广东省深圳市重点中学2024届高三下学期2月测试数学试题（含解析）

深圳市重点中学2024届高三下学期2月测试数学试题
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果一定为U的是（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部为i B． C． D．
3．设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则的值为（ ）
A．－8 B．8 C．6 D．－6
4．已知，则 的值为 （ ）
A． B． C．1 D．
5．甲、 乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．函数恒有，且在上单调递增，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
二、多选题
7．己知一组样本数据 ，其中为正实数.满足，下列说法正确的是（ ）
A．样本数据的第80百分位数为
B．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变
C．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数
D．样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80
8．已知抛物线C：的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于，两点，其中，且，则（ ）
A．直线l的斜率为 B．
C． D．△MON（点O为坐标原点）的面积为6
三、填空题
9．已知的展开式中． 的系数为80， 则m的值为 ．
10．过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为 .
四、解答题
11．为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.
(1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数
(2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列与数学期望.
12．已知数列满足.
(1)求证：是等差数列；
(2)设(表示不超过x的最大整数)，求使得成立的最大整数n的值．
13．如图，在中，，，点在线段上．
(1)若，求的长；
(2)若，的面积为，求的值．
参考答案：
1．D
【分析】根据集合间的基本关系及集合的基本运算，借助Venn图即可求解.
【详解】由得当 时， ，故选项A不正确；
，当时， ，故选项B不正确；
当 时， ，故选项C不正确；
因为，所以，故选项D正确.
故选：D.
2．D
【分析】
根据复数的虚部、模、共轭复数、复数运算等知识求得正确答案.
【详解】复数的虚部为，A选项错误.
，B选项错误.
，C选项错误.
，D选项正确.
故选：D
3．B
【分析】根据三点A，B，D共线，可得存在唯一实数使，进而可得出答案.
【详解】由已知得，
三点A，B，D共线，存在唯一实数使，
，
，解得.
故选：B.
4．C
【分析】利用二倍角公式及诱导公式计算即可.
【详解】因为，
所以，
，
故.
故选：C
5．C
【分析】由排列组合知识结合概率公式即可得解.
【详解】因为甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，若每个同学可以自由选择，
所以3科的选择数有2，2，1和3，1，1两种分配方案，
当分配方案为2，2，1时，共有种不同的选择方案；
当分配方案为3，1，1时，共有种不同的选择方案；
所以满足要求的不同选择种数为；
所以甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为.
故选：C.
6．A
【分析】根据正弦函数的图象性质，利用周期性和单调性以及最值求解.
【详解】因为函数恒有,
所以,解得，
又因为在，上单调递增，所以，
且，所以，
结合可得的值为或，
经检验，当的值为时，
由,
解得，
所以在上单调递增，满足题意，
当的值为时，
由,
解得，
所以在上单调递增，不满足题意，
故选:A.
7．BCD
【分析】由百分位数的定义即可判断A；由极差的定义即可判断B，由频率分布直方图中中位数、平均数的求法画出图形即可判断；由方程计算公式即可判断D.
【详解】对于A，由，所以样本数据的第80百分位数为，故A错误；
对于B，由题意存在这样一种可能，若，则极差为，此时样本数据的极差不变，故B正确；
对于C，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图，
由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，同理，向“左拖”时最高峰偏右，那么平均数小于中位数，故C正确；
对于D，由，
则，
所以，故这组样本数据的总和为，故D正确.
故选：BCD.
8．BC
【分析】设l方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得
，，又如图可得，据此可得则，.
据此可判断AB选项正误；
C选项，由抛物线定义可得；
D选项，由图可得.
【详解】因为，所以点M在第一象限，显然直线l不与x轴垂直，设直线：，联立，可得，由韦达定理可得：，．做垂直于x轴，则，
得，则，.
A选项，，则直线斜率为，故A错误；
B选项，因，则，故B正确；
C选项，由抛物线定义，，
又，则，故C正确；
D选项，由图有，故D错误.
故选：BC.
9．
【分析】由二项式定理即可得解.
【详解】要产生这一项，只能第一个括号中选且第二个括号中选两个和三个，
否则，若第一个括号中选，要保证有，则第二个括号中选三个和两个，但的指数为2，不为4，
由题意的系数为，即，解答.
故答案为：.
10．
【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，则，，解得，得到，，得到答案.
【详解】如图所示：设双曲线的左焦点为，连接，，
，则，四边形为矩形，.
故，，则，
，故，.
双曲线的方程为.
故答案为：
11．(1)，
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图求出数学成绩落在区间内的频率，再根据数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1可求出数学成绩落在区间[110，120）的频率；根据中位数公式可求出中位数；
（2）先求出数学成绩落在区间[100，130）内的频率为，再根据二项分布可求出分布列和数学期望.
【详解】（1）由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为,
所以数学成绩落在区间内的频率为，
因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1，
所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为，
数学成绩落在区间[70，100）的频率为，
所以中位数落在区间内，
设中位数为，则，解得，
所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为.
（2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为，
由题意可知，，的所有可能取值为，
，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以数学期望.
12．(1)证明见解析；
(2)9
【分析】（1）利用递推公式化简结合等差数列的定义证明即可；
（2）利用（1）的结论结合定义得出，构造判定其单调性得出，分类讨论并由等差数列求和公式计算解不等式即可.
【详解】（1）由，
所以，且，
即是以1为首项，2为公差的等差数列；
（2）由上可知，
即，
记，则，
由复合函数的单调性可知在上单调递减，
且，
则时，，所以，
即时，，
易知，
且当时，，
所以当时，，
当时，.
所以满足条件的最大整数n的值为9.
13．(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出，利用同角三角函数的平方关系可求得的值，然后在中，利用正弦定理可求得边的长；
（2）设，则，利用三角形的面积公式可求得的值，然后在、中利用正弦定理，再结合，可求得结果.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
，则，故，则为锐角，所以，，
，则，
在中，由正弦定理得，，解得．
（2）解：设，则，，则，
即，可得，故，
由余弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，故，
在中，由正弦定理可得，故，
因为，
所以，.