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8．6.3 平面与平面垂直
学习指导 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解二面角的相关概念、平面与平面垂直的定义． 2．归纳出平面与平面垂直的判定定理及性质定理，并能利用定理证明一些简单的问题． 1.数学抽象、直观想象：理解二面角的相关概念、平面与平面垂直的定义． 2．逻辑推理：利用判定定理及性质定理推断线面、面面关系．
第1课时 平面与平面垂直(一)
知识点一 二面角
1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
2．画法：
3．记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q.
4．二面角的平面角：
(1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图．
(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．
二面角的大小与垂足在l上的位置无关．
如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.求二面角B-PA-C的大小．
解决二面角问题的策略
(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．
(2)求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．
1．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，则二面角D′-AB-D的大小为________．
2．如图，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的余弦值．
知识点二 平面与平面垂直
1．面面垂直的定义
定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直
画法 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．如图
记法 α⊥β
2.判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 α⊥β
(1)面面垂直的判定定理可简记：若线面垂直，则面面垂直．
(2)此定理是判定两个平面互相垂直的依据，也是找出一个平面的垂面的依据．
(1)如图，在四棱锥P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD且四边形ABCD是菱形．求证：平面PAC⊥平面PBD.
(2)如图，在四面体ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.
证明平面与平面垂直的两种常用方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：
①找出两相交平面的平面角；
②证明这个平面角是直角；
③根据定义判定这两个相交平面互相垂直．
(2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直，即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是
1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是( )
A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
C．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D．若m⊥α，n β，m⊥n，则α⊥β
2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱BC的中点，且AB＝AC.求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1.
1．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面( )
A．有1个 B．有2个
C．有无数个 D．不存在
2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，则二面角C1-AB-C为( )
A． B．
C． D．
3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列一定能使α⊥β成立的条件是( )
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
4．如图①所示，已知Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高．以AD为折痕将△ABC折起，使∠BDC为直角，如图②所示，求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
[A 基础达标]
1．从二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有条件( )
A．AO⊥BO，AO α，BO β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
2．下列命题中正确的是( )
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
3．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且满足m⊥α，m∥β，则下列说法一定正确的是( )
A．α⊥β B．α∥β
C．若n β，则m∥n D．若n α，则n⊥β
4.如图所示，在三棱锥A-BCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有( )
A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD
5．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后的△ABC是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角(非等边)三角形 D．钝角三角形
6．如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
7．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是________．
8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”或“不垂直”)
9．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1-BD-C的大小为________．
10．如图，在四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
证明：平面ACD⊥平面ABC.
[B 能力提升]
11．(多选)如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，以下四个命题正确的是( )
A．PA∥平面MOB B．MO∥平面PAC
C．OC⊥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC
12．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是________．
13．如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列关系正确的是________．(填序号)
①平面PAB⊥平面PBC； ②平面PAB⊥平面PAD；
③平面PAB⊥平面PCD； ④平面PAB⊥平面PAC.
14．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．求证：
(1)直线A1B1∥平面ABD；
(2)平面ABD⊥平面BCC1B1.
[C 拓展冲刺]
15．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.
16．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形．
(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABCD；
(2)求二面角B1-CD-A的余弦值．
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8．6 空间直线、平面的垂直
8．6.3 平面与平面垂直
第八章 立体几何初步
学习指导 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解二面角的相关概念、平面与平面垂直的定义． 2．归纳出平面与平面垂直的判定定理及性质定理，并能利用定理证明一些简单的问题． 1.数学抽象、直观想象：理解二面角的相关概念、平面与平面垂直的定义．
2．逻辑推理：利用判定定理及性质定理推断线面、面面关系．
第1课时 平面与平面垂直(一)
01
必备知识 落实
知识点一 二面角
1．定义：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的____，这两个半平面叫做二面角的____．
两个半平面
棱
面
2．画法：
3．记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q.
4．二面角的平面角：
(1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图．
(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．
二面角的大小与垂足在l上的位置无关．
如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.
求二面角B-PA-C的大小．
【解】 因为PA⊥平面ABCD，
所以AB⊥PA，AC⊥PA.
所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°.
即二面角B-PA-C的大小为45°.
解决二面角问题的策略
(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．
(2)求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．
1．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，则二面角D′-AB-D的大小为____．
解析：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AB⊥平面ADD′A′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′-AB-D的大小为45°.
答案：45°
2．如图，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的余弦值．
知识点二 平面与平面垂直
1．面面垂直的定义
定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直
画法 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．如图
记法 α⊥β
直二面角
垂线
(1)面面垂直的判定定理可简记：若线面垂直，则面面垂直．
(2)此定理是判定两个平面互相垂直的依据，也是找出一个平面的垂面的依据．
(1)如图，在四棱锥P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD且四
边形ABCD是菱形．求证：平面PAC⊥平面PBD.
【证明】 因为PA⊥平面ABCD，
BD 平面ABCD，所以BD⊥PA.
因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.
又因为BD 平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD.
证明平面与平面垂直的两种常用方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：
①找出两相交平面的平面角；
②证明这个平面角是直角；
③根据定义判定这两个相交平面互相垂直．
(2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直，即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是
1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是( )
A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
C．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D．若m⊥α，n β，m⊥n，则α⊥β
√
解析：A中，α，β可能平行也可能相交，所以A不正确；易知B正确；
C中，α∥β，仍然可以满足m⊥n，m α，n β，所以C不正确；
D中，α，β可能平行也可能相交，所以D不正确．故选B．
2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱BC的中点，
且AB＝AC.求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1.
证明：由题意知BB1⊥平面ABC，
又AD 平面ABC，所以BB1⊥AD.
因为D是BC的中点，
且AB＝AC，所以AD⊥BC.
因为BC∩BB1＝B，所以AD⊥平面BCC1B1.
因为AD 平面AC1D，所以平面AC1D⊥平面BCC1B1.
02
课堂巩固 自测
1．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面( )
A．有1个 B．有2个
C．有无数个 D．不存在
解析：由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．
√
√
3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列一定能使α⊥β成立的条件是( )
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
解析：对于A：α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行或垂直，故A错；
对于B：当α与β相交但不垂直时，也会有b⊥a，b β，故B错；
对于C：a∥β，a∥α，则α与β相交或平行，故C错；
对于D，a∥α，a⊥β，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故D正确．
√
4．如图①所示，已知Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高．以AD为折痕将△ABC折起，使∠BDC为直角，如图②所示，求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
证明：易知AD⊥BD，AD⊥DC，
又BD，DC 平面BDC，且BD∩DC＝D，
所以AD⊥平面BDC.
又AD 平面ABD，AD 平面ACD，
所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
03
课后达标 检测
[A 基础达标]
1．从二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有条件( )
A．AO⊥BO，AO α，BO β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
解析：由二面角的平面角的定义可知D选项正确．
√
2．下列命题中正确的是( )
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
解析：当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；
由直线与平面垂直的判定定理知，B，D错，C正确．
√
3．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且满足m⊥α，m∥β，则下列说法一定正确的是( )
A．α⊥β B．α∥β
C．若n β，则m∥n D．若n α，则n⊥β
解析：对于A，B，由于m∥β，所以由线面平行的性质可知在β内有一组线与m平行，而m⊥α，所以在β内与m平行的直线垂直于α，所以α⊥β，所以A正确，B错误；
对于C，当n β时，m∥n或m，n异面，C不一定正确；
对于D，当n α时，直线n与平面β不一定垂直，所以D错误，故选A．
√
4.如图所示，在三棱锥A-BCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，那么
必有( )
A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD
解析：因为AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B，BC，BD 平面BCD，所以AD⊥平面BCD，又AD 平面ADC，所以平面ADC⊥平面BCD.故选C．
√
5．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后的△ABC是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角(非等边)三角形 D．钝角三角形
√
6．如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，AB⊥BB1，
B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以∠ABC为A-BB1-C的二面角，因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.故选C．
√
7．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是________．
解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.
答案：60°或120°
8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”或“不垂直”)
解析：如图，在正方体中，
CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.
又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，
所以BD⊥平面AA1C1C.
又BD 平面EBD，
所以平面EBD⊥平面AA1C1C.
答案：垂直
答案：30°
10．如图，在四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
证明：平面ACD⊥平面ABC.
证明：由题设可得△ABD≌△CBD.从而AD＝CD.
又△ACD为直角三角形，
所以∠ADC＝90°，
取AC的中点O，连接DO，BO，
则DO⊥AC，DO＝AO，
又由于△ABC是正三角形，故BO⊥AC，
所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角．
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，
又AB＝BD，
所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，
故∠DOB＝90°，
所以平面ACD⊥平面ABC.
[B 能力提升]
11．(多选)如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，以下四个命题正确的是( )
A．PA∥平面MOB B．MO∥平面PAC
C．OC⊥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC
√
√
解析：因为PA 平面MOB，故A错误；
因为OM是△PAB的中位线，所以OM∥PA，又OM 平面PAC，PA 平面PAC，所以OM∥平面PAC，故B正确；
因为AB是直径，所以BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，故C错误；
又BC 平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故D正确．故选BD．
12．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是________．
解析：因为PA＝PB＝PC，所以P在△ABC所在平面上的射影
必落在△ABC的外心上，
又Rt△ABC的外心为BC的中点，设为O，则PO⊥平面ABC，
又PO 平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.
答案：平面PBC⊥平面ABC
13．如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列关系正确的是________．(填序号)
①平面PAB⊥平面PBC； ②平面PAB⊥平面PAD；
③平面PAB⊥平面PCD； ④平面PAB⊥平面PAC.
解析：由于BC⊥AB，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，所以BC⊥PA，又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC.又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB.分析易知平面PAB与平面PAC，平面PCD均不垂直．
答案：①②
14．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上
任一点．求证：
(1)直线A1B1∥平面ABD；
证明：由直三棱柱ABC-A1B1C1，得A1B1∥AB.
因为A1B1 平面ABD，AB 平面ABD，
所以直线A1B1∥平面ABD.
(2)平面ABD⊥平面BCC1B1.
证明：因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
所以AB⊥BB1.
又因为AB⊥BC，BB1，BC 平面BCC1B1，
且BB1∩BC＝B.所以AB⊥平面BCC1B1.
又因为AB 平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BCC1B1.
[C 拓展冲刺]
15．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.
解析：由题意知△PAB≌△PAD，
所以PB＝PD，易知△PDC≌△PBC，
当BM⊥PC时，则有DM⊥PC，又BM∩DM＝M，
此时PC⊥平面MBD，又PC 平面PCD，
所以平面MBD⊥平面PCD.
答案：BM⊥PC(或DM⊥PC)
16．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形．
(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABCD；
证明：因为四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形，
所以AA1⊥AD，AA1⊥AB.
又AD∩AB＝A，所以AA1⊥平面ABCD.
因为AA1 平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面ABCD.
(2)求二面角B1-CD-A的余弦值．
解：过点B作BH⊥CD于点H，连接B1H(图略).
由(1)知BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥CD，
又BH∩BB1＝B，
所以CD⊥平面BB1H，
所以B1H⊥CD，
所以∠BHB1为二面角B1-CD-A的平面角．中小学教育资源及组卷应用平台
8．6.3 平面与平面垂直
学习指导 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解二面角的相关概念、平面与平面垂直的定义． 2．归纳出平面与平面垂直的判定定理及性质定理，并能利用定理证明一些简单的问题． 1.数学抽象、直观想象：理解二面角的相关概念、平面与平面垂直的定义． 2．逻辑推理：利用判定定理及性质定理推断线面、面面关系．
第1课时 平面与平面垂直(一)
知识点一 二面角
1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
2．画法：
3．记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q.
4．二面角的平面角：
(1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图．
(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．
二面角的大小与垂足在l上的位置无关．
如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.求二面角B-PA-C的大小．
【解】 因为PA⊥平面ABCD，
所以AB⊥PA，AC⊥PA.
所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°.
即二面角B-PA-C的大小为45°.
解决二面角问题的策略
(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．
(2)求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．
1．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，则二面角D′-AB-D的大小为________．
解析：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AB⊥平面ADD′A′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′-AB-D的大小为45°.
答案：45°
2．如图，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的余弦值．
解：如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.由二面角定义知∠AMB为二面角A-CD-B的平面角．因为AM＝BM＝，AB＝2.所以cos ∠AMB＝＝，即二面角A-CD-B的余弦值为.
知识点二 平面与平面垂直
1．面面垂直的定义
定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直
画法 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．如图
记法 α⊥β
2.判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 α⊥β
(1)面面垂直的判定定理可简记：若线面垂直，则面面垂直．
(2)此定理是判定两个平面互相垂直的依据，也是找出一个平面的垂面的依据．
(1)如图，在四棱锥P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD且四边形ABCD是菱形．求证：平面PAC⊥平面PBD.
(2)如图，在四面体ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.
【证明】 (1)因为PA⊥平面ABCD，
BD 平面ABCD，所以BD⊥PA.
因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.
又因为BD 平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD.
(2)因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE，则∠AEC是二面角A-BD-C的平面角．
在△ABD中，AB＝a，
BE＝BD＝a，
所以AE＝ ＝a.
同理CE＝a.
在△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a.
因为AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，
即∠AEC＝90°，所以二面角A-BD-C为直二面角，
所以平面ABD⊥平面BCD.
证明平面与平面垂直的两种常用方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：
①找出两相交平面的平面角；
②证明这个平面角是直角；
③根据定义判定这两个相交平面互相垂直．
(2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直，即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是
1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是( )
A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
C．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D．若m⊥α，n β，m⊥n，则α⊥β
解析：选B．A中，α，β可能平行也可能相交，所以A不正确；易知B正确；C中，α∥β，仍然可以满足m⊥n，m α，n β，所以C不正确；D中，α，β可能平行也可能相交，所以D不正确．故选B．
2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱BC的中点，且AB＝AC.求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1.
证明：由题意知BB1⊥平面ABC，
又AD 平面ABC，
所以BB1⊥AD.
因为D是BC的中点，
且AB＝AC，所以AD⊥BC.
因为BC∩BB1＝B，所以AD⊥平面BCC1B1.
因为AD 平面AC1D，
所以平面AC1D⊥平面BCC1B1.
1．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面( )
A．有1个 B．有2个
C．有无数个 D．不存在
解析：选C．由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．
2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，则二面角C1-AB-C为( )
A． B．
C． D．
解析：选D．由图可知C1B⊥AB，CB⊥AB，所以∠C1BC是二面角C1-AB-C的平面角，在Rt△C1BC中，tan ∠C1BC＝＝1，又0≤∠C1BC≤π，所以∠C1BC＝.故选D．
3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列一定能使α⊥β成立的条件是( )
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
解析：选D．对于A：α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行或垂直，故A错；对于B：当α与β相交但不垂直时，也会有b⊥a，b β，故B错；对于C：a∥β，a∥α，则α与β相交或平行，故C错；对于D，a∥α，a⊥β，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故D正确．
4．如图①所示，已知Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高．以AD为折痕将△ABC折起，使∠BDC为直角，如图②所示，求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
证明：易知AD⊥BD，AD⊥DC，
又BD，DC 平面BDC，且BD∩DC＝D，
所以AD⊥平面BDC.
又AD 平面ABD，AD 平面ACD，
所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
[A 基础达标]
1．从二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有条件( )
A．AO⊥BO，AO α，BO β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
解析：选D．由二面角的平面角的定义可知D选项正确．
2．下列命题中正确的是( )
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
解析：选C．当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B，D错，C正确．
3．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且满足m⊥α，m∥β，则下列说法一定正确的是( )
A．α⊥β B．α∥β
C．若n β，则m∥n D．若n α，则n⊥β
解析：选A．对于A，B，由于m∥β，所以由线面平行的性质可知在β内有一组线与m平行，而m⊥α，所以在β内与m平行的直线垂直于α，所以α⊥β，所以A正确，B错误；对于C，当n β时，m∥n或m，n异面，C不一定正确；对于D，当n α时，直线n与平面β不一定垂直，所以D错误，故选A．
4.如图所示，在三棱锥A-BCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有( )
A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD
解析：选C．因为AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B，BC，BD 平面BCD，所以AD⊥平面BCD，又AD 平面ADC，所以平面ADC⊥平面BCD.故选C．
5．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后的△ABC是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角(非等边)三角形 D．钝角三角形
解析：选A．如图①，设正方形ABCD的边长为1，AC与BD相交于点O，则折成直二面角后如图②，AB＝BC＝1，AC＝＝＝1，则△ABC是等边三角形．
6．如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C．三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以∠ABC为A-BB1-C的二面角，因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.故选C．
7．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是________．
解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.
答案：60°或120°
8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”或“不垂直”)
解析：如图，在正方体中，
CC1⊥平面ABCD，
所以CC1⊥BD.
又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，
所以BD⊥平面AA1C1C.
又BD 平面EBD，
所以平面EBD⊥平面AA1C1C.
答案：垂直
9．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1-BD-C的大小为________．
解析：如图，取BD中点O，连接OC，OC1，因为AB＝AD＝2，
所以CO⊥BD，CO＝.
因为CD＝BC，所以C1D＝C1B，
所以C1O⊥BD.
所以∠C1OC为二面角C1-BD-C的平面角．
因为tan ∠C1OC＝＝＝，
所以∠C1OC＝30°，即二面角C1-BD-C的大小为30°.
答案：30°
10．如图，在四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
证明：平面ACD⊥平面ABC.
证明：由题设可得△ABD≌△CBD.从而AD＝CD.
又△ACD为直角三角形，
所以∠ADC＝90°，
取AC的中点O，连接DO，BO，
则DO⊥AC，DO＝AO，
又由于△ABC是正三角形，故BO⊥AC，
所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角．
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，
又AB＝BD，
所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，
故∠DOB＝90°，
所以平面ACD⊥平面ABC.
[B 能力提升]
11．(多选)如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，以下四个命题正确的是( )
A．PA∥平面MOB B．MO∥平面PAC
C．OC⊥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC
解析：选BD．因为PA 平面MOB，故A错误；因为OM是△PAB的中位线，所以OM∥PA，又OM 平面PAC，PA 平面PAC，所以OM∥平面PAC，故B正确；因为AB是直径，所以BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，故C错误；又BC 平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故D正确．故选BD．
12．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是________．
解析：因为PA＝PB＝PC，所以P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上，
又Rt△ABC的外心为BC的中点，设为O，则PO⊥平面ABC，又PO 平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.
答案：平面PBC⊥平面ABC
13．如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列关系正确的是________．(填序号)
①平面PAB⊥平面PBC； ②平面PAB⊥平面PAD；
③平面PAB⊥平面PCD； ④平面PAB⊥平面PAC.
解析：由于BC⊥AB，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，所以BC⊥PA，又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC.又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB.分析易知平面PAB与平面PAC，平面PCD均不垂直．
答案：①②
14．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．求证：
(1)直线A1B1∥平面ABD；
(2)平面ABD⊥平面BCC1B1.
证明：(1)由直三棱柱ABC-A1B1C1，得A1B1∥AB.
因为A1B1 平面ABD，AB 平面ABD，
所以直线A1B1∥平面ABD.
(2)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
所以AB⊥BB1.
又因为AB⊥BC，BB1，BC 平面BCC1B1，
且BB1∩BC＝B.所以AB⊥平面BCC1B1.
又因为AB 平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BCC1B1.
[C 拓展冲刺]
15．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.
解析：由题意知△PAB≌△PAD，
所以PB＝PD，易知△PDC≌△PBC，
当BM⊥PC时，则有DM⊥PC，又BM∩DM＝M，
此时PC⊥平面MBD，又PC 平面PCD，
所以平面MBD⊥平面PCD.
答案：BM⊥PC(或DM⊥PC)
16．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形．
(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABCD；
(2)求二面角B1-CD-A的余弦值．
解：(1)证明：因为四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形，
所以AA1⊥AD，AA1⊥AB.
又AD∩AB＝A，所以AA1⊥平面ABCD.
因为AA1 平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面ABCD.
(2)过点B作BH⊥CD于点H，连接B1H(图略).
由(1)知BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥CD，
又BH∩BB1＝B，
所以CD⊥平面BB1H，
所以B1H⊥CD，
所以∠BHB1为二面角B1-CD-A的平面角．
由等面积法可得BH＝1×2，即BH＝，
所以B1H＝ ＝，
故cos ∠BHB1＝＝.
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