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章末综合检测(三)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
解析：选C．选项A，只有当m∥β或m β时，m∥l；
选项B，只有当m⊥β时，m∥n；
选项C，由于l β，所以n⊥l；
选项D，只有当m∥β或m β时，m⊥n.
2．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是( )
A． B．1
C． D．2
解析：选D．因为Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，所以Rt△O′A′B′的直角边长是，所以所求面积为×2×2＝2.
3．下列说法正确的是( )
A．多面体至少有3个面
B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
解析：选D．一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项A错误；选项B错误，反例如图1；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．故选D．
4．平面α与平面β平行的条件可以是( )
A．α内有无数条直线都与β平行
B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C．α内的任何直线都与β平行
D．直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α
解析：选C．对于A，若α内的无数条直线都与β平行，平面α与平面β不一定平行，也可能相交，A错误；对于B，当直线平行于两平面交线时，符合命题叙述，但平面α与平面β相交，B错误；对于C，“α内的任何直线都与β平行”可等价转化为“α内的两条相交直线与β平行”，根据面面平行的判定定理，C正确；对于D，当两平面相交，直线a，直线b都跟交线平行且符合命题叙述时，得不到平面α与平面β平行，D错误．
5．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，HG交于一点P，则( )
A．点P一定在直线BD上
B．点P一定在直线AC上
C．点P一定在直线AC或BD上
D．点P既不在直线AC上，也不在直线BD上
解析：选B．如图，因为P∈HG，HG 平面ACD，所以P∈平面ACD.同理，P∈平面BAC.因为平面BAC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.故选B．
6．已知圆锥的一条母线的中点到圆锥底面圆的圆心的距离为2，母线与底面所成的角为60°，则该圆锥的体积为( )
A． B．8π
C． D．16π
解析：选A．如图，设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为l.
因为圆锥的一条母线的中点到圆锥底面圆的圆心的距离为2，
设P为母线SB的中点，
在Rt△SBO中，PO＝2，
所以母线长l＝2×2＝4，又母线与底面所成的角为60°，
所以cos 60°＝＝＝，解得r＝2，
所以圆锥的高h＝＝2，
故该圆锥的体积V＝πr2h＝×π×22×2＝.故选A．
7．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是( )
A．A′C⊥BD
B．∠BA′C＝90°
C．CA′与平面A′BD所成的角为30°
D．四面体A′-BCD的体积为
解析：选B．因为平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥BA′.由勾股定理，得A′D⊥BA′.又因为CD∩A′D＝D，所以BA′⊥平面A′CD，所以BA′⊥A′C，即∠BA′C＝90°，B正确，其余均不正确．
8．已知A，B是球O的球面上的两点，∠AOB＝90°，点C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为，则球O的表面积为( )
A．16π B．36π
C．64π D．144π
解析：选A．如图所示，当点C位于垂直于平面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，
设球O的半径为R，此时VO-ABC＝VC-AOB＝×R2×R＝R3＝，所以R＝2.
因此，球O的表面积为4πR2＝16π.故选A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题，其中正确的是( )
A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l α
B．若α，β不重合，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB
C．若l α，A∈l，则A α
D．若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合
解析：选ABD．由基本事实2知，A正确，易知B，D正确，C错误，当A是l与α的交点时，A∈α.故选ABD．
10．若a，b为不重合的直线，β为平面，则下列结论正确的是( )
A．若a⊥β，b⊥β，则a∥b B．若a∥β，b∥β，则a∥b
C．若a∥β，b⊥β，则a⊥b D．若a∥β，b β，则a∥b
解析：选AC．若a⊥β，b⊥β，由直线与平面垂直的性质定理可得a∥b，故A正确；
若a∥β，b∥β，则a∥b或a与b相交或a与b异面，故B错误；
若b⊥β，则b垂直于β内的所有直线，b也垂直于平行于β的所有直线，又a∥β，可得a⊥b，故C正确；
若a∥β，b β，则a∥b或a与b异面，故D错误．故选AC．
11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是( )
A．圆柱的侧面积为2πR2
B．圆锥的侧面积为2πR2
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
解析：选CD．依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，所以A错误；
圆锥的侧面积为πR×R＝πR2，所以B错误；
球的表面积为4πR2，
因为圆柱的侧面积为4πR2，所以C正确；
因为V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，
V圆锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，
所以V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2，
所以D正确．故选CD．
12.如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中正确的是( )
A．AE⊥CE B．BE⊥DE
C．DE⊥平面CEB D．平面ADE⊥平面BCE
解析：选ABD．由AB是底面圆的直径，得∠AEB＝90°，即AE⊥EB.
因为四边形ABCD是圆柱的轴截面，
所以AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB.
所以BE⊥AD，又AD∩AE＝A，AD，AE 平面ADE，
所以BE⊥平面ADE，DE 平面ADE，
所以BE⊥DE.
同理可得AE⊥CE.
又因为BE 平面BCE，
所以平面BCE⊥平面ADE.
可得A，B，D正确．
由题意可得DE与平面CBE不垂直，故C错误．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为____________厘米．
解析：设球的体积为V，半径为R，圆柱水桶的半径为r，上升的水高为h，V＝Sh＝πr2h＝πR3，则R＝＝12(厘米).
答案：12
14.如图，矩形ABCD和矩形CDEF有一公共边CD，且ED⊥AD，AB＝2，BC＝，ED＝.则点B到平面AED的距离与EF到平面ABCD的距离的和为____________．
解析：由题意知，ED⊥平面ABCD，所以ED⊥AB.又因为AB⊥AD，ED∩AD＝D，所以AB⊥平面AED，所以BA即为所求距离，因此点B到平面AED的距离为2.因为ED⊥平面ABCD，所以点E到平面ADCB的距离为.因为EF∥平面ABCD，所以EF到平面ABCD的距离也是.
答案：2＋
15．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E是SA上一点，当SE∶SA＝__________时，SC∥平面EBD.
解析：连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO(图略).因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．因为SC∥平面EBD，且平面EBD∩平面SAC＝EO，所以SC∥EO，所以点E是SA的中点，此时SE∶SA＝1∶2.
答案：1∶2
16．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的侧面积为____________，体积是____________．
解析：设球的半径为r，则πr3＝π，
得r＝2，柱体的高为2r＝4.
又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4，
所以正三棱柱的侧面积S侧＝3×4×4＝48，
体积V＝×(4)2×4＝48.
答案：48 48
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V.
解：由题意得，三棱柱ABC-A1B1C1的上、下底面为直角三角形，直角边长分别为3，4 cm.
V三棱柱ABC-ABC＝×3×4×6＝36(cm3).
设圆柱底面圆的半径为r，则r＝
＝＝1，
V圆柱OO＝πr2h＝6π(cm3).
所以V＝V三棱柱ABC-ABC－V圆柱OO＝(36－6π)cm3.
18．(本小题满分12分)如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB＝2.
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)求三棱锥E-A1CD的体积．
解：(1)证明：连接AC1交A1C于点F，
连接DF.由题意知F为AC1的中点，又D为AB的中点，所以BC1∥DF，
又BC1 平面A1CD，DF 平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)因为AC＝BC＝AB＝2，
所以AC⊥BC，AB＝2.
因为D为AB的中点，
所以CD⊥AB，CD＝.
因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
所以AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥CD.
因为AA1∩AB＝A，
所以CD⊥平面A1DE，
所以VE-ACD＝VC-ADE＝S△ADE·CD，
在矩形ABB1A1中，可求得S△ADE＝，
所以VE-ACD＝××＝1.
故三棱锥E-A1CD的体积为1.
19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD.
(1)求证：BD⊥PC；
(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.
证明：(1)连接AC，交BD于点O，连接PO.
因为四边形ABCD为菱形，
所以BD⊥AC.
又因为PB＝PD，O为BD的中点，
所以BD⊥PO.
因为PO∩AC＝O，PO，AC 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
因为PC 平面PAC，所以BD⊥PC.
(2)因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD.
因为BC 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为BC 平面PBC，
平面PBC与平面PAD的交线为l.
所以BC∥l.
20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝90°，PA⊥CD，E，F分别为棱PB，PA的中点．
(1)求证：平面PAB⊥平面EFDC；
(2)若AD＝2，直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积．
解：(1)证明：因为△PAD为正三角形，F为棱PA的中点，所以PA⊥DF.
又PA⊥CD，CD∩DF＝D，CD，DF 平面EFDC，
所以PA⊥平面EFDC，
又PA 平面PAB，所以平面PAB⊥平面EFDC.
(2)因为AB∥CD，PA⊥CD，所以PA⊥AB.
又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，所以∠CPD为直线PC与平面PAD所成的角，即∠CPD＝45°，
所以CD＝PD＝AD＝2.
又AB＝2CD，所以AB＝4，
所以S直角梯形ABCD＝×AD×(CD＋AB)
＝×2×(2＋4)＝6.
又AB⊥平面PAD，AB 平面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD.
过P作PO⊥AD，垂足为O(图略)，
则PO⊥平面ABCD.
因为△PAD为正三角形，
所以PO＝AD＝×2＝，
所以V四棱锥P-ABCD＝×PO×S直角梯形ABCD＝××6＝2.
21．(本小题满分12分)试在①PC⊥BD，②PC⊥AB，③PA＝PC这三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得PO⊥平面ABCD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：
如图，在四棱锥P-ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，若________，且∠ABC＝60°，异面直线PB与CD所成的角为60°，求二面角A-PB-C的余弦值．
解：若选②：由PO⊥平面ABCD知PO⊥AB，又PC⊥AB，PO∩PC＝P，
所以AB⊥平面PAC，因为AC 平面PAC，所以AB⊥AC，
所以∠BAC＝90°，BC>BA，
这与底面ABCD为菱形矛盾，所以②必不选，故选①③.
下面证明PO⊥平面ABCD.
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为PC⊥BD，PC∩AC＝C，
所以BD⊥平面APC.
又因为PO 平面APC，所以BD⊥PO.
因为PA＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC.
又AC∩BD＝O，所以PO⊥平面ABCD.
设菱形ABCD的边长为2，PO＝a.
因为∠ABC＝60°，所以AO＝1，BO＝.
所以PA＝ ，PB＝ .
因为AB∥CD，所以∠PBA为异面直线PB与CD所成的角，所以∠PBA＝60°.
在△PBA中，由余弦定理得a2＋1＝4＋a2＋3-2×2×，
解得a＝或a＝-(舍去).
又CB＝AB，CP＝AP，PB＝PB，
所以△CPB≌△APB.
过点C作CE⊥PB，垂足为E，连接AE(图略)，
则AE⊥PB，所以∠CEA为二面角A-PB-C的平面角．
由等面积法易得CE＝AE＝，
在△AEC中，cos ∠CEA＝＝＝，
故二面角A-PB-C的余弦值为.
22．(本小题满分12分)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，使平面D′AE⊥平面ABCE.
(1)求证：AD′⊥BE.
(2)求四棱锥D′-ABCE的体积．
(3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：根据题意可知，在矩形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，所以∠DEA＝∠CEB＝45°，
所以∠AEB＝90°，即BE⊥AE.
因为平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，BE 平面ABCE，所以BE⊥平面D′AE.
因为AD′ 平面D′AE，所以AD′⊥BE.
(2)如图所示，取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE，且D′F＝.
因为平面D′AE⊥平面ABCE，
且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，D′F 平面D′AE，
所以D′F⊥平面ABCE，
所以VD′-ABCE＝S四边形ABCE·D′F
＝××(1＋2)×1×＝.
(3)存在．连接AC交BE于Q，假设在D′E上存在点P，使得D′B∥平面PAC，连接PQ.
因为D′B 平面D′BE，
平面D′BE∩平面PAC＝PQ，
所以D′B∥PQ，
所以在△EBD′中，＝.
因为△CEQ∽△ABQ，
所以＝＝，
所以＝＝，
即EP＝ED′，
所以在棱ED′上存在一点P，且EP＝ED′，
使得D′B∥平面PAC.
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章末综合检测(三)
第八章 立体几何初步
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
√
解析：选项A，只有当m∥β或m β时，m∥l；
选项B，只有当m⊥β时，m∥n；
选项C，由于l β，所以n⊥l；
选项D，只有当m∥β或m β时，m⊥n.
√
3．下列说法正确的是( )
A．多面体至少有3个面
B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
√
解析：一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项A错误；
选项B错误，反例如图1；
选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；
根据棱柱的定义，知选项D正确．故选D
4．平面α与平面β平行的条件可以是( )
A．α内有无数条直线都与β平行
B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C．α内的任何直线都与β平行
D．直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α
√
解析：对于A，若α内的无数条直线都与β平行，平面α与平面β不一定平行，也可能相交，A错误；
对于B，当直线平行于两平面交线时，符合命题叙述，但平面α与平面β相交，B错误；
对于C，“α内的任何直线都与β平行”可等价转化为“α内的两条相交直线与β平行”，根据面面平行的判定定理，C正确；
对于D，当两平面相交，直线a，直线b都跟交线平行且符合命题叙述时，得不到平面α与平面β平行，D错误．
5．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，HG交于一点P，则( )
A．点P一定在直线BD上
B．点P一定在直线AC上
C．点P一定在直线AC或BD上
D．点P既不在直线AC上，也不在直线BD上
解析：如图，因为P∈HG，HG 平面ACD，所以P∈平面
ACD.同理，P∈平面BAC.因为平面BAC∩平面ACD＝AC，
所以P∈AC.故选B．
√
√
√
解析：因为平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥BA′.由勾股定理，得A′D⊥BA′.又因为CD∩A′D＝D，所以BA′⊥平面A′CD，所以BA′⊥A′C，即∠BA′C＝90°，B正确，其余均不正确．
√
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题，其中正确的是( )
A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l α
B．若α，β不重合，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB
C．若l α，A∈l，则A α
D．若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合
√
√
√
解析：由基本事实2知，A正确，易知B，D正确，C错误，当A是l与α的交点时，A∈α.故选ABD．
10．若a，b为不重合的直线，β为平面，则下列结论正确的是( )
A．若a⊥β，b⊥β，则a∥b B．若a∥β，b∥β，则a∥b
C．若a∥β，b⊥β，则a⊥b D．若a∥β，b β，则a∥b
解析：若a⊥β，b⊥β，由直线与平面垂直的性质定理可得a∥b，故A正确；
若a∥β，b∥β，则a∥b或a与b相交或a与b异面，故B错误；
若b⊥β，则b垂直于β内的所有直线，b也垂直于平行于β的所有直线，又a∥β，可得a⊥b，故C正确；
若a∥β，b β，则a∥b或a与b异面，故D错误．故选AC．
√
√
11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是( )
A．圆柱的侧面积为2πR2
B．圆锥的侧面积为2πR2
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
√
√
解析：依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，所以A错误；
球的表面积为4πR2，
因为圆柱的侧面积为4πR2，所以C正确；
12.如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于
A，B的一点，则下面结论中正确的是( )
A．AE⊥CE
B．BE⊥DE
C．DE⊥平面CEB
D．平面ADE⊥平面BCE
√
√
√
解析：由AB是底面圆的直径，得∠AEB＝90°，即AE⊥EB.
因为四边形ABCD是圆柱的轴截面，
所以AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB.
所以BE⊥AD，又AD∩AE＝A，AD，AE 平面ADE，
所以BE⊥平面ADE，DE 平面ADE，
所以BE⊥DE.
同理可得AE⊥CE.
又因为BE 平面BCE，
所以平面BCE⊥平面ADE.
可得A，B，D正确．
由题意可得DE与平面CBE不垂直，故C错误．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为____________厘米．
答案：12
15．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，
点E是SA上一点，当SE∶SA＝________时，SC∥平面EBD.
解析：连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO(图略).
因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．因为SC∥平面EBD，且平面EBD∩平面SAC＝EO，所以SC∥EO，所以点E是SA的中点，此时SE∶SA＝1∶2.
答案：1∶2
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直
于底面，其高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，
5 cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩
余部分几何体的体积V.
证明：连接AC1交A1C于点F，
连接DF.由题意知F为AC1的中点，
又D为AB的中点，所以BC1∥DF，
又BC1 平面A1CD，DF 平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)求三棱锥E-A1CD的体积．
19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，
底面ABCD是菱形，且PB＝PD.
(1)求证：BD⊥PC；
证明：连接AC，交BD于点O，连接PO.
因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又因为PB＝PD，O为BD的中点，所以BD⊥PO.
因为PO∩AC＝O，PO，AC 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
因为PC 平面PAC，所以BD⊥PC.
(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.
证明：因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD.
因为BC 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为BC 平面PBC，
平面PBC与平面PAD的交线为l.
所以BC∥l.
20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，
△PAD为正三角形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝90°，
PA⊥CD，E，F分别为棱PB，PA的中点．
(1)求证：平面PAB⊥平面EFDC；
证明：因为△PAD为正三角形，F为棱PA的中点，所以PA⊥DF.
又PA⊥CD，CD∩DF＝D，CD，DF 平面EFDC，
所以PA⊥平面EFDC，
又PA 平面PAB，所以平面PAB⊥平面EFDC.
(2)若AD＝2，直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积．
解：因为AB∥CD，PA⊥CD，所以PA⊥AB.
又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，所以∠CPD为直线PC与平面PAD所成的角，即∠CPD＝45°，
所以CD＝PD＝AD＝2.
21．(本小题满分12分)试在①PC⊥BD，②PC⊥AB，③PA＝PC这三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得PO⊥平面ABCD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：
如图，在四棱锥P-ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD
为菱形，若________，且∠ABC＝60°，异面直线PB与
CD所成的角为60°，求二面角A-PB-C的余弦值．
解：若选②：由PO⊥平面ABCD知PO⊥AB，又PC⊥AB，PO∩PC＝P，
所以AB⊥平面PAC，因为AC 平面PAC，所以AB⊥AC，
所以∠BAC＝90°，BC>BA，
这与底面ABCD为菱形矛盾，所以②必不选，故选①③.
下面证明PO⊥平面ABCD.
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为PC⊥BD，PC∩AC＝C，
所以BD⊥平面APC.
22．(本小题满分12分)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，使平面D′AE⊥平面ABCE.
(1)求证：AD′⊥BE.
证明：根据题意可知，在矩形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，所以∠DEA＝∠CEB＝45°，
所以∠AEB＝90°，即BE⊥AE.
因为平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，BE 平面ABCE，所以BE⊥平面D′AE.
因为AD′ 平面D′AE，所以AD′⊥BE.
(2)求四棱锥D′-ABCE的体积．
(3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC？若存在，
求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
解：存在．连接AC交BE于Q，假设在D′E上存在点P，
使得D′B∥平面PAC，连接PQ.
因为D′B 平面D′BE，
平面D′BE∩平面PAC＝PQ，
所以D′B∥PQ，中小学教育资源及组卷应用平台
章末综合检测(三)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
2．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是( )
A． B．1
C． D．2
3．下列说法正确的是( )
A．多面体至少有3个面
B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
4．平面α与平面β平行的条件可以是( )
A．α内有无数条直线都与β平行
B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C．α内的任何直线都与β平行
D．直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α
5．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，HG交于一点P，则( )
A．点P一定在直线BD上
B．点P一定在直线AC上
C．点P一定在直线AC或BD上
D．点P既不在直线AC上，也不在直线BD上
6．已知圆锥的一条母线的中点到圆锥底面圆的圆心的距离为2，母线与底面所成的角为60°，则该圆锥的体积为( )
A． B．8π
C． D．16π
7．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是( )
A．A′C⊥BD
B．∠BA′C＝90°
C．CA′与平面A′BD所成的角为30°
D．四面体A′-BCD的体积为
8．已知A，B是球O的球面上的两点，∠AOB＝90°，点C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为，则球O的表面积为( )
A．16π B．36π
C．64π D．144π
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题，其中正确的是( )
A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l α
B．若α，β不重合，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB
C．若l α，A∈l，则A α
D．若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合
10．若a，b为不重合的直线，β为平面，则下列结论正确的是( )
A．若a⊥β，b⊥β，则a∥b B．若a∥β，b∥β，则a∥b
C．若a∥β，b⊥β，则a⊥b D．若a∥β，b β，则a∥b
11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是( )
A．圆柱的侧面积为2πR2
B．圆锥的侧面积为2πR2
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
12.如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中正确的是( )
A．AE⊥CE B．BE⊥DE
C．DE⊥平面CEB D．平面ADE⊥平面BCE
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为____________厘米．
14.如图，矩形ABCD和矩形CDEF有一公共边CD，且ED⊥AD，AB＝2，BC＝，ED＝.则点B到平面AED的距离与EF到平面ABCD的距离的和为____________．
15．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E是SA上一点，当SE∶SA＝__________时，SC∥平面EBD.
16．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的侧面积为____________，体积是____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V.
18．(本小题满分12分)如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB＝2.
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)求三棱锥E-A1CD的体积．
19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD.
(1)求证：BD⊥PC；
(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.
20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝90°，PA⊥CD，E，F分别为棱PB，PA的中点．
(1)求证：平面PAB⊥平面EFDC；
(2)若AD＝2，直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积．
21．(本小题满分12分)试在①PC⊥BD，②PC⊥AB，③PA＝PC这三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得PO⊥平面ABCD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：
如图，在四棱锥P-ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，若________，且∠ABC＝60°，异面直线PB与CD所成的角为60°，求二面角A-PB-C的余弦值．
22．(本小题满分12分)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，使平面D′AE⊥平面ABCE.
(1)求证：AD′⊥BE.
(2)求四棱锥D′-ABCE的体积．
(3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
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