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第2课时 直线与平面垂直(二)
知识点一 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
关于线面垂直性质定理的应用
(1)在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面．
(2)注意线面垂直性质定理的推论的应用，利用平行关系转化为垂直关系，或将垂直关系转化为平行关系．
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，垂足为B，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则有( )
A．B1B⊥l B．B1B∥l
C．B1B与l异面 D．B1B与l相交
2.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB.求证：a∥l.
知识点二 空间距离
1．直线与平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
2．平面与平面的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，求A1B1到平面D1EF的距离．
空间中距离的转化
(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的某一点到平面的距离．
(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．
(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．
1．线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为，平面AB1D1到平面BC1D的距离为________．
考点 直线与平面垂直关系的综合应用
已知斜边为AB的直角三角形ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，如图．
(1)求证：EF⊥PB；
(2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.
线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面；
(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
证明：(1)BE⊥平面EB1C1；
(2)B1E⊥EC.
1．已知平面α∥平面β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n α，则m⊥n
C．若m⊥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
3．在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离为________．
4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.求证：l∥AE.
[A 基础达标]
1．已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为( )
A．1 B．
C．2 D．2
3．如图，在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝BC＝CD＝1，则AD＝( )
A．1 B．
C． D．2
4．(多选)下列说法中正确的是( )
A．过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直
B．过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直
C．过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行
D．过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直
5．(多选)设m，n为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，下列命题正确的是( )
A．若m∥α且n α，则m∥n B．若m⊥α且n⊥α，则m∥n
C．若m∥α且m∥β，则α∥β D．若m⊥α且m⊥β，则α∥β
6.(多选)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是( )
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PD⊥BD D．PA⊥BD
7.如图，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．
8．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E∈BD，F∈B1D1，且EF⊥AB，则EF与AA1的位置关系是________．
9．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2.则直线AB到平面A1B1C1D1的距离为________；
平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离为________．
10．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1.
[B 能力提升]
11．在三棱锥P-ABC中，PO⊥平面ABC，垂足为O，且PA＝PB＝PC，则点O一定是△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
12．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
13．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1与DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
14．如图，已知AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为的中点，点P为圆柱上底面圆O1上一点，PA⊥平面ABC，PA＝AB，过点A作AE⊥PC，交PC于点E.
(1)求证：AE⊥PB；
(2)若点C到平面PAB的距离为1，求圆柱OO1的表面积．
[C 拓展冲刺]
15．(多选)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，分别沿AE，EF，FA将△ABE，△ECF，△ADF折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体A-OEF，连接AH，则在四面体A-OEF中，下列结论正确的是( )
A．AO⊥平面EOF B．AH⊥平面EOF
C．AO⊥EF D．AF⊥OE
16．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2.
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)在棱PC上是否存在点H，使得AH⊥平面PCD？若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由．
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8．6 空间直线、平面的垂直
8．6.2 直线与平面垂直
第2课时 直线与平面垂直(二)
第八章 立体几何初步
01
必备知识 落实
平行
a∥b
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【证明】 因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，
所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
关于线面垂直性质定理的应用
(1)在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面．
(2)注意线面垂直性质定理的推论的应用，利用平行关系转化为垂直关系，或将垂直关系转化为平行关系．
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，垂足为B，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则有( )
A．B1B⊥l B．B1B∥l
C．B1B与l异面 D．B1B与l相交
解析：因为B1B⊥平面A1C1，又l⊥平面A1C1，则l∥B1B.
√
2.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，
垂足为B，直线a β，a⊥AB.求证：a∥l.
证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，
所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a∥l.
知识点二 空间距离
1．直线与平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上__________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
2．平面与平面的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的__________到另一个平面的距离都______，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
任意一点
任意一点
相等
如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F
分别为棱AA1，BB1的中点，求A1B1到平面D1EF的距离．
【解】 因为E，F分别为棱AA1，BB1的中点，
所以A1B1∥EF，又EF 平面D1EF，
所以A1B1∥平面D1EF，所以A1B1到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离，设该距离为h.
空间中距离的转化
(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的某一点到平面的距离．
(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．
(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．
1．线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂
线，垂足分别为A1，M1，B1.
则由线面垂直的性质可知，
AA1∥MM1∥BB1，
四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，
MM1为其中位线，所以MM1＝4.
答案：4
02
关键能力 提升
考点 直线与平面垂直关系的综合应用
已知斜边为AB的直角三角形ABC，PA⊥平面
ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，如图．
(1)求证：EF⊥PB；
【证明】 因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC.
因为△ABC为斜边为AB的直角三角形，
所以BC⊥AC.因为PA∩AC＝A，
PA，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
因为AF 平面PAC，所以BC⊥AF.
又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，
PC，BC 平面PBC，
所以AF⊥平面PBC.
因为PB 平面PBC，所以AF⊥PB.
又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，
AE，AF 平面AEF，
所以PB⊥平面AEF.又EF 平面AEF，
所以EF⊥PB.
(2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.
【证明】 由(1)知，PB⊥平面AEF，
而l⊥平面AEF，所以PB∥l.
线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面；
(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是
正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
证明：(1)BE⊥平面EB1C1；
证明：因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，
所以B1C1⊥侧面A1B1BA，
又BE 平面A1B1BA，所以BE⊥B1C1，又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1 平面EB1C1，
所以BE⊥平面EB1C1.
(2)B1E⊥EC.
证明：由(1)得BE⊥平面EB1C1，所以BE⊥EB1，
又因为CB⊥平面ABB1A1，
所以B1E⊥BC，且BC∩BE＝B，BC，BE 平面BCE，
所以B1E⊥平面BCE.
所以B1E⊥EC.
03
课堂巩固 自测
1．已知平面α∥平面β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
√
2．已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n α，则m⊥n
C．若m⊥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
解析：由题可知， 若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面， 故A错误；
若m⊥α，n α，则m⊥n，故B正确；
若m⊥α，n∥α，则m⊥n，故C错误；
若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α，或n与α相交或n α，故D错误．
√
3．在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离为________．
解析：平面ABCD∥平面A1B1C1D1且点A1到平面ABCD的距离为4，所以所求距离为4.
答案：4
4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形
ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.求证：l∥AE.
证明：因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.
因为AE 平面PAD，所以CD⊥AE.
又因为AE⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因为l⊥平面PCD，所以l∥AE.
04
课后达标 检测
[A 基础达标]
1．已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
解析：依题意知l⊥平面ABC，m⊥平面ABC，所以l∥m.
√
√
√
4．(多选)下列说法中正确的是( )
A．过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直
B．过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直
C．过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行
D．过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直
解析：由线面垂直的性质及线面平行的性质知A，B，C正确；
D错误，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直．
√
√
√
5．(多选)设m，n为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，下列命题正确的是( )
A．若m∥α且n α，则m∥n B．若m⊥α且n⊥α，则m∥n
C．若m∥α且m∥β，则α∥β D．若m⊥α且m⊥β，则α∥β
√
√
解析：A：若m∥α且n α，则m，n可能平行或异面，故A错误；
B：若m⊥α且n⊥α，根据垂直于同一平面的两直线互相平行，故B正确；
C：若m∥α且m∥β，根据面面的位置关系定义可得α与β可能平行也可能相交，故C错误；
D：若m⊥α且m⊥β，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故D正确．故选BD．
6.(多选)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论
中正确的是( )
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PD⊥BD D．PA⊥BD
解析：PA⊥平面ABCD PA⊥BD，D正确；
√
√
√
7.如图，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．
解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
所以AF∥DE.
因为AF＝DE，所以四边形ADEF是平行四边形，所以EF＝AD＝6.
答案：6
8．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E∈BD，F∈B1D1，且EF⊥AB，则EF与AA1的位置关系是________．
解析：如图，因为AB⊥BB1，AB⊥EF，且AB不垂直于
平面BB1D1D，
所以EF与BB1不相交，所以EF∥BB1，
又AA1∥BB1，所以EF∥AA1.
答案：平行
9．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2.则直线AB到平面A1B1C1D1的距离为________；
平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离为________．
解析：如图，在长方体中，因为AB∥平面A1B1C1D1，点A到
平面A1B1C1D1的距离就是AB到平面A1B1C1D1的距离，因为
AA1⊥平面A1B1C1D1，所以所求距离为AA1＝2；AB⊥平面
ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以所求距离为AB＝4.
答案：2 4
10．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1.
证明：因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，A1D，CD 平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
[B 能力提升]
11．在三棱锥P-ABC中，PO⊥平面ABC，垂足为O，且PA＝PB＝PC，则点O一定是△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
解析：如图所示，分别连接OA，OB，OC，因为PO⊥平面
ABC，可得PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，又因为PA＝PB＝
PC，利用勾股定理，可得OA＝OB＝OC，所以点O一定是
△ABC的外心．故选B．
√
12．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α
B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE
D．PQ⊥FH
解析：因为EG⊥平面α，FH⊥平面α，所以EG∥FH，即E，F，H，G四点共面．因为EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ 平面β，得EF⊥PQ.又EG∩EF＝E，所以PQ⊥平面EFHG，因为GH 平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B．
√
13．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，
AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1
上的动点，AB1与DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，
则线段B1F的长为________．
(2)若点C到平面PAB的距离为1，求圆柱OO1的表面积．
[C 拓展冲刺]
15．(多选)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为
BC，CD的中点，H为EF的中点，分别沿AE，EF，
FA将△ABE，△ECF，△ADF折起，使B，C，D重
合于点O，构成四面体A-OEF，连接AH，则在四面体A-OEF中，下列结论正确的是( )
A．AO⊥平面EOF B．AH⊥平面EOF
C．AO⊥EF D．AF⊥OE
√
√
√
解析：易知AO⊥OE，AO⊥OF，OE∩OF＝O，所以AO⊥平面EOF，故A正确，B错误；
因为EF 平面EOF，所以AO⊥EF，故C正确；
同理可得OE⊥平面AOF，因为AF 平面AOF，所以OE⊥AF，故D正确．故选ACD．
16．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，
AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2.
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)在棱PC上是否存在点H，使得AH⊥平面PCD？若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
第2课时 直线与平面垂直(二)
知识点一 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【证明】 因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，
所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
关于线面垂直性质定理的应用
(1)在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面．
(2)注意线面垂直性质定理的推论的应用，利用平行关系转化为垂直关系，或将垂直关系转化为平行关系．
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，垂足为B，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则有( )
A．B1B⊥l B．B1B∥l
C．B1B与l异面 D．B1B与l相交
解析：选B．因为B1B⊥平面A1C1，又l⊥平面A1C1，则l∥B1B.
2.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB.求证：a∥l.
证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，
所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a∥l.
知识点二 空间距离
1．直线与平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
2．平面与平面的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，求A1B1到平面D1EF的距离．
【解】 因为E，F分别为棱AA1，BB1的中点，所以A1B1∥EF，又EF 平面D1EF，
所以A1B1∥平面D1EF，所以A1B1到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离，设该距离为h.
连接A1F(图略).由VA-DEF＝VF-ADE，得××1××h＝××1××1，所以h＝.
所以A1B1到平面D1EF的距离为.
空间中距离的转化
(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的某一点到平面的距离．
(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．
(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．
1．线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1.
则由线面垂直的性质可知，
AA1∥MM1∥BB1，
四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，
MM1为其中位线，所以MM1＝4.
答案：4
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为，平面AB1D1到平面BC1D的距离为________．
解析：由题意知两平面平行，所以原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h，由等体积法可得VC-ABD＝VA-BCD，即××22×sin 60°·h＝××××，解得h＝，即平面AB1D1到平面BC1D的距离为.
答案：
考点 直线与平面垂直关系的综合应用
已知斜边为AB的直角三角形ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，如图．
(1)求证：EF⊥PB；
(2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.
【证明】 (1)因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC.
因为△ABC为斜边为AB的直角三角形，
所以BC⊥AC.因为PA∩AC＝A，
PA，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
因为AF 平面PAC，所以BC⊥AF.
又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，
PC，BC 平面PBC，
所以AF⊥平面PBC.
因为PB 平面PBC，所以AF⊥PB.
又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，
AE，AF 平面AEF，
所以PB⊥平面AEF.又EF 平面AEF，
所以EF⊥PB.
(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，
而l⊥平面AEF，所以PB∥l.
线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面；
(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
证明：(1)BE⊥平面EB1C1；
(2)B1E⊥EC.
证明：(1)因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，
所以B1C1⊥侧面A1B1BA，
又BE 平面A1B1BA，所以BE⊥B1C1，又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1 平面EB1C1，
所以BE⊥平面EB1C1.
(2)由(1)得BE⊥平面EB1C1，所以BE⊥EB1，
又因为CB⊥平面ABB1A1，
所以B1E⊥BC，且BC∩BE＝B，BC，BE 平面BCE，
所以B1E⊥平面BCE.
所以B1E⊥EC.
1．已知平面α∥平面β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
2．已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n α，则m⊥n
C．若m⊥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
解析：选B．由题可知， 若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面， 故A错误；若m⊥α，n α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，n∥α，则m⊥n，故C错误；若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α，或n与α相交或n α，故D错误．
3．在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离为________．
解析：平面ABCD∥平面A1B1C1D1且点A1到平面ABCD的距离为4，所以所求距离为4.
答案：4
4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.求证：l∥AE.
证明：因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.
因为AE 平面PAD，所以CD⊥AE.
又因为AE⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因为l⊥平面PCD，所以l∥AE.
[A 基础达标]
1．已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
解析：选C．依题意知l⊥平面ABC，m⊥平面ABC，所以l∥m.
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为( )
A．1 B．
C．2 D．2
解析：选B．如图，连接AC，DB交于点O，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
可得
AC⊥平面BDD1B1，
所以点C到平面BDD1B1的距离为CO，
CO＝AC＝.
3．如图，在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝BC＝CD＝1，则AD＝( )
A．1 B．
C． D．2
解析：选C．因为BC⊥CD，AB＝BC＝CD＝1，
所以BD＝＝，
又AB⊥平面BCD，BD 平面BCD，
所以AB⊥BD，因此AD＝＝.
故选C．
4．(多选)下列说法中正确的是( )
A．过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直
B．过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直
C．过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行
D．过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直
解析：选ABC．由线面垂直的性质及线面平行的性质知A，B，C正确；D错误，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直．
5．(多选)设m，n为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，下列命题正确的是( )
A．若m∥α且n α，则m∥n B．若m⊥α且n⊥α，则m∥n
C．若m∥α且m∥β，则α∥β D．若m⊥α且m⊥β，则α∥β
解析：选BD．A：若m∥α且n α，则m，n可能平行或异面，故A错误；B：若m⊥α且n⊥α，根据垂直于同一平面的两直线互相平行，故B正确；C：若m∥α且m∥β，根据面面的位置关系定义可得α与β可能平行也可能相交，故C错误；D：若m⊥α且m⊥β，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故D正确．故选BD．
6.(多选)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是( )
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PD⊥BD D．PA⊥BD
解析：选ABD．PA⊥平面ABCD PA⊥BD，D正确；
BC⊥平面PAB BC⊥PB.
故A正确；同理B正确；C不正确．
7.如图，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．
解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE.
因为AF＝DE，所以四边形ADEF是平行四边形，所以EF＝AD＝6.
答案：6
8．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E∈BD，F∈B1D1，且EF⊥AB，则EF与AA1的位置关系是________．
解析：如图，因为AB⊥BB1，AB⊥EF，且AB不垂直于平面BB1D1D，
所以EF与BB1不相交，所以EF∥BB1，
又AA1∥BB1，所以EF∥AA1.
答案：平行
9．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2.则直线AB到平面A1B1C1D1的距离为________；
平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离为________．
解析：如图，在长方体中，因为AB∥平面A1B1C1D1，点A到平面A1B1C1D1的距离就是AB到平面A1B1C1D1的距离，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以所求距离为AA1＝2；AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以所求距离为AB＝4.
答案：2 4
10．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1.
证明：因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，A1D，CD 平面A1DC，
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
[B 能力提升]
11．在三棱锥P-ABC中，PO⊥平面ABC，垂足为O，且PA＝PB＝PC，则点O一定是△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
解析：选B．如图所示，分别连接OA，OB，OC，因为PO⊥平面ABC，可得PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，又因为PA＝PB＝PC，利用勾股定理，可得OA＝OB＝OC，所以点O一定是△ABC的外心．故选B．
12．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
解析：选B．因为EG⊥平面α，FH⊥平面α，所以EG∥FH，即E，F，H，G四点共面．因为EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ 平面β，得EF⊥PQ.又EG∩EF＝E，所以PQ⊥平面EFHG，因为GH 平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B．
13．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1与DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
解析：当AB1⊥平面C1DF时，AB1⊥DF，又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥A1B1，AB1⊥DF，且∠AB1A1＝∠DB1E，故∠B1AA1＝∠FDB1.
所以tan ∠B1AA1＝tan ∠FDB1，即＝，
所以B1F＝＝＝.
答案：
14．如图，已知AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为的中点，点P为圆柱上底面圆O1上一点，PA⊥平面ABC，PA＝AB，过点A作AE⊥PC，交PC于点E.
(1)求证：AE⊥PB；
(2)若点C到平面PAB的距离为1，求圆柱OO1的表面积．
解：(1)证明：因为AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为的中点，所以BC⊥AC，因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，因为AE 平面PAC，所以BC⊥AE，又因为AE⊥PC，且PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC，因为PB 平面PBC，所以AE⊥PB.
(2)因为点C到平面PAB的距离为1且C为的中点，所以PA＝AB＝2，所以圆柱OO1的表面积为S＝2×π×12＋2π×1×2＝6π.
[C 拓展冲刺]
15．(多选)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，分别沿AE，EF，FA将△ABE，△ECF，△ADF折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体A-OEF，连接AH，则在四面体A-OEF中，下列结论正确的是( )
A．AO⊥平面EOF B．AH⊥平面EOF
C．AO⊥EF D．AF⊥OE
解析：选ACD．易知AO⊥OE，AO⊥OF，OE∩OF＝O，所以AO⊥平面EOF，故A正确，B错误；因为EF 平面EOF，所以AO⊥EF，故C正确；同理可得OE⊥平面AOF，因为AF 平面AOF，所以OE⊥AF，故D正确．故选ACD．
16．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2.
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)在棱PC上是否存在点H，使得AH⊥平面PCD？若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由．
解：(1)证明：由题意，可得CD＝AC＝，又AD＝2.
所以AC2＋CD2＝AD2，即AC⊥CD，
又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.
(2)存在．过点A作AH⊥PC，垂足为H，
由(1)可得CD⊥AH，又PC∩CD＝C，
所以AH⊥平面PCD，
因为在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝，PC＝，
＝，
解得PH＝，
所以PH＝PC，即在棱PC上存在点H，
且PH＝PC，使得AH⊥平面PCD.
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