(共57张PPT)
8．6 空间直线、平面的垂直
8．6.3 平面与平面垂直
第2课时 平面与平面垂直(二)
第八章 立体几何初步
01
必备知识 落实
垂直
a⊥β
面面垂直的性质定理的理解
(1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．
(2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
如图，点P为四边形ABCD所在平面外一点，平面PAD
⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点．
求证：(1)PE⊥平面ABCD；
【证明】 因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PE⊥平面ABCD.
(2)平面PBE⊥平面ABCD.
【证明】 由(1)知PE⊥平面ABCD，
又PE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD.
应用面面垂直的性质定理的策略
[注意] 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
如图，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.
求证：VA⊥平面VBC.
证明：因为平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面VAB.
又VA 平面VAB，所以BC⊥VA.
又VB⊥平面VAD，所以VB⊥VA.
又VB∩BC＝B，所以VA⊥平面VBC.
02
关键能力 提升
考点 垂直关系的综合问题
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，
CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别
是CD和PC的中点．
求证：(1)PA⊥底面ABCD；
【证明】 因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA 平面PAD，
所以PA⊥底面ABCD.
(2)平面BEF⊥平面PCD.
【证明】 由题意知四边形ABED为矩形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，又CD 底面ABCD，
所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，AD，PA 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.又PD 平面PAD，
所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF，所以CD⊥EF.
又EF∩BE＝E，EF，BE 平面BEF，
所以CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
垂直关系的转化
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
如图，边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
证明：因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACDE.又AM 平面ACDE，所以BC⊥AM.因为四边形ACDE是正方形，所以AM⊥CE.又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值．
解：取AB的中点F，连接CF，EF.
因为EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，
平面ACDE∩平面ABC＝AC，
所以EA⊥平面ABC，
因为CF 平面ABC，
所以EA⊥CF.
又AC＝BC，所以CF⊥AB.
03
课堂巩固 自测
1．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是( )
A．l∥β或l β B．l∥m
C．m⊥α D．l⊥m
解析：由l⊥平面α，且α⊥β知l∥β或l β，A成立；
m与α不一定垂直，C不成立；
l与m平行、相交、异面都可能，所以B，D不成立．
√
2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
解析：两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能．
√
3．把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起使平面ADC⊥平面
BDC，如图所示，互相垂直的平面有______对．
解析：由已知得CD⊥AD，CD⊥BD，BD∩AD＝D，
所以CD⊥平面ABD，所以平面ADC⊥平面ABD，平面ADB⊥平面BDC，又因为平面ADC⊥平面BDC，所以互相垂直的平面有3对．
答案：3
4．如图，在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明：因为平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，
PA 平面PAC，∠PAC＝90°即PA⊥AC，
所以PA⊥平面ABC.又BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
因为∠ABC＝90°即AB⊥BC，AB∩PA＝A，
AB，PA 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.又BC 平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC.
04
课后达标 检测
[A 基础达标]
1．已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是( )
A．异面 B．相交但不垂直
C．平行 D．相交且垂直
解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n，故选C．
√
2．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：对于选项A，两平面可能平行也可能相交；
对于选项C，直线l可以在β内也可能平行于β；
对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．
√
3．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
√
解析：如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD，所以BD⊥AC.
因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，
平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
BD 平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，
又CC1 平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.故选C．
4．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一点M，作ME⊥AB于点E，则( )
A．ME⊥平面ABCD B．ME 平面ABCD
C．ME∥平面ABCD D．以上都有可能
√
解析：因为M∈平面ABB1A1，E∈AB，
即E∈平面ABB1A1，
所以ME 平面ABB1A1.
又在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，
所以ME⊥平面ABCD.故选A．
√
6.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥
平面ABC，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
√
解析：作AE⊥BD于点E，
因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以AE⊥平面BCD.又因为BC 平面BCD，
所以AE⊥BC.因为DA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以DA⊥BC.
又因为AE∩DA＝A，所以BC⊥平面ABD.
因为AB 平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．故选B．
7．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则直线a与平面α的位置关系是________．
解析：因为平面α⊥平面β，所以存在b α，使b⊥β，
又a⊥β，所以a∥b，即a α或a∥α.
答案：a α或a∥α
8．如图所示，在三棱锥P-ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________．
9．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．
[B 能力提升]
11．如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，
平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹
是( )
A．一条线段
B．一条直线
C．一个圆
D．一个圆，但要去掉两个点
√
解析：因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC 平面PAC，所以AC⊥平面PBC.又因为BC 平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．故选D．
答案：2
13．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．(填序号)
解析：共有四个命题：①②③ ④，①②④ ③，①③④ ②，②③④ ①.
对于①②③ ④，若m⊥n，α⊥β，n⊥β，则m与α可平行或相交，故命题错误；
对于①②④ ③，若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n与β可平行或相交，故命题错误；
对于①③④ ②，因为m⊥n，n⊥β，则m β或m∥β，又因为m⊥α，则α⊥β，故命题正确；
对于②③④ ①，因为m⊥α，α⊥β，则m β或m∥β，又因为n⊥β，则m⊥n，故命题正确．
答案：①③④ ②或②③④ ①
14．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．求证：
(1)BG⊥平面PAD；
证明：因为四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
所以△ABD是正三角形，因为G为AD的中点，
所以BG⊥AD.
又平面PAD∩平面ABD＝AD，
平面PAD⊥平面ABD，BG 平面ABD，
所以BG⊥平面PAD.
(2)AD⊥PB.
证明：由(1)可知BG⊥AD，又△PAD为正三角形，
所以PG⊥AD.
因为BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，
所以AD⊥平面PBG.
又PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
[C 拓展冲刺]
15．在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB＝AD＝BC＝CD＝1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB的中点，则线段CM的长为________．
解析：如图所示，取BD的中点O，
连接OA，OC，因为AB＝AD＝BC＝CD＝1，所以OA⊥BD，OC⊥BD.
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，OA 平面ABD，
所以OA⊥平面BCD，所以OA⊥OC.
16．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝
BC＝BD＝2.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，
DC，AD的中点．
(1)求证：EF⊥平面BCG；
证明：因为AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，
所以△ABC≌△DBC，所以AC＝DC.
因为G为AD的中点，所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD，
因为CG∩BG＝G，CG，BG 平面BCG，所以AD⊥平面BCG.
又E，F分别是AC，CD的中点，所以EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.
(2)求三棱锥D-BCG的体积．
解：在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于点O，
因为△ABC和△BCD所在平面互相垂直，平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO 平面ABC，
所以AO⊥平面BCD.
因为G为AD的中点，
所以G到平面BCD的距离h是AO长度的一半．中小学教育资源及组卷应用平台
第2课时 平面与平面垂直(二)
知识点 平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 a⊥β
图形语言
面面垂直的性质定理的理解
(1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．
(2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
如图，点P为四边形ABCD所在平面外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点．
求证：(1)PE⊥平面ABCD；
(2)平面PBE⊥平面ABCD.
应用面面垂直的性质定理的策略
[注意] 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
如图，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.
求证：VA⊥平面VBC.
考点 垂直关系的综合问题
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．
求证：(1)PA⊥底面ABCD；
(2)平面BEF⊥平面PCD.
垂直关系的转化
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
如图，边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值．
1．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是( )
A．l∥β或l β B．l∥m
C．m⊥α D．l⊥m
2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
3．把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起使平面ADC⊥平面BDC，如图所示，互相垂直的平面有______对．
4．如图，在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
[A 基础达标]
1．已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是( )
A．异面 B．相交但不垂直
C．平行 D．相交且垂直
2．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
3．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
4．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一点M，作ME⊥AB于点E，则( )
A．ME⊥平面ABCD B．ME 平面ABCD
C．ME∥平面ABCD D．以上都有可能
5．已知在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是边长为3的等边三角形，BD＝CD，BD⊥CD，则四面体ABCD的体积为( )
A． B．
C． D．
6.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
7．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则直线a与平面α的位置关系是________．
8．如图所示，在三棱锥P-ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________．
9．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．
10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.求证：平面PAB⊥平面PBD.
[B 能力提升]
11．如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )
A．一条线段 B．一条直线
C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点
12．如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________．
13．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．(填序号)
14．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．求证：
(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
[C 拓展冲刺]
15．在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB＝AD＝BC＝CD＝1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB的中点，则线段CM的长为________．
16．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
(1)求证：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱锥D-BCG的体积．
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第2课时 平面与平面垂直(二)
知识点 平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 a⊥β
图形语言
面面垂直的性质定理的理解
(1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．
(2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
如图，点P为四边形ABCD所在平面外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点．
求证：(1)PE⊥平面ABCD；
(2)平面PBE⊥平面ABCD.
【证明】 (1)因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PE⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PE⊥平面ABCD，
又PE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD.
应用面面垂直的性质定理的策略
[注意] 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
如图，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.
求证：VA⊥平面VBC.
证明：因为平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，
BC 平面ABCD，所以BC⊥平面VAB.
又VA 平面VAB，所以BC⊥VA.
又VB⊥平面VAD，所以VB⊥VA.
又VB∩BC＝B，所以VA⊥平面VBC.
考点 垂直关系的综合问题
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．
求证：(1)PA⊥底面ABCD；
(2)平面BEF⊥平面PCD.
【证明】 (1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA 平面PAD，
所以PA⊥底面ABCD.
(2)由题意知四边形ABED为矩形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，又CD 底面ABCD，
所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，AD，PA 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.又PD 平面PAD，
所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF，所以CD⊥EF.
又EF∩BE＝E，EF，BE 平面BEF，
所以CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
垂直关系的转化
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
如图，边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值．
解：(1)证明：因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACDE.又AM 平面ACDE，所以BC⊥AM.因为四边形ACDE是正方形，所以AM⊥CE.又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.
(2)取AB的中点F，连接CF，EF.
因为EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，
平面ACDE∩平面ABC＝AC，
所以EA⊥平面ABC，
因为CF 平面ABC，
所以EA⊥CF.
又AC＝BC，所以CF⊥AB.
因为EA∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB，
所以∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．
在Rt△CFE中，CF＝，FE＝，
tan ∠CEF＝＝＝.
1．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是( )
A．l∥β或l β B．l∥m
C．m⊥α D．l⊥m
解析：选A．由l⊥平面α，且α⊥β知l∥β或l β，A成立；m与α不一定垂直，C不成立；l与m平行、相交、异面都可能，所以B，D不成立．
2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
解析：选D．两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能．
3．把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起使平面ADC⊥平面BDC，如图所示，互相垂直的平面有______对．
解析：由已知得CD⊥AD，CD⊥BD，BD∩AD＝D，所以CD⊥平面ABD，所以平面ADC⊥平面ABD，平面ADB⊥平面BDC，又因为平面ADC⊥平面BDC，所以互相垂直的平面有3对．
答案：3
4．如图，在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明：因为平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，
PA 平面PAC，∠PAC＝90°即PA⊥AC，
所以PA⊥平面ABC.又BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
因为∠ABC＝90°即AB⊥BC，AB∩PA＝A，
AB，PA 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.又BC 平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC.
[A 基础达标]
1．已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是( )
A．异面 B．相交但不垂直
C．平行 D．相交且垂直
解析：选C．因为α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n，故选C．
2．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：选B．对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可以在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．
3．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
解析：选C．如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD，所以BD⊥AC.
因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，
平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
BD 平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，
又CC1 平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.故选C．
4．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一点M，作ME⊥AB于点E，则( )
A．ME⊥平面ABCD B．ME 平面ABCD
C．ME∥平面ABCD D．以上都有可能
解析：选A．因为M∈平面ABB1A1，E∈AB，
即E∈平面ABB1A1，
所以ME 平面ABB1A1.
又在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，
所以ME⊥平面ABCD.故选A．
5．已知在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是边长为3的等边三角形，BD＝CD，BD⊥CD，则四面体ABCD的体积为( )
A． B．
C． D．
解析：选C．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD⊥CD，CD 平面BCD，
所以CD⊥平面ABD.又等边三角形ABD的边长为3，则S△ABD＝AB·AD·sin 60°＝.又BD＝CD＝3，故VC-ABD＝CD·S△ABD＝.故选C．
6.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
解析：选B．作AE⊥BD于点E，
因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥平面BCD.又因为BC 平面BCD，
所以AE⊥BC.因为DA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以DA⊥BC.
又因为AE∩DA＝A，所以BC⊥平面ABD.
因为AB 平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．故选B．
7．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则直线a与平面α的位置关系是________．
解析：因为平面α⊥平面β，所以存在b α，使b⊥β，
又a⊥β，所以a∥b，即a α或a∥α.
答案：a α或a∥α
8．如图所示，在三棱锥P-ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________．
解析：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，即PA⊥AC，PA 平面PAC，所以PA⊥平面ABC.又AB 平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝＝.
答案：
9．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．
解析：如图，取CD的中点G，连接MG，NG，因为四边形ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
且平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG 平面ABCD，所以MG⊥平面DCEF，
可得MG⊥NG，
所以MN＝＝.
答案：
10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.求证：平面PAB⊥平面PBD.
证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB 平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.
又PD 平面PAD，所以PD⊥AB.
因为PA＝PD＝AD，所以PA2＋PD2＝AD2，
所以PA⊥PD.
又PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.
因为PD 平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.
[B 能力提升]
11．如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )
A．一条线段 B．一条直线
C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点
解析：选D．因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC 平面PAC，所以AC⊥平面PBC.又因为BC 平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．故选D．
12．如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________．
解析：如图，取AB的中点E，连接DE，CE，
因为△ADB是等边三角形，
所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC＝AB，DE 平面ABD，
所以DE⊥平面ABC.又CE 平面ABC，
所以DE⊥CE，由已知可得DE＝，CE＝1，
在Rt△DEC中，CD＝＝2.
答案：2
13．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．(填序号)
解析：共有四个命题：①②③ ④，①②④ ③，①③④ ②，②③④ ①.
对于①②③ ④，若m⊥n，α⊥β，n⊥β，则m与α可平行或相交，故命题错误；
对于①②④ ③，若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n与β可平行或相交，故命题错误；
对于①③④ ②，因为m⊥n，n⊥β，则m β或m∥β，又因为m⊥α，则α⊥β，故命题正确；
对于②③④ ①，因为m⊥α，α⊥β，则m β或m∥β，又因为n⊥β，则m⊥n，故命题正确．
答案：①③④ ②或②③④ ①
14．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．求证：
(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
证明：(1)因为四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
所以△ABD是正三角形，因为G为AD的中点，
所以BG⊥AD.
又平面PAD∩平面ABD＝AD，
平面PAD⊥平面ABD，BG 平面ABD，
所以BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，又△PAD为正三角形，
所以PG⊥AD.
因为BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，
所以AD⊥平面PBG.
又PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
[C 拓展冲刺]
15．在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB＝AD＝BC＝CD＝1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB的中点，则线段CM的长为________．
解析：如图所示，取BD的中点O，
连接OA，OC，因为AB＝AD＝BC＝CD＝1，所以OA⊥BD，OC⊥BD.
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，OA 平面ABD，
所以OA⊥平面BCD，所以OA⊥OC.
又AB⊥AD，所以DB＝，
所以OA＝OC＝OB＝.
取OB中点N，连接MN，CN，
所以MN∥OA，所以MN⊥平面BCD.
因为CN 平面BCD，所以MN⊥CN.
因为CN2＝ON2＋OC2＝，
MN2＝＝，
所以CM＝＝.
答案：
16．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
(1)求证：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱锥D-BCG的体积．
解：(1)证明：因为AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，
所以△ABC≌△DBC，所以AC＝DC.
因为G为AD的中点，所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD，
因为CG∩BG＝G，CG，BG 平面BCG，
所以AD⊥平面BCG.
又E，F分别是AC，CD的中点，
所以EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.
(2)在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于点O，
因为△ABC和△BCD所在平面互相垂直，平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO 平面ABC，
所以AO⊥平面BCD.
因为G为AD的中点，
所以G到平面BCD的距离h是AO长度的一半．
在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝，
所以h＝.
在△BCD中，S△BCD＝BD·BC·sin ∠DBC＝×2×2×＝.
所以VD-BCG＝VG-BCD＝S△BCD·h＝××＝.
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