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章末复习提升
素养一 直观想象
直观想象包括：借助空间图形认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．在本章中，主要表现在利用几何图形探究线面位置关系．
题组1 空间中点、线、面的位置关系
1．给出下列四种说法：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②底面为正多边形，且相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的旋转体都是圆锥；
④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．(2022·高考全国卷乙)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D
平行命题的判断
(1)解决与平行相关命题的判断问题，以与平行相关的判定定理和性质定理为依据，注意定理中相关条件的检验，必须进行严密的逻辑推理．
(2)如果判断某个命题错误，则往往利用正方体或其他几何体作为模型构造反例说明．
素养二 数学运算
数学运算包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．在本章中，主要表现在计算空间几何体的体积、表面积、空间角等问题中．
题组2 空间几何体的表面积和体积
1．已知圆柱的轴截面为正方形，且该圆柱的侧面积为36π，则该圆柱的体积为( )
A．27π B．36π
C．54π D．81π
2．(2022·新高考卷Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．100π B．128π
C．144π D．192π
3．(2022·新高考卷Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)( )
A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3
C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3
空间几何体的表面积与体积的求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等体积法求解．
题组3 空间角的计算
1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成角的大小为____________．
2．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为___________________________________________．
3．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为____________．
求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).
(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).
(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法．
素养三 逻辑推理
逻辑推理包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．在本章中，主要表现在线面位置关系的证明中．
题组4 空间中的平行、垂直关系
1．(多选)如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则下列结论中正确的是( )
A．PC∥平面OMN
B．平面PCD∥平面OMN
C．OM⊥PA
D．直线PD与直线MN所成角的大小为90°
2．(2022·高考全国卷乙节选)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．证明：平面BED⊥平面ACD.
3.如图，在四棱锥P-ABCD中，菱形ABCD的对角线交于点O，E，F分别是PC，DC的中点，且平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD.
求证：(1)平面EFO∥平面PAD；
(2)PD⊥平面ABCD.
(1)空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面及面面的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是空间想象能力，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题目为主．
(2)平行、垂直关系的相互转化
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章末复习提升
素养一 直观想象
直观想象包括：借助空间图形认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．在本章中，主要表现在利用几何图形探究线面位置关系．
题组1 空间中点、线、面的位置关系
1．给出下列四种说法：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②底面为正多边形，且相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的旋转体都是圆锥；
④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B．①上、下底面的圆周上两点的连线要与轴平行才是母线；③直角三角形绕着直角边所在直线旋转一周才能形成圆锥；④棱台的上、下底面相似，侧棱长不一定相等．故只有②正确．
2．(2022·高考全国卷乙)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D
解析：选A．对于选项A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF⊥BD，又易知DD1⊥EF，BD∩DD1＝D，所以EF⊥平面BDD1，又EF 平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故选项A正确；对于选项B，因为平面A1BD∩平面BDD1＝BD，由选项A知，平面B1EF⊥平面A1BD不成立，故选项B错误；对于选项C，由题意知直线AA1与直线B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC不平行，故选项C错误；对于选项D，连接AB1，B1C(图略)，易知平面AB1C∥平面A1C1D，又平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，所以平面AB1C与平面B1EF不平行，即平面A1C1D与平面B1EF不平行， 故选项D错误．故选A．
平行命题的判断
(1)解决与平行相关命题的判断问题，以与平行相关的判定定理和性质定理为依据，注意定理中相关条件的检验，必须进行严密的逻辑推理．
(2)如果判断某个命题错误，则往往利用正方体或其他几何体作为模型构造反例说明．
素养二 数学运算
数学运算包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．在本章中，主要表现在计算空间几何体的体积、表面积、空间角等问题中．
题组2 空间几何体的表面积和体积
1．已知圆柱的轴截面为正方形，且该圆柱的侧面积为36π，则该圆柱的体积为( )
A．27π B．36π
C．54π D．81π
解析：选C．设圆柱的高为h，轴截面为正方形的圆柱底面直径也为h，因为圆柱的侧面积是36π，所以h·2π×＝36π，所以h＝6，所以圆柱的底面半径为r＝3，所以此圆柱的体积为V圆柱＝πr2·h＝π×32×6＝54π.
2．(2022·新高考卷Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．100π B．128π
C．144π D．192π
解析：选A．由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OO＝42＋(1-OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋OO＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.
3．(2022·新高考卷Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)( )
A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3
C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3
解析：选C．如图，由已知得该棱台的高为157.5-148.5＝9(m)，所以该棱台的体积V＝×9×(140＋＋180)×106＝60×(16＋3)×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m3).故选C．
空间几何体的表面积与体积的求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等体积法求解．
题组3 空间角的计算
1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成角的大小为____________．
解析：如图，连接A1C1，BC1，A1B.
因为M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，所以MN∥BC1.又A1C1∥AC，所以∠A1C1B(或其补角)为异面直线AC与MN所成的角．由题易知△A1BC1为正三角形，所以∠A1C1B＝60°.
答案：60°
2．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为___________________________________________．
解析：由题意知∠PCA即为PC与平面ABCD所成的角，AC＝.在Rt△PAC中，tan ∠PCA＝＝＝，因为0°≤∠PAC≤90°，所以∠PCA＝30°，即PC与平面ABCD所成的角为30°.
答案：30°
3．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为____________．
解析：如图，在正四棱锥S-ABCD中，
SO⊥底面ABCD，E是边BC的中点，则OE⊥BC，SE⊥BC，则∠SEO即为侧面与底面所成的二面角的平面角．由正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，得SO＝3，OE＝，所以tan ∠SEO＝，所以∠SEO＝.
答案：
求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).
(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).
(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法．
素养三 逻辑推理
逻辑推理包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．在本章中，主要表现在线面位置关系的证明中．
题组4 空间中的平行、垂直关系
1．(多选)如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则下列结论中正确的是( )
A．PC∥平面OMN
B．平面PCD∥平面OMN
C．OM⊥PA
D．直线PD与直线MN所成角的大小为90°
解析：选ABC．连接AC(图略)，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，故A正确；同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，故B正确；由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝PA2＋PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，故C正确；由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即∠PDC，又△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，故D错误．
2．(2022·高考全国卷乙节选)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．证明：平面BED⊥平面ACD.
证明：因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ADB≌△CDB，所以AB＝BC.
因为E为AC的中点，所以AC⊥BE，AC⊥DE.
又BE∩DE＝E，BE，DE 平面BED，所以AC⊥平面BED.
又AC 平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.
3.如图，在四棱锥P-ABCD中，菱形ABCD的对角线交于点O，E，F分别是PC，DC的中点，且平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD.
求证：(1)平面EFO∥平面PAD；
(2)PD⊥平面ABCD.
证明：(1)因为四边形ABCD是菱形，
所以O是AC的中点．
因为E，F分别是PC，DC的中点，所以EF∥PD.
又EF 平面PAD，PD 平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
同理可得，FO∥平面PAD.
又EF∩FO＝F，EF，FO 平面EFO，
所以平面EFO∥平面PAD.
(2)因为平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PD 平面PAD，所以PD⊥平面ABCD.
(1)空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面及面面的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是空间想象能力，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题目为主．
(2)平行、垂直关系的相互转化
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第八章 立体几何初步
章末复习提升
01
知识网络 贯通
02
素养培优 突破
素养一 直观想象
直观想象包括：借助空间图形认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．在本章中，主要表现在利用几何图形探究线面位置关系．
题组1 空间中点、线、面的位置关系
1．给出下列四种说法：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②底面为正多边形，且相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的旋转体都是圆锥；
④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
√
解析：①上、下底面的圆周上两点的连线要与轴平行才是母线；
③直角三角形绕着直角边所在直线旋转一周才能形成圆锥；
④棱台的上、下底面相似，侧棱长不一定相等．故只有②正确．
2．(2022·高考全国卷乙)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D
√
解析：对于选项A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF⊥BD，又易知DD1⊥EF，BD∩DD1＝D，所以EF⊥平面BDD1，又EF 平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故选项A正确；
对于选项B，因为平面A1BD∩平面BDD1＝BD，由选项A知，平面B1EF⊥平面A1BD不成立，故选项B错误；
对于选项C，由题意知直线AA1与直线B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC不平行，故选项C错误；
对于选项D，连接AB1，B1C(图略)，易知平面AB1C∥平面A1C1D，又平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，所以平面AB1C与平面B1EF不平行，即平面A1C1D与平面B1EF不平行， 故选项D错误．故选A．
平行命题的判断
(1)解决与平行相关命题的判断问题，以与平行相关的判定定理和性质定理为依据，注意定理中相关条件的检验，必须进行严密的逻辑推理．
(2)如果判断某个命题错误，则往往利用正方体或其他几何体作为模型构造反例说明．
素养二 数学运算
数学运算包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．在本章中，主要表现在计算空间几何体的体积、表面积、空间角等问题中．
题组2 空间几何体的表面积和体积
1．已知圆柱的轴截面为正方形，且该圆柱的侧面积为36π，则该圆柱的体积为( )
A．27π B．36π
C．54π D．81π
√
√
√
空间几何体的表面积与体积的求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等体积法求解．
题组3 空间角的计算
1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和
棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成角的大小为_______．
解析：如图，连接A1C1，BC1，A1B.
因为M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，所以MN∥BC1.
又A1C1∥AC，所以∠A1C1B(或其补角)为异面直线AC与MN
所成的角．由题易知△A1BC1为正三角形，
所以∠A1C1B＝60°.
答案：60°
答案：30°
求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).
(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).
(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法．
素养三 逻辑推理
逻辑推理包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．在本章中，主要表现在线面位置关系的证明中．
题组4 空间中的平行、垂直关系
1．(多选)如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中，O为
底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则下
列结论中正确的是( )
A．PC∥平面OMN
B．平面PCD∥平面OMN
C．OM⊥PA
D．直线PD与直线MN所成角的大小为90°
√
√
√
解析：连接AC(图略)，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，故A正确；
同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，故B正确；
由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝PA2＋PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，故C正确；
由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即∠PDC，又△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，故D错误．
2．(2022·高考全国卷乙节选)如图，四面体ABCD中，
AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中
点．证明：平面BED⊥平面ACD.
证明：因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ADB≌△CDB，所以AB＝BC.
因为E为AC的中点，所以AC⊥BE，AC⊥DE.
又BE∩DE＝E，BE，DE 平面BED，所以AC⊥平面BED.
又AC 平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.
3.如图，在四棱锥P-ABCD中，菱形ABCD的对角线交于点O，
E，F分别是PC，DC的中点，且平面PAD⊥平面ABCD，
PD⊥AD.
求证：(1)平面EFO∥平面PAD；
证明：因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点．
因为E，F分别是PC，DC的中点，所以EF∥PD.
又EF 平面PAD，PD 平面PAD，所以EF∥平面PAD.
同理可得，FO∥平面PAD.
又EF∩FO＝F，EF，FO 平面EFO，所以平面EFO∥平面PAD.
(2)PD⊥平面ABCD.
证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PD 平面PAD，所以PD⊥平面ABCD.
(1)空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面及面面的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是空间想象能力，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题目为主．
(2)平行、垂直关系的相互转化
