
【证明】 (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，
所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，SD，AC 平面SAC，
所以BD⊥平面SAC.
(1)线线垂直和线面垂直的相互转化
(2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理．
③如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．求证：AN⊥平面PBM.
证明：因为AB为⊙O的直径，M为圆周上任意一点，
所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.
又因为PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，所以BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，所以BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，
所以AN⊥平面PBM.
知识点三 直线和平面所成的角
(1)有关概念
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的交点A叫做斜足
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
(2)直线与平面所成的角
定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角
规定 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°
范围 直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．
【解】 (1)因为AB⊥平面AA1D1D，
所以∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
所以∠AA1B＝45°，
所以A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，A1O 平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1O，又A1O⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面BB1D1D，
所以A1O⊥平面BB1D1D，
所以∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角．
设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝.
又因为∠A1OB＝90°，
所以在△A1BO中，sin ∠A1BO＝＝，
又0°≤∠A1BO ≤90°，
所以∠A1BO＝30°，
所以A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
求直线与平面所成的角的步骤
如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB＝1，AA′＝2，求直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值．
解：如图所示，取A′B′的中点D，
连接C′D，BD.
因为底面△A′B′C′是正三角形，所以C′D⊥A′B′.
因为AA′⊥底面A′B′C′，所以AA′⊥C′D.
又AA′∩A′B′＝A′，AA′，A′B′ 平面ABB′A′，所以C′D⊥平面ABB′A′，
所以∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成的角．
因为等边三角形A′B′C′的边长为1，C′D＝.在Rt△BB′C′中，BC′＝＝，所以直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为＝.
1．已知直线l，m和平面α，m α，则“l⊥m”是“l⊥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B．若l⊥α，则l⊥m一定成立，即必要性成立．若l⊥m，则l⊥α不一定成立，只有当l垂直于平面α内的两条相交直线时，该结论才成立，故充分性不成立．综上所述，“l⊥m”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选B．
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C B．平面A1DCB1
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
解析：选B．因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1 平面A1DCB1，所以AD1⊥平面A1DCB1.故选B．
3．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号)
解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①，③，④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．
答案：①③④
4．如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且PA＝PC，PB＝PD.若O是AC与BD的交点．求证：PO⊥平面ABCD.
证明：由已知得，O分别为BD，AC的中点，
在△PBD中，PB＝PD，O为BD的中点，
所以PO⊥BD.
在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，
所以PO⊥AC.
又因为AC∩BD＝O，且AC，BD 平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.
[A 基础达标]
1．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角为( )
A．40° B．50°
C．90° D．150°
解析：选B．若两条直线平行，则它们与同一平面所成的角相等．因为直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，所以直线b与平面α所成的角为50°.故选B．
2．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，b α，c α B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α
解析：选D．由线面垂直的判定定理易知D正确．
3．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选B．设正四棱锥P-ABCD的底面边长为1，连接底面对角线AC(图略)，AC＝，易知△PAC为等腰直角三角形. AC中点为O，由正四棱锥知PO⊥底面ABCD，即∠PAC为所求角，为45°. 故选B．
4．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直相交
C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
解析：选C．连接AC(图略).因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，AC，MC 平面AMC，所以BD⊥平面AMC.又MA 平面AMC，所以MA⊥BD.由题图可得，AM与BD不相交，故选C．
5．如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：选B．由PB⊥α，AC α得PB⊥AC，
又AC⊥PC，PC∩PB＝P，PC，PB 平面PBC，
所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC.所以△ABC是直角三角形，故选B．
6．(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是( )
A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC
解析：选ABC．因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，因为PA＝AB，D为PB的中点，所以AD⊥PB，PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，从而AD⊥平面PBC，故C正确；因为PC 平面PBC，所以AD⊥PC，故B正确；在平面PBC中，PB⊥BC，所以PB与CD不垂直，所以PB不垂直于平面ADC，故D不正确．
7．设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA，PB，PC的关系是________．
解析：因为H为AC的中点，∠ABC＝90°，所以AH＝BH＝CH，又PH⊥平面ABC，由勾股定理知PA＝PB＝PC.
答案：PA＝PB＝PC
8．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有__________________；
(2)与AP垂直的直线有__________________．
解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC 平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.
(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，
AC∩PC＝C，AC，PC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为AP 平面PAC，所以BC⊥AP.
答案：(1)AB，AC，BC (2)BC
9．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________．
解析：因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角. 在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，
所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.
答案：45°
10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA＝PC，判断直线AC与平面PBD是否垂直，并说明理由．
解：设AC⊥平面PBD.理由如下：
AC∩BD＝O，连接PO，
因为底面ABCD是菱形，
则AC⊥BD，且O为AC的中点，
因为PA＝PC，则PO⊥AC，
又因为PO∩BD＝O，PO，BD 平面PBD，
所以AC⊥平面PBD.
[B 能力提升]
11．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
解析：选C．因为AB⊥α，l α，所以AB⊥l，又因为BC⊥β，l β，所以BC⊥l，又AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，所以l⊥平面ABC，又AC 平面ABC，所以l⊥AC.
12．已知过平面α外一点A的斜线l与平面α所成角为，斜线l交平面α于点B，若点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所形成的图形面积是( )
A．3π B．2π
C．π D．
解析：选A．如图，
过点A作平面α的垂线，垂足为C，连接BC，所以线段BC为线段AB在平面α上的射影，∠ABC为斜线l与平面α所成的角，则∠ABC＝，又AC＝1，所以BC＝，故射影形成的图形为半径为的圆面，其面积显然为3π.故选A．
13．(多选)如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是( )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析：选ABC．对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，因为AB∥CD，AB 平面SCD，CD 平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确；由题意得，AB与SC所成的角为∠SCD，DC与SA所成的角为∠SAB，显然，∠SCD≠∠SAB，故D不正确．
14．如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.
(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求AE与平面BDE所成角的大小．
解：(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD.
因为DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以AC⊥DE，
因为BD，DE 平面BED，BD∩DE＝D，
所以AC⊥平面BDE.
(2)设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示．
因为AC⊥平面BDE，所以EO是直线AE在平面BDE上的射影，
所以∠AEO即为AE与平面BDE所成的角．在Rt△EAD中，EA＝＝2，AO＝，所以在Rt△EOA中，sin ∠AEO＝＝，又0°≤∠AEO≤90°，所以∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成的角为30°.
[C 拓展冲刺]
15．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件______时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，
故只要证A1C1⊥B1C1即可(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等).
答案：∠A1C1B1＝90°
16．如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC.点P在圆O所在平面上的射影为点D，PD＝DB.
(1)求证：CD⊥平面PAB；
(2)求直线PC与平面PAB所成的角．
解：(1)证明：连接CO，由AD＝DB知，
点D为AO的中点．
又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.
由AC＝BC知，∠CAB＝60°，
所以△ACO为等边三角形，故CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的射影为点D，所以PD⊥平面ABC，又CD 平面ABC，所以PD⊥CD，
又PD，AO 平面PAB，且PD∩AO＝D，所以CD⊥平面PAB.
(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角．又△AOC是边长为2的正三角形，
所以CD＝.
在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝，
所以tan ∠CPD＝＝，又0 °≤∠CPD≤90°，所以∠CPD＝30°，
即直线PC与平面PAB所成的角为30°.
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8．6 空间直线、平面的垂直
8．6.2 直线与平面垂直
第八章 立体几何初步
学习指导 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系． 2．归纳出直线与平面垂直的判定定理及性质定理，并会用定理证明相关问题． 3．了解直线与平面所成的角、直线与平面、平面与平面间的距离． 1.数学抽象、直观想象：直线与平面垂直的定义．
2．逻辑推理：利用直线与平面垂直的判定定理及性质定理推断线面关系．
3．数学运算：计算直线与平面所成的角、直线与平面、平面与平面间的距离．
第1课时 直线与平面垂直(一)
01
必备知识 落实
知识点一 直线与平面垂直
定义 一般地，如果直线l与平面α内的__________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
任意一条
有关 概念 直线l叫做平面α的______，平面α叫做直线l的______．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做______
图示 及画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平
面的平行四边形的一边垂直
垂线
垂面
垂足
直线与平面垂直的定义中，强调“任意一条”，而不是“存在一条”．
下列说法正确的有________．(填序号)
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．
【解析】 因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相
交，可能平行，也可能异面，故①不正确. 由线面垂直的定义
可得，②正确．因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确．如图，l与α不垂直，但a α，l⊥a，故④不正确．
【答案】 ②
对线面垂直定义的理解
(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任意一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．
(2)由定义可得“线面垂直 线线垂直”，即：若a⊥α，b α，则a⊥b.
直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
解析：因为l⊥α，所以l垂直于平面α内的每一条直线，又m α，所以l⊥m，
所以直线l与m不可能平行．
√
知识点二 直线与平面垂直的判定定理
文字 语言 如果一条直线与一个平面内的__________直线垂直，那么该直线与此平面垂直
图形 语言
符号 语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
两条相交
该判定定理中，强调“两条相交直线”而不是“两条平行直线”．
如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的
中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
【证明】 因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
【证明】 因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，SD，AC 平面SAC，
所以BD⊥平面SAC.
(1)线线垂直和线面垂直的相互转化
(2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理．
③如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的
平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
求证：AN⊥平面PBM.
证明：因为AB为⊙O的直径，M为圆周上任意一点，
所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.
又因为PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，所以BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，所以BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，
所以AN⊥平面PBM.
知识点三 直线和平面所成的角
(1)有关概念
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α______，但不与这个平面______，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的________叫做斜足 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引______PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影 相交
垂直
交点A
垂线
(2)直线与平面所成的角
定义 平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角
规定 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是______；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是_____
范围 直线与平面所成的角θ的取值范围是______________
射影
90°
0°
0°≤θ≤90°
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
【解】 因为AB⊥平面AA1D1D，
所以∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
所以∠AA1B＝45°，
所以A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．
【解】 FO与BD所成的角．
连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，A1O 平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1O，又A1O⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面BB1D1D，
所以A1O⊥平面BB1D1D，
所以∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角．
求直线与平面所成的角的步骤
如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是
正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB＝1，AA′＝2，求直线
BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值．
解：如图所示，取A′B′的中点D，
连接C′D，BD.
因为底面△A′B′C′是正三角形，所以C′D⊥A′B′.
因为AA′⊥底面A′B′C′，所以AA′⊥C′D.
02
课堂巩固 自测
1．已知直线l，m和平面α，m α，则“l⊥m”是“l⊥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若l⊥α，则l⊥m一定成立，即必要性成立．若l⊥m，则l⊥α不一定成立，只有当l垂直于平面α内的两条相交直线时，该结论才成立，故充分性不成立．综上所述，“l⊥m”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选B．
√
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C B．平面A1DCB1
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
解析：因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1 平面A1DCB1，所以AD1⊥平面A1DCB1.故选B．
√
3．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号)
解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①，③，④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．
答案：①③④
4．如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且PA＝PC，
PB＝PD.若O是AC与BD的交点．求证：PO⊥平面ABCD.
证明：由已知得，O分别为BD，AC的中点，
在△PBD中，PB＝PD，O为BD的中点，
所以PO⊥BD.
在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，
所以PO⊥AC.
又因为AC∩BD＝O，且AC，BD 平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.
03
课后达标 检测
[A 基础达标]
1．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角为( )
A．40° B．50°
C．90° D．150°
解析：若两条直线平行，则它们与同一平面所成的角相等．因为直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，所以直线b与平面α所成的角为50°.故选B．
√
2．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，b α，c α B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α
解析：由线面垂直的判定定理易知D正确．
√
3．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
√
4．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD
的位置关系是( )
A．平行 B．垂直相交
C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
解析：连接AC(图略).因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，AC，MC 平面AMC，所以BD⊥平面AMC.又MA 平面AMC，所以MA⊥BD.由题图可得，AM与BD不相交，故选C．
√
5．如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，
则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：由PB⊥α，AC α得PB⊥AC，
又AC⊥PC，PC∩PB＝P，PC，PB 平面PBC，
所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC.所以△ABC是直角三角形，故选B．
√
6．(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是( )
A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC
√
√
√
解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，故A正确；
由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，因为PA＝AB，D为PB的中点，所以AD⊥PB，PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，从而AD⊥平面PBC，故C正确；
因为PC 平面PBC，所以AD⊥PC，故B正确；
在平面PBC中，PB⊥BC，所以PB与CD不垂直，所以PB不垂直于平面ADC，故D不正确．
7．设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA，PB，PC的关系是________．
解析：因为H为AC的中点，∠ABC＝90°，所以AH＝BH＝CH，又PH⊥平面ABC，由勾股定理知PA＝PB＝PC.
答案：PA＝PB＝PC
8．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，
△PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有__________________；
解析：因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC 平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.
答案：AB，AC，BC
(2)与AP垂直的直线有__________________．
解析：∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，
AC∩PC＝C，AC，PC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为AP 平面PAC，所以BC⊥AP.
答案：BC
9．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则
直线PB与平面ABC所成角的度数为________．
解析：因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角. 在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，
所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.
答案：45°
10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，
且PA＝PC，判断直线AC与平面PBD是否垂直，并说明理由．
解：设AC⊥平面PBD.理由如下：
AC∩BD＝O，连接PO，
因为底面ABCD是菱形，
则AC⊥BD，且O为AC的中点，
因为PA＝PC，则PO⊥AC，
又因为PO∩BD＝O，PO，BD 平面PBD，
所以AC⊥平面PBD.
[B 能力提升]
11．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，
那么直线l与直线AC的关系是( )
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
解析：因为AB⊥α，l α，所以AB⊥l，又因为BC⊥β，l β，所以BC⊥l，又AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，所以l⊥平面ABC，又AC 平面ABC，所以l⊥AC.
√
√
13．(多选)如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥
底面ABCD，则下列结论中正确的是( )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
√
√
√
解析：对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；
对于选项B，因为AB∥CD，AB 平面SCD，CD 平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正确；
对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确；
由题意得，AB与SC所成的角为∠SCD，DC与SA所成的角为∠SAB，显然，∠SCD≠∠SAB，故D不正确．
14．如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，
DE＝DA＝2.
(1)求证：AC⊥平面BDE；
证明：因为四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD.
因为DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以AC⊥DE，
因为BD，DE 平面BED，BD∩DE＝D，
所以AC⊥平面BDE.
(2)求AE与平面BDE所成角的大小．
[C 拓展冲刺]
15．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，当底面
A1B1C1满足条件______时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正
确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，
因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要
证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．
因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，
故只要证A1C1⊥B1C1即可(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等).
答案：∠A1C1B1＝90°
(2)求直线PC与平面PAB所成的角．
