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翻折是立体几何中的热点问题，其价值在于能够很好地体现平面图形与空间图形之间位置关系的变与不变、数量关系的变与不变，能够充分考查空间想象能力与逻辑推理能力，或者说能够较好地考查直观想象与逻辑推理等核心素养．
类型一 翻折为锥体模型
如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC.求证：BC⊥平面ACD.
解决折叠问题的策略
(1)抓住折叠前后的变量与不变量，一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键．
(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况．注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况．
类型二 翻折为不规则模型
如图1，在等腰梯形ABCD中，E为CD的中点，AB＝BC＝CE，将△ADE，△BCE分别沿AE，BE折起，使平面ADE⊥平面ABE、平面BCE⊥平面ABE，得到图2.
证明：AB∥CD.
1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出以下四个结论：
①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.
在翻折的过程中，可能成立的结论是( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
2．如图①，四边形ABCD是矩形，点E，F分别是线段AB，CD的中点，AB＝4，AD＝2，将矩形ABCD沿EF翻折．若所成二面角的大小为(如图②)，求证：直线CE⊥平面DBF.
3．如图所示，在 ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角．
求证：(1)AB⊥平面BCD；
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翻折是立体几何中的热点问题，其价值在于能够很好地体现平面图形与空间图形之间位置关系的变与不变、数量关系的变与不变，能够充分考查空间想象能力与逻辑推理能力，或者说能够较好地考查直观想象与逻辑推理等核心素养．
类型一 翻折为锥体模型
如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC.求证：BC⊥平面ACD.
【证明】 在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，
过C作CE⊥AB，E为垂足(图略)，
所以四边形AECD为正方形，所以CE＝AE＝EB＝2，
所以∠ACE＝∠BCE＝45°，
所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.
又平面ACD⊥平面ABC，
平面ACD∩平面ABC＝AC，
BC 平面ABC且BC⊥AC，所以BC⊥平面ACD.
解决折叠问题的策略
(1)抓住折叠前后的变量与不变量，一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键．
(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况．注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况．
类型二 翻折为不规则模型
如图1，在等腰梯形ABCD中，E为CD的中点，AB＝BC＝CE，将△ADE，△BCE分别沿AE，BE折起，使平面ADE⊥平面ABE、平面BCE⊥平面ABE，得到图2.
证明：AB∥CD.
【证明】 由题意可知△ADE，△ABE，△BCE均为全等的等边三角形．
分别过点C，D作CM⊥BE，DN⊥AE，垂足分别为M，N，连接MN，如图所示，
则M，N分别为BE，AE的中点，所以CM＝DN.
因为平面BCE⊥平面ABE，平面BCE∩平面ABE＝BE，CM 平面BCE，
所以CM⊥平面ABE.
同理可得DN⊥平面ABE，所以CM∥DN.
所以四边形CDNM为平行四边形，所以CD∥MN.
又M，N分别为BE，AE的中点，
所以MN∥AB，所以AB∥CD.
1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出以下四个结论：
①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.
在翻折的过程中，可能成立的结论是( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
解析：选B．对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交，不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；
对于③，当点P落在BF上时，DP 平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；对于④，因为点D的射影不可能在FC上，所以④不可能成立．故选B．
2．如图①，四边形ABCD是矩形，点E，F分别是线段AB，CD的中点，AB＝4，AD＝2，将矩形ABCD沿EF翻折．若所成二面角的大小为(如图②)，求证：直线CE⊥平面DBF.
解：由题意知，四边形BEFC是边长为2的正方形，
BF，CE是四边形BEFC的对角线，所以BF⊥CE.
又平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD＝EF，DF⊥EF，DF 平面AEFD，
所以DF⊥平面BEFC.
又CE 平面BEFC，所以DF⊥CE.
又DF∩BF＝F，所以CE⊥平面BDF.
3．如图所示，在 ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角．
求证：(1)AB⊥平面BCD；
(2)平面ACD⊥平面ABD.
证明：(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝a，
所以AB2＋BD2＝AD2，
所以∠ABD＝90°，即AB⊥BD.
又因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，AB 平面ABD，
所以AB⊥平面BCD.
(2)因为折叠前四边形ABCD是平行四边形，
且AB⊥BD，所以CD⊥BD.
因为AB⊥平面BCD，
所以AB⊥CD.
因为AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABD，
所以CD⊥平面ABD.
又因为CD 平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABD.
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第八章 立体几何初步
培优点3 立体几何中的翻折问题
翻折是立体几何中的热点问题，其价值在于能够很好地体现平面图形与空间图形之间位置关系的变与不变、数量关系的变与不变，能够充分考查空间想象能力与逻辑推理能力，或者说能够较好地考查直观想象与逻辑推理等核心素养．
类型一 翻折为锥体模型
如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC.求证：BC⊥平面ACD.
【证明】 在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，
过C作CE⊥AB，E为垂足(图略)，
所以四边形AECD为正方形，所以CE＝AE＝EB＝2，
所以∠ACE＝∠BCE＝45°，
所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.
又平面ACD⊥平面ABC，
平面ACD∩平面ABC＝AC，
BC 平面ABC且BC⊥AC，所以BC⊥平面ACD.
解决折叠问题的策略
(1)抓住折叠前后的变量与不变量，一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键．
(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况．注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况．
类型二 翻折为不规则模型
如图1，在等腰梯形ABCD中，E为CD的中点，AB＝BC＝CE，将△ADE，△BCE分别沿AE，BE折起，使平面ADE⊥平面ABE、平面BCE⊥平面ABE，得到图2.
证明：AB∥CD.
【证明】 由题意可知△ADE，△ABE，△BCE均为全等的等边三角形．
分别过点C，D作CM⊥BE，DN⊥AE，垂足分别为M，N，
连接MN，如图所示，
则M，N分别为BE，AE的中点，所以CM＝DN.
因为平面BCE⊥平面ABE，平面BCE∩平面ABE＝BE，CM 平面BCE，
所以CM⊥平面ABE.
同理可得DN⊥平面ABE，所以CM∥DN.
所以四边形CDNM为平行四边形，所以CD∥MN.
又M，N分别为BE，AE的中点，
所以MN∥AB，所以AB∥CD.
1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，
AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，
将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出以下四个结论：
①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.
在翻折的过程中，可能成立的结论是( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
√
解析：对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交，不垂直，所以
BC与DF不垂直，故①不可能成立；
对于②，如图，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF
时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，
故②可能成立；
对于③，当点P落在BF上时，DP 平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；
对于④，因为点D的射影不可能在FC上，所以④不可能成立．故选B．
解：由题意知，四边形BEFC是边长为2的正方形，
BF，CE是四边形BEFC的对角线，所以BF⊥CE.
又平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD＝EF，DF⊥EF，DF 平面AEFD，
所以DF⊥平面BEFC.
又CE 平面BEFC，所以DF⊥CE.
又DF∩BF＝F，所以CE⊥平面BDF.
(2)平面ACD⊥平面ABD.
证明：因为折叠前四边形ABCD是平行四边形，
且AB⊥BD，所以CD⊥BD.
因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD.
因为AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABD，
所以CD⊥平面ABD.
又因为CD 平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABD.
